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2025-2026学年河南省郑州市高新区行知中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
2.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=25°时，∠ADC的度数为（　　）
A. 25° B. 50° C. 130° D. 150°
3.一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是（　　）
A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
4.把抛物线y=5x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线（　　）
A. y=5（x-2）2+3 B. y=5（x-3）2-2 C. y=5（x+2）2+3 D. y=5（x+3）2+2
5.如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是（　　）
A. 80°
B. 50°
C. 40°
D. 25°
6.如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为3m时，标准视力表中最大的“E”字高度为43.62mm,当测试距离为5m时，最大的“E”字高度为（　　）
A. 72.7mm
B. 87.24mm
C. 130.86mm
D. 218.1mm
7.某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查，当单价每涨1元时，每天少售出10件.若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（　　）
A. 涨价后每件工艺品的售价是（20+x）元
B. 涨价后每件售出工艺品的利润是（10-x）元
C. 涨价后每天销售工艺品的数量是（300-10x）件
D. 可列方程为（30+x）（300-10x）=3750
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，点D坐标是（-2，2），点E是对角线AC中点，且，则点E横坐标为（　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
9.用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器.根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：kHz）可近似地看成吸管长度l（单位：cm）的反比例函数.甲、乙两种材质的吸管乐器频率f关于吸管长度l的函数图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（　　）
A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短
B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长
C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大
D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大
10.如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，D是AB的中点，连接DE，DF，EF，设BF=x,△CEF的面积为y,图2是y关于x的函数图象，则m的值为（　　）
A. B. 2.5 C. D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.抛物线y=ax2与抛物线y=3x2相比开口小，那么a= （请写出一个符合条件的a值）.
12.为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数 n 150 300 700 1000 1500
成活数 m 134 271 631 899 1350
成活的频率 0.893 0.903 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）.
13.若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则2025-x1-x2的值为 .
14.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，，BC=2，AD=1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 ，最小值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.
(1) 计算：
(2) 解方程：x2-4x+1=0
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
如图，A、B、C是某景区的三个门，小明可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开
(1) 小明从A门进入景区的概率是
(2) 用画树状图或列表法求小明选择不同的门进出的概率
18.(本小题9分)
如图，直线y=x+2与反比例函数的图象相交于点A（2，n），与x轴交于点B
(1) 根据所给条件，请直接写出不等式的解集
(2) 求反比例函数的表达式
(3) AC⊥x轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接PA，PC，PB，当PA=PC时，求△ABP的面积
19.(本小题9分)
如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在BC和AD上，将矩形ABCD折叠，使点E和点F重合.
（1）请用无刻度的直尺和圆规画出折痕GH，点G在AD上，点H在BC上（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接EG和FH，证明四边形EGFH为菱形.
20.(本小题9分)
如图1，智能机械臂底座AB固定在桌面l（桌面足够大）上，且AB⊥l,AB=BC=30cm,CD=20cm,BC和CD可以分别绕点B，C自由转动，且AB，BC，CD始终在同一平面内
(1) 智能机械臂工作时，某时刻的示意图如图2，∠ABC=150°，∠BCD=100°，请求出此时点D到桌面l的距离（结果精确到1cm.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
(2) 以图2时刻为初始状态，保持∠BCD=100°不变，则BC绕点B顺时针至少转动 °时，CD∥AB
21.(本小题9分)
如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服.如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD.
（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC=90°，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；
（2）若，BC=2米，求车轮的直径AB的长.
22.(本小题11分)
一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
23.(本小题11分)
在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点N为射线BA上一点（不与A、B重合），点M为线段AC上一点（不与A、C重合），AN=CM，连接MN，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，点A旋转到点D，连接CD
(1) 当点N在线段AB上时，△AMN≌ ，判定这两个三角形全等的依据是 （填HL或ASA或AAS或SAS）
(2) 当点N运动至线段BA延长线上时，当AN=2AM时，连接AD，证明△ADN是等腰直角三角形，并求出此时CD的长
(3) 在点N运动过程中，当以A、N、M、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出ND的长．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】4（答案不唯一）
12.【答案】0.9
13.【答案】2026
14.【答案】π-2
15.【答案】

16.【答案】【小题1】原式=
=
【小题2】∵a=1，b=-4，c=1，
∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×1×1=12＞0，
∴，
解得

17.【答案】【小题1】
【小题2】
列表如下：
进出 A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表格可知，小明选择不同的门进出的结果数有6种，一共有9种等可能性的结果数，
∴小明选择不同的门进出的概率为

18.【答案】【小题1】
x＞2
【小题2】
把点A（2，n）代入y=x+2得，n=2+2，即n=4，
∴点A的坐标为（2，4），
把点A（2，4）代入得，即k=8，
∴
【小题3】
如图所示，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，
∵AC⊥x轴于点C，点A的坐标为（2，4），
∴OC=2，AC=4，
∵PA=PC，PD⊥AC
∴，
∴点P的纵坐标为2，
把y=2代入，
解得x=4．
∴P（4，2）．
在y=x+2中，当y=0，则0=x+2，
解得x=-2，
∴B（-2，0），
∴OB=2，
∴BC=OB+OC=4，
∴S△ABP=S△ABC+S△ACP-S△BCP
=
=8

19.【答案】解：（1）折痕垂直平分线段EF，则只需要作线段EF的垂直平分线分别交AD于点G，交BC于点H，如图所示，GH即为所求；

（2）证明：如图所示，设EF，GH交于点O，

由折叠的性质可得GE=GF，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OGF=∠OHE，∠OFG=∠OEH，
∴△OGF≌△OHE（AAS），
∴OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵GE=GF，
∴四边形EGFH是菱形．
20.【答案】【小题1】
智能机械臂工作时，某时刻的示意图如图2，∠ABC=150°，∠BCD=100°，如图所示，过点C作l的平行线，交AB的延长线于点F，过点D作l的垂线，垂足为点E，交直线FC于点G．
∵AB⊥l,FG∥l,GE⊥l,
∴AB⊥FG，GE⊥FG，
∴∠AFG=∠FAE=∠AEG=∠EGF=90°，
∴EG=AF．
∵∠ABC=150°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=30°，
∴∠BCF=90°-∠CBF=60°，
∵∠BCD=100°，
∴∠GCD=180°-60°-100°=20°．
在Rt△BCF中，．
在Rt△CDG中，GD=CD sinGCD≈20×0.34=6.8（cm）
∴DE=EG-GD=AF-DG=30+25.95-6.8≈49（cm）．
答：此时点D到桌面l的距离约为49cm.
【小题2】
70

21.【答案】解：（1）徽徽的猜想正确，
理由如下：如图②，连接OD，
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠C+∠DOC=90°，∠ODB+∠BDC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°
∴∠A=∠BDC，
由圆周角定理得：∠DOC=2∠A，
∴∠DOC=2∠BDC，
∴∠C+2∠BDC=90°；
（2）∵∠A=∠BDC，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴==，即==，
解得：CD=，AB=1，
答：车轮的直径AB的长1米．
22.【答案】解：（1）∵8-6=2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为y=a（x-2）2+3，
把点 A（8，0）代入得：36a+3=0，
解得a=-，
∴抛物线的函数表达式为y=-（x-2）2+3；
当x=0时，y=-×4+3=＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=-（x-2-m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25=-（0-2-m）2+3，
解得 m=-5（舍去）或m=1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
23.【答案】【小题1】
MDC
SAS
【小题2】
证明：如图所示，过点D作DE⊥AN于点E，
由旋转的性质可得AM=DM，∠AMD=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=180°-∠BAC-∠MAD=45°，
∵DE⊥AN，
∴∠DEA=∠DEN=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠ADE=45°；
∵AN=2AM，AN=CM，
∴CM=2AM，
∵AC=AM+CM=4，
∴，；
∵∠AMD=90°，∠DAE=∠DAM=45°，DE⊥AN，
∴，
∴，
又∵DE=DE，
∴△AED≌△NED（SAS），
∴AD=ND，∠NDE=∠ADE=45°，
∴∠ADN=90°，
∴△ADN是等腰直角三角形；
在Rt△CDM中，由勾股定理得
【小题3】
解：由旋转的性质可得AM=DM，∠AMD=90°，
∴∠AMD=∠BAC=90°，
∴DM∥AB，即DM∥AN，
∵以A、N、M、D为顶点的四边形为平行四边形，
∴AN，DM为以A、N、M、D为顶点的四边形的一组对边，
∴AN=DM=AM，
∵AN=CM，
∴AM=CM，
∴；
如图所示，当点N在AB上时，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，
同（2）可得AE=DE=DM=2，
∴EN=AN+AE=4，
∴；
如图所示，当点N在BA的延长线上时，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴ND=AM=2，
综上所述，当以A、N、M、D为顶点的四边形为平行四边形时，ND的长为2或

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