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2025-2026学年山西省晋中市昔阳县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则实数x必须满足的条件是（　　）
A. x≠1 B. x=1 C. x≠0 D. x＞1
2.博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体.下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. ma+mb-m=m（a+b） B. （x-2）2=x2-4x+4
C. x2-4x+3=x（x-4）+3 D. x2-9=（x+3）（x-3）
4.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线.验证这一结论的过程中，△OPM与△OPN全等的依据是（　　）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. HL
5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，若点A（2，-5）的对应点A′的坐标为（-1，-3），则点B（-1，1）的对应点B′的坐标是（　　）
A. （-2，3） B. （2，3） C. （-4，-1） D. （-4，3）
7.如图，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转86°后，得到△DEF，则下列说法不正确的是（　　）
A. AB=DE
B. ∠CAB=∠FDE
C. ∠AOE=86°
D. ∠COF=86°
8.如图，某桥梁的钢架结构可抽象为平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O.已知AC⊥BC，BC=4，AC=6，则BD的长度为（　　）
A. 6 B. 10 C. 8 D.
9.如图，已知直线y1=2x+3与直线y2=kx+b（k≠0）交于点（n,6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为（　　）
A. x≤6
B. x≥6
C.
D.
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式ax2-a的结果是 .
12.蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成.如图所示，则正六边形的内角和为 .
13.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE=CA，∠ACE=40°，则∠B的度数为 .
14.为提升作业批改效率，张老师使用AI智能批改系统辅助批改数学作业.使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目.设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为 .
15.如图，在 ABCD中，∠B=60°，AE⊥CD于点E，点F在BC边上，且AF=EF，∠AFE=90°，若AD=4，则CE的长为 .
三、计算题：本大题共3小题，共27分。
16.
(1) 解方程：
(2) 解不等式组：
17.先化简，再求值：，其中.
18.晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱.近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销，学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学.已知两种文创产品的价格如图所示.求学校最多可购买立体拼图多少件？
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF.
(1) 求证：△ABE≌△CDF.
(2) 求证：四边形BEDF是平行四边形.
20.(本小题9分)
如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，4）.
（1）将△ABC向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1.画出平移后得到的△A1B1C1；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB3C3.
21.(本小题9分)
现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣.某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品.已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个.求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价.
22.(本小题9分)
阅读与思考
请阅读下面的材料并完成相应的学习任务.
某中学数学兴趣小组，在《三角形的中位线》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究.
已知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.
求证：DE∥BC，且.
图2是三位同学的探究过程：
甲：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F.
乙：连接BE，CD，过点A作AF⊥DE，垂足为F，分别过点B、C作BG⊥DE，CH⊥DE，交ED、DE延长线于点G、H.
丙：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF.
任务：
（1）任务一：三位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有______.（填人名）
（2）任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整.
（3）任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现B、C两地被某人工湖隔开，如图3所示，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于BC），某同学提出方案“我们可以在与BC平行的人行步道上的点A、D处作好标记，通过皮尺找到AB与DC的中点M、N，通过皮尺测量AD，MN的长度，就可以估算出B、C两点间的距离了”.若测得AD=m,MN=n,请直接写出B、C两点间的距离______.（用含m、n的代数式表示）
23.(本小题12分)
综合与探究
问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究.已知Rt△ABC≌Rt△DFE，∠ABC=∠DFE=90°.将Rt△ABC和Rt△DFE按如图1的方式在同一平面内放置，其中BC与FE重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧.
初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DBE绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），延长AC交DE延长线于点G.如图2，判断CG，EG的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DFC绕点C按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），延长AF交DB延长线于点G.如图3，判断BG，FG的数量关系并说明理由；
拓展探究：（3）若∠A=30°，BC=2.小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持Rt△ABC不动，将Rt△DEF绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若DE所在直线恰好经过△ABC的一个顶点，直接写出此时AE的长度为______.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】a（x+1）（x-1）
12.【答案】720
13.【答案】35°
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】方程两边同时乘（x-2）（x+3），得3（x+3）=2（x-2），
去括号，得3x+9=2x-4，
解得：x=-13，
检验，把x=-13代入（x-2）（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x=-13
【小题2】，
解不等式①，得x＞3，
解不等式②，得x≤4，
∴不等式组的解集是3＜x≤4

17.【答案】．
18.【答案】学校最多可购买立体拼图59件．
19.【答案】【小题1】
证明： ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
【小题2】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形.

20.【答案】；：
21.【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元．
22.【答案】甲乙丙
选择甲：证明：如图甲，过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F．∵EG∥AB，AF∥BC，∴四边形AFGB是平行四边形，∴AF=BG，AB=FG，∵AF∥BC，∴∠F=∠CGE，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴，AE=CE，在△AFE和△CGE中，，∴△AFE≌△CGE（AAS），∴，，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE，∴DE∥BC，；选择乙：证明：如图乙，连接BE，CD，过点A作AF⊥DE，垂足为F，分别过点B、C作BG⊥DE，CH⊥DE，交ED、DE延长线于点G、H．∴∠AFD=∠BGD=90°．∵D是AB的中点，∴AD=BD，在△AFD和△BGD中，，∴△AFD≌△BGD（AAS），∴FD=GD，AF=BG．同理，∵∠AFE=∠CHE=90°，∠AEF=∠CEH，AE=EC，∴△AFE≌△CHE（AAS），∴FE=EH，AF=CH．∴，BG=CH．∵BG⊥GH，CH⊥GH，∴BG∥CH，∴四边形BGHC是平行四边形，∴BC∥GH，BC=GH，∴DE∥BC，；选择丙：证明：如图丙，延长DE至点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF．∵E是AC的中点，∴AE=EC，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF，∠DAE=∠FCE，∴DB∥FC，∵D是AB的中点，∴AD=DB，∴DB=CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DE∥BC，DF=BC，∵DE=EF，∴
2n-m
23.【答案】CG=EG；
BG=FG；
2或2．
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