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(共19张PPT)
新人教版·九年级数学上册
ax2 +bx+c=0
ax2 +bx+c=0
ax2 +bx+c=0
25.1一元二次方程的概念
第二十五章 一元二次方程
回顾旧知
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数项的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
探究新知
如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的4个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm ，那么铁皮各角应该切去多大的正方形？
3 600
100
50
x
x
(100-2x)
x
x
(50-2x)
？
？
？
？
解：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为(100 2x) cm，
宽为(50 2x) cm．
根据题意得:
(100 2x)(50 2x)=3 600
化简，得 x2 75x+350=0 ①
问题1
探究新知
问题2
要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛 1场)。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
4×7=28
设x个队
x-1
x（x-1）
有一半重复
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛.
探究新知
x -75x+350=0
x -x-56=0
只含有一个未知数
未知数最高次为2次
等号两边都是整式
思考：以下方程有什么共同点？
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
原方程若有分母，则分母中不含未知数；
若有根号，则根号中不含未知数.
一元二次方程的一般形式：
跟踪训练
1. 下列是一元二次方程的请打“√”，不是的打“×”．
(1)4x2－3x－7＝0 ( )
(2)4x3－5x－1＝0 ( )
(3)0x2－5x－1＝0 ( )
(4)4x2－5y＝0 ( )
(5)5x－1＝0 ( )
(6)(x＋1)(x－1)＝0 ( )
(7)x(x－3)＝x2 ( )
√
×
×
×
×
√
×
探究新知
判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键
观察含有未知数的式子是否为整式
不是一元二次方程
使方程的右边为0，左边合并同类项
不是一元二次方程
是一元二次方程
观察是否满足“一元”和“二次”
是
是
否
否
探究新知
思考
一元二次方程的一般式有什么特点？
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
注意：指出方程各项的系数时要带上前面的符号．
为什么要规定a≠0呢？b,c呢？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，
b ， c 可以为任意实数.
跟踪训练
一元二次方程 一般形式 a b c
4x2＝5－x
4＝x(x－5)
(x＋2)(x－2)＝0
5. 填空：
4x2＋x－5＝0
4
1
－5
x2－5x－4＝0
1
－5
－4
x2－4＝0
1
0
－4
探究新知
原方程
一般形式
确定各项及各项系数(不要漏掉符号)
去分母、去括号、
移项、合并同类项
通常将二次项系数化为正数
确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤
特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0
典例精析
解：去括号，得
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
探究新知
判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法）
数
代入方程
左边=右边
左边≠右边
是方程的解
不是方程的解
注：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
7. 一元二次方程x2－3x＝0的是 ( )
A. x＝3 B. x＝0 C. x1＝3，x2＝0 D. x1＝－3，x2＝0
C
课堂小结
同学们，今天你有哪些收获？
1.化简为一般形式再找各项及系数.
2.各项及系数一定连同前面的符号.
3.判断是否为一元二次方程时一定要先化简.
巩固练习
例1
方程 是关于 的一元二次方程，
则m=________
1.若（m＋1）x｜m｜＝6是关于x的一元一次方程，则m的值为______________．
1
巩固练习
例2
已知关于x的一元二次方程mx +5x+m -2m=0 有一个根为0，
则m=______
解：∵0是方程mx +5x+m -2m=0的一个根
∴m×0 +5×0+m -2m=0
∴m -2m=0
∵这个方程是关于x的一元二次方程
∴m≠0
∴m(m-2)=0
∴m-2=0
∴m=2
注意：一元二次方程的二次项系数不为0
两边同除以m
【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．二次项系数不为零不容忽视!
巩固练习
变2
若m是方程2x -3x-1=0 的一个根，则6m -9m+2017=______
解：∵m是方程2x -3x-1=0 的一个根
∴2m -3m-1=0
∴2m -3m=1
∴6m -9m+2017
=3(2m -3m)+2017
=3×1+2017
=2020
小结：本题使用到整体代入求值
下 课
Thanks!
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