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2025-2026学年河南省郑州市第六初级中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1.中国传统纹样承载着深厚的文化底蕴，下面的纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式不成立的是( )
A. B.
C. D.
3.下列分式为最简分式的是( )
A. B. C. D.
4.“已知在中，，求证：”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾( )
A. 等边对等角 B. 等角对等边
C. 三角形的内角和定理 D. 三角形的三边关系
5.如图， 的对角线交于点，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.某班级为丰富阳光大课间活动，计划购买羽毛球拍和乒乓球拍共副已知羽毛球拍每副元，乒乓球拍每副元，活动总费用不超过元设购买羽毛球拍副，根据题意可列不等式( )
A. B.
C. D.
7.如图，已知，，若平分，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.若可以被和之间的某两个数整除，这两个数是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
9.已知定义为：例如，若关于的函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，规定：将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，称为一次“变换”则连续经过次“变换”后，顶点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.不等式组的所有整数解的和为 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，荷花，，，的坐标分别是，，，为了让整个布局关于轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标写出你的操作过程： ．
13.如图是古建筑中的花窗，图是从其中抽象出的几何图形，则的度数为
14.如图，在平行四边形中，，，为对角线，若，则的长度为 ．
15.如图，在中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为 ．
三、解答题
16.按要求完成下列各题：
先化简：，然后从的整数中选取一个合适的整数代入求值
请写出一条分式化简求值过程中的注意事项
17.如图，在边长为的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题：
画出平移后的，使得点的对应点是点
画出关于点成中心对称的
点、是直线上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点的位置，并直接写出的最小值
18.如图，在四边形中，，，，为四边形的对角线，且平分
求的长
若，分别为边，的中点，点为对角线的中点，，，求的长
19.根据所给材料解答下列问题．
材料：如图，平行四边形的对角线与相交于点，点是上一点，请用无刻度直尺和圆规，在上求作一点，使得四边形为平行四边形．
材料：小明很快有了思路，他的作图痕迹如图所示：
请判断小明的作法是否符合题意，并说明理由
请你在图中作出一种不同于小明的作法．保留作图痕迹，不写作法
20.随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进，两种型号的清洁机器人，每台型机比每台型机平均每小时少清扫平方米，一台型机清扫平方米所用时间是一台型机清扫平方米所用时间的倍．
每台型机和每台型机平均每小时分别清扫多少平方米？
若物业公司共购进台机器人，型机器人元台，型机器人元台公司要求这批机器人每小时至少清扫平方米楼道，那么该公司如何购买型和型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本．
21.定义：对于分式，若存在整数，使得该分式的值为整数，则称整数是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为，则称是分式的巧数
“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由
求分式所有的巧数
对于分式，小华通过整理得出，借助问题的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数
22.如图，为等边三角形，过点作直线，点是直线上的一个动点不与重合，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
当点在点上方时．
求证：；
连接，猜想，，这三条线段之间的数量关系，并说明理由
当点在点下方时，直接写出，，这三条线段之间的数量关系
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】点荷花向左平移个单位长度
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】原式
；
分式有意义，
，，，
或；
当时，原式；
当时，原式
【小题】注意运算顺序应先算除法，再算减法答案不唯一

17.【答案】【小题】如图，即为所求；
【小题】如图，即为所求；
【小题】如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线的交点即为所求，
的最小值是，
的最小值为，即

18.【答案】【小题】平分，
，
，
，
，
【小题】，分别为，的中点，为对角线的中点，
、分别为和的中位线，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
由勾股定理考点，

19.【答案】【小题】小明的作法符合题意，理由如下：
由作图痕迹得，
，
平行四边形的对角线与相交于点，
，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，
小明的作法符合题意
【小题】以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，，四边形是平行四边形．

20.【答案】每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米 购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元
21.【答案】【小题】正确，
理由：
把代入，
是整数，
是分式的巧数
【小题】解：分式值为整数，
是的因数，
，，则的值为，，，，
，，，是分式的巧数
【小题】由题意得：，
分式有意义，故，
又，
的值为整数，
为整数，则是的因数，
，
或，
分式的巧数为，

22.【答案】【小题】证明：由题意得：，
，
为等边三角形，
又为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又直线，
，
；
解：猜想：理由如下：
如图，连接，
由可知，
，
，
在与中，
，
≌，
，
在中，，
由得≌，
，
，
【小题】解：或理由如下：
如图，当点在点下方，点在的右侧时，
由，同理可得，≌，≌，
，，
，
；
如图，当点在点下方，点在的左侧时，
由，同理可得，≌，≌，
，，
，
．
综上所述，或

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