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2026秋北师版九上数学阶段测试
第一章学业质量评价
满分120 时间120分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知菱形ABCD中，AB=5,则其周长为(B)
A.10 B.20 C.25 D.30
2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,若∠AOD=120°,AB=2.5cm,则该矩形的对角线长为(C)
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
3.在菱形ABCD中，∠D=140°,连接BD,则∠BDA的度数为(B)
A.80° B.70° C.40° D.20°
4.如图，将四根木条用钉子钉成-个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为-般平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
5.新角度思维导图小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）(2)(3)(4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的(D)
A.(1)处可填∠A=90°B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D
6.在平面直角坐标系中，边长为√2的正方形OABC如图这样放置，其中点B在x轴上，则顶点C的坐标为(C)
A.(-1,1) B.(-1,-)
C.(-1,-1) D.(-,-1)
7.如图，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的-点，且△ADE为等边三角形，EFIAB于点F.若AD=4,则EF的长是(C)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
8.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB的垂直平分线EF交AC于点F,连接DF.若∠CAB=β,则∠CDF的度数为(A)
A.180°-3β B.2β
C.45°+β D.
9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC边上-点，连接DE,F为DE的中点，连接OF,CF.若△BED的周长为10，则△OCF的周长为(B)
A.4 B.5 C.6 D.7
10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC等于(A)
A.2a B.90°-2α C.45°-α D.90°-α
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.已知菱形ABCD的周长为20，其中-条对角线长为8,则另-条对角线长是6。
12.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AC=8,当OD=4时，□ABCD是矩形。
13.如图，直线l 过正方形的顶点B,点A,C到l的距离分别是1和2，则正方形的边长是
14.新情境生活实际 如图，矩形ABCD为-个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面DE平行于水平面AF,交CB于点E,当水杯底面AB与水平面AF的夹角为36°时，则∠CED的度数为 54°
15.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E,BF平分∠CBE,点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为12。
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,∠ADB=30°,点E,F分别是边AD,BC上的动点，且ED=BF,直线EF交BD于点O,过点B作BG⊥EF，垂足为点G,连接CG，则CG的最小值为2-2.
三、解答题（共72分）
17.(8分）如图，四边形ABCD是矩形，点E,F分别在边AD,BC上，连接BE,DF,且∠DFC=∠EBC.求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠A=∠C=90°,AD//BC.
∴∠BEA=∠EBC.∵∠DFC=∠EBC,∴∠BEA=∠DFC.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS).∴AE=CF.(8分）
18.(8分）如图，在△BCF中，D,E分别是BC,FC的中点，AF//BC,交DE的延长线于点A,连接AC,且AB⊥AC.求证：四边形AFBD为菱形。
证明：∵D,E分别是BC,FC的中点，∴DE是△CBF的中位线.
∴DE//BF.∵BC//AF,
∴四边形AFBD是平行四边形。
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°.
.∴四边形AFBD为菱形.(8分）
19.(8分）如图，有一张纸片，若连接EB,则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD,请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由。
解：如图所示，直线NO即为所求。理由如下：连接BF,AE交于点O,连接EC,BD交于点N,此时过点O的直线平分矩形FABE的面积，过点N的直线平分菱形EBCD的面积，故直线ON平分这张纸片的面积。(8分）
20.(8分）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD的中点，BF//CE,CF//BE.求证：四边形BECF是正方形。
证明：∵BF//CE,CF//BE,∴四边形BECF是平行四边形。
∵在矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD的中点，
∴AE=AB,DE=DC.∴∠ABE=∠AEB=∠DCE=∠DEC=45°.
∴∠EBC=∠ECB=45°.∴∠BEC=90°,BE=CE.
∴四边形BECF是正方形。(8分)
21.(8分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的-点，且AE=AD.
（1）尺规作图：作∠DAE的平分线AF,交BC的延长线于点F,连接DF;(保留作图痕迹，不写作法）
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由。
(2)四边形AEFD为菱形。理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BF.
∴∠DAF=∠AFC.∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠FAE.∴∠FAE=∠AFC.
∴EA=EF.∵AE=AD,∴AD=EF.又AD//EF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE=AD,∴四边形AEFD是菱形。(8分）
22.(10分）新考向开放题如图，在□ABCD中，∠BDC=90°,E是AD边上-点，延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF.
（1）请从下列条件中选择-个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程；
①AE=DE;②BF=BC;③AE=BE.
解：（1）选①AE=DE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.∴∠ABE=∠DFE.
在△ABE和△DFE中
∴△ABE≌△DFE(AAS).∴AB=DF.
∵AB//DF,AB=DF,∴四边形ABDF是平行四边形。
∵∠BDC=90°,∴∠BDF=90°.
∴四边形ABDF是矩形。(5分）（答案不唯-，选②或③也可）
（2）若四边形ABDF是矩形，且AB=3,AD=5,求四边形ABCF的面积.
（2）∵四边形ABDF是矩形，∴AB=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.
∴AB=DF=CD=3.∴CF=DF+CD=3+3=6.在Rt△BDC中，BC=AD=5,CD=3,
∴BD===4.∵AB//CF,∴AB+CF)=18
∴四边形ABCF的面积是18.（10分）
23.(10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1）求证：AF=DC.
(1）证明：∵AF//BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵点E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE,BD=CD.
在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE(AAS).
∴AF=DB.∴AF=DC.(4分）
（2）若AB⊥AC.
①试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）解：①四边形ADCF是菱形。证明如下：∵AF//BC,
AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形.∵AC⊥AB,AD是斜边BC上的中线，
∴
∴四边形ADCF是菱形。(8分）
②若AB=8,BC=10,且AG⊥CF于点G,则AG的长为4.8.(10分）
24.(12分）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与点B,C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
（1）[观察猜想]如图①，当点D在线段BC上时：
①BC与CF的位置关系为BC⊥CF;
②BC,CD,CF之间的数量关系为BC=CF+CD.（将结论直接写在横线上）(3分）
图①
(2）[数学思考]如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明。
解：（2)BCLCF成立；BC=CF+CD不成立，正确结论是CD=CF+BC.证明如下：
∵正方形ADEF中，AD=AF,∠DAF=90°,∴∠BAC=90°=∠DAF.
∴∠BAD=∠CAF.在△DAB与△FAC中，
，∴△DAB ≌△FAC(SAS).
∴∠ABD=∠ACF,DB=CF.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°-45°=135°.∴∠ACF=135°.
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°.
∴BC⊥CF.∵CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC.(7分）（3）
（3）[拓展延伸]如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=2,CD=1,请求出GE的长。
（3）过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EM⊥BD,交BD的延长线于点M,EN⊥CF于点N,如图③所示。∵∠BAC=90°,AC=AB=2,∴BC=AB=4.∵AH⊥BC,
∴ 2.
∴DH=CH+CD=3.∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE,∠ADE=90°.
同（2）可证BC⊥CF,又EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形.
∴NE=CM,EM=CN.∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°。
图③
∴∠ADH=∠DEM.∴△ADH≌△DEM(AAS).∴EM=DH=3,DM=AH=2.
∴CN=EM=3,EN=CM=3.∵BC⊥CF,∠ABC=45°,∴∠BGC=45°.∴CG=BC=4.
∴GN=CG-CN=1.在Rt△EGN中，由勾股定理得EG==.（12分）
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第一章学业质量评价
满分120 时间120分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知菱形ABCD中，AB=5,则其周长为(B)
A.10 B.20 C.25 D.30
2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,若∠AOD=120°,AB=2.5cm,则该矩形的对角线长为(C)
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
3.在菱形ABCD中，∠D=140°,连接BD,则∠BDA的度数为(B)
A.80° B.70° C.40° D.20°
4.如图，将四根木条用钉子钉成-个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为-般平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
5.新角度思维导图小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）(2)(3)(4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的(D)
A.(1)处可填∠A=90°B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D
6.在平面直角坐标系中，边长为√2的正方形OABC如图这样放置，其中点B在x轴上，则顶点C的坐标为(C)
A.(-1,1) B.(-1,-)
C.(-1,-1) D.(-,-1)
7.如图，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的-点，且△ADE为等边三角形，EFIAB于点F.若AD=4,则EF的长是(C)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
8.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB的垂直平分线EF交AC于点F,连接DF.若∠CAB=β,则∠CDF的度数为(A)
A.180°-3β B.2β
C.45°+β D.
9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC边上-点，连接DE,F为DE的中点，连接OF,CF.若△BED的周长为10，则△OCF的周长为(B)
A.4 B.5 C.6 D.7
10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC等于(A)
A.2a B.90°-2α C.45°-α D.90°-α
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.已知菱形ABCD的周长为20，其中-条对角线长为8,则另-条对角线长是6。
12.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AC=8,当OD=4时，□ABCD是矩形。
13.如图，直线l 过正方形的顶点B,点A,C到l的距离分别是1和2，则正方形的边长是
14.新情境生活实际 如图，矩形ABCD为-个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面DE平行于水平面AF,交CB于点E,当水杯底面AB与水平面AF的夹角为36°时，则∠CED的度数为 54°
15.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E,BF平分∠CBE,点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为12。
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,∠ADB=30°,点E,F分别是边AD,BC上的动点，且ED=BF,直线EF交BD于点O,过点B作BG⊥EF，垂足为点G,连接CG，则CG的最小值为2-2.
三、解答题（共72分）
17.(8分）如图，四边形ABCD是矩形，点E,F分别在边AD,BC上，连接BE,DF,且∠DFC=∠EBC.求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠A=∠C=90°,AD//BC.
∴∠BEA=∠EBC.∵∠DFC=∠EBC,∴∠BEA=∠DFC.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS).∴AE=CF.(8分）
18.(8分）如图，在△BCF中，D,E分别是BC,FC的中点，AF//BC,交DE的延长线于点A,连接AC,且AB⊥AC.求证：四边形AFBD为菱形。
证明：∵D,E分别是BC,FC的中点，∴DE是△CBF的中位线.
∴DE//BF.∵BC//AF,
∴四边形AFBD是平行四边形。
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°.
.∴四边形AFBD为菱形.(8分）
19.(8分）如图，有一张纸片，若连接EB,则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD,请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由。
解：如图所示，直线NO即为所求。理由如下：连接BF,AE交于点O,连接EC,BD交于点N,此时过点O的直线平分矩形FABE的面积，过点N的直线平分菱形EBCD的面积，故直线ON平分这张纸片的面积。(8分）
20.(8分）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD的中点，BF//CE,CF//BE.求证：四边形BECF是正方形。
证明：∵BF//CE,CF//BE,∴四边形BECF是平行四边形。
∵在矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD的中点，
∴AE=AB,DE=DC.∴∠ABE=∠AEB=∠DCE=∠DEC=45°.
∴∠EBC=∠ECB=45°.∴∠BEC=90°,BE=CE.
∴四边形BECF是正方形。(8分)
21.(8分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的-点，且AE=AD.
（1）尺规作图：作∠DAE的平分线AF,交BC的延长线于点F,连接DF;(保留作图痕迹，不写作法）
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由。
(2)四边形AEFD为菱形。理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BF.
∴∠DAF=∠AFC.∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠FAE.∴∠FAE=∠AFC.
∴EA=EF.∵AE=AD,∴AD=EF.又AD//EF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE=AD,∴四边形AEFD是菱形。(8分）
22.(10分）新考向开放题如图，在□ABCD中，∠BDC=90°,E是AD边上-点，延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF.
（1）请从下列条件中选择-个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程；
①AE=DE;②BF=BC;③AE=BE.
解：（1）选①AE=DE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.∴∠ABE=∠DFE.
在△ABE和△DFE中
∴△ABE≌△DFE(AAS).∴AB=DF.
∵AB//DF,AB=DF,∴四边形ABDF是平行四边形。
∵∠BDC=90°,∴∠BDF=90°.
∴四边形ABDF是矩形。(5分）（答案不唯-，选②或③也可）
（2）若四边形ABDF是矩形，且AB=3,AD=5,求四边形ABCF的面积.
（2）∵四边形ABDF是矩形，∴AB=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.
∴AB=DF=CD=3.∴CF=DF+CD=3+3=6.在Rt△BDC中，BC=AD=5,CD=3,
∴BD===4.∵AB//CF,∴(AB+CF)=18
∴四边形ABCF的面积是18.（10分）
23.(10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1）求证：AF=DC.
(1）证明：∵AF//BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵点E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE,BD=CD.
在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE(AAS).
∴AF=DB.∴AF=DC.(4分）
（2）若AB⊥AC.
①试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）解：①四边形ADCF是菱形。证明如下：∵AF//BC,
AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形.∵AC⊥AB,AD是斜边BC上的中线，
∴
∴四边形ADCF是菱形。(8分）
②若AB=8,BC=10,且AG⊥CF于点G,则AG的长为4.8.(10分）
24.(12分）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与点B,C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
（1）[观察猜想]如图①，当点D在线段BC上时：
①BC与CF的位置关系为BC⊥CF;
②BC,CD,CF之间的数量关系为BC=CF+CD.（将结论直接写在横线上）(3分）
图①
(2）[数学思考]如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明。
解：（2)BCLCF成立；BC=CF+CD不成立，正确结论是CD=CF+BC.证明如下：
∵正方形ADEF中，AD=AF,∠DAF=90°,∴∠BAC=90°=∠DAF.
∴∠BAD=∠CAF.在△DAB与△FAC中，
，∴△DAB ≌△FAC(SAS).
∴∠ABD=∠ACF,DB=CF.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°-45°=135°.∴∠ACF=135°.
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°.
∴BC⊥CF.∵CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC.(7分）（3）
（3）[拓展延伸]如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=2,CD=1,请求出GE的长。
（3）过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EM⊥BD,交BD的延长线于点M,EN⊥CF于点N,如图③所示。∵∠BAC=90°,AC=AB=2,∴BC=AB=4.∵AH⊥BC,
∴ 2.
∴DH=CH+CD=3.∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE,∠ADE=90°.
同（2）可证BC⊥CF,又EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形.
∴NE=CM,EM=CN.∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°。
图③
∴∠ADH=∠DEM.∴△ADH≌△DEM(AAS).∴EM=DH=3,DM=AH=2.
∴CN=EM=3,EN=CM=3.∵BC⊥CF,∠ABC=45°,∴∠BGC=45°.∴CG=BC=4.
∴GN=CG-CN=1.在Rt△EGN中，由勾股定理得EG==.（12分）
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【原创】九上阶段测试 讲解课件
第一章学业质量评价
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A
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B
C
4.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后
向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误
的是
(C)
A.四边形ABCD由矩形变为一般平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
A
D
B
C
(1)
矩形
A
B
C
(2)A
D
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四边形
正方形
B
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C
(3)
菱形
(4)B
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B
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A
B
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C
7.如图，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的一点，
且△ADE为等边三角形，EFAB于点F.若AD=4,则
EF的长是
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

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