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2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试
数 学
注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。
1.样本数据2,1,3,9,7,5,6的中位数为
A. B. C. D.
2.已知是平面内的一组基底向量。与都不共线且,则不能为
A. B. C. D.
3.集合, ,则
A. B. C. D.{
4. 曲线在处的切线方程为
A. B. C. D.
5.抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为
A. B. C. D.
6.已知函数的最大值为，则
A. B. C. D.
7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层。上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块。每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块。则每层的环数是
A. B. C. D.
8.设集合为平面中点构成的集合，。从中随机取一个点(不包含),该点与构成的直线与轴平行的概率为
A. B C. D
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题不止一个选项符合题意。全 部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分。
9.设,则
A. B. C. D.
10. 已知圆圆圆、的圆心分别记为、, 直线与圆、、均有两个交点，则
A. 圆的半径为 B.
C. D. 直线可以是
11.半径为的球壳（球壳厚度不计）中可以装入
A. 半径为的球 B. 边长为的正方体
C. 底面半径和高均为的圆柱 D. 底面半径和高均为的圆锥
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡对应横线上。
12.椭圆的离心率为___________.
13.已知函数的最大值为，则___________.; 若,则
14.等差数列前项和,对且,设存在，使得则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时，
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分13分）
如图，在直三棱柱中，分别为,的中点，
(1)证明：平面
(2)设直线与平面所成的角为, 求长度。
16. （本题满分15分）
已知中 ,,.
(1)求的长度；
(2)设点在延长线上,且满足.求.
17. （本题满分15分）
某场篮球比赛每次投篮后有三种情况：命中篮筐后根据命中难度记或分，未命中则不计分.设某选手命中得3分的概率为命中得分的概率为. 各次命中与否、命中得分相互独立.每场比赛的值恒定.
(1)当时，求该选手某次投篮后未命中的概率；
(2)某选手得分的概率为，命中得分的概率为. 赛制要求选手,两人轮流投篮，先得分者获胜。首次投篮为或的概率为.
(i)在选手经过次投篮恰好每次都命中并获得分的条件下，求的数学期望。
(ii)结合具体的值，计算说明先手方是否总是具有更大的获胜可能性。
18. （本题满分17分）
已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为,长轴长为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)设直线与存在两个交点、, 求面积的最大值；
(3)设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围。
19. （本题满分17分）
设非常数函数的导函数为，且.对任意实数，恒有
(1) 求;
(2)设，证明：对任意恒成立；
(3)证明：对任意实数, 都有;
(4)设是方程的两个不同实根，且. 证明：对任意都有 .保密★启用前
2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试
数学参考答案
注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D C D A D C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题不止一个选项符合题意。全 部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分。
9 10 11
AD ABC ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡对应横线上。
12 13 14
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在直三棱柱 中，， 分别为 的中点。
(1) 证明：平面
证明：在 中，、 分别为 、 中点，
由三角形中位线定理得：。
又 平面 ，平面 ，
根据线面平行的判定定理，可得 平面 。
证毕。
(2) 求 长度
已知：，直线 与平面 所成角为 。
解析：因为几何体为直三棱柱，所以侧棱 底面平面 。
由线面角定义：斜线 与平面 所成角为其射影 与 的夹角，即 。
在 中，，
故 为等腰直角三角形，。
由题 ，，
由勾股定理：。
又 为 中点，所以 。
16.（15分）
在 中，。
(1) 求 的长度
解析：由余弦定理
代入数据：
故。
(2) 若 ，求
解析：由 ，且 ，。
由 ，得 。
在 中，由余弦定理：
得 。
由正弦定理：
。
17.（15分）
选手A：3分概率，1分概率；选手B：3分概率，1分概率；不中为剩余概率，各次独立。
(1) 当 ，求选手A单次投篮未命中概率
解析：投篮结果互斥：3分、1分、不中，概率和为1。
代入 ：
。
(2)(i) 求X的数学期望（B每次全命中、恰好X次得6分）
解析：在命中条件下：，
满足总分为6分的全命中次数
数学期望：
(2)(ii) 先手胜率分析
解析：
1. 当 时，选手A三分概率 极小，得分效率低，后手B得分稳定性更强，后手胜率更高；
2. 当 时，先手A率先出手，积累分数更快，先手胜率更高；
结论：在区间 内，先手方不总是具有更大的获胜可能性。
18.（17分）
椭圆 ，焦距 ，长轴长 ；双曲线 。
(1) 求双曲线 离心率
解析：由椭圆条件：，
双曲线：
双曲线参数：
离心率 。
(2) 求 面积最大值
解析：直线，椭圆
联立消去y：
设 ，
韦达定理：
弦长公式：
原点到直线距离：
面积 ，
化简换元结合均值不等式可得：。
(3) 直线 与两曲线总交点恰2个，求范围
解析：总交点为2个，等价于：与其一曲线相切、与另一曲线无交点；
联立直线与椭圆、双曲线，分别令判别式 求出临界值，结合图像取舍：
最终取值范围：
19.（17分）
对任意实数 ，恒有，且 。
(1) 求
令等式中 ，代入 ，得
得到两种可能： 或 。
先令 ，原式 (1) 变为：
若 ：无矛盾；
若 ：，由于不是常数函数，矛盾；
故 .
下面我们来看导数条件：
固定，等式两边同时对求导，
得
令得为未知常数,
结合 ，得;
令得，代入函数值进行验证符合题目条件.
(2) 设 ，证明： 对任意 恒成立
由 ，得
整理成标准二次函数顶点式：
对任意实数 ：，
因此,.
故 ，，得证。
(3)证明：对任意实数 ，都有
即证：
就是证明：
换元令 ，就要证：
二次函数，开口向上，对称轴：
最小值在 处：
在定义域 上最小值为 ，故对任意实数 ，.
所以命题“对任意实数, 都有”得证。
(4) 设 是方程 的两个不同实根，。
证明：对任意 ，都有 。
步骤 1：解方程 ，求两根
移项整理：
两根：
即证：对任意都有
就是证：对任意都有
由于，所以
命题对任意都有显然成立！
所以命题“对任意都有”得证。
(
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