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2025-2026学年福建省莆田市荔城区中山中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数是无理数的是（　　）
A. B. C. π D. 2026
2.如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　）
A. ∠1=∠5
B. ∠4=∠2
C. ∠2=∠3
D. ∠1+∠4=180°
3.在平面直角坐标系中，点P（-3，a2+1）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，图1、图2是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形（图3），则大正方形的边长为（　　）
A. B. 2 C. D. 4
5.如图是某学校的示意图，以办公楼所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则教学楼的坐标是（　　）
A. （2，4） B. （-2，4） C. （-2，-4） D. （2，-4）
6.一副三角板按如图所示放置，BC∥DF，则∠ACF的度数为（　　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
7.如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用（30，60°）表示，目标D用（50，210°）表示，则（40，330°）表示的是（　　）
A. 目标A
B. 目标C
C. 目标E
D. 目标F
8.已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（　　）
A. 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B. 如果b∥a，c∥a，那么b∥c
C. 如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D. 如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c
9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点M，N均在格点上，以某一个格点为原点，适当方向为x,y轴的正方向，取相同单位长度建立平面直角坐标系，则下列不可能是同一个坐标系中点M，N的坐标的是（　　）
A. M（-2，0），N（1，1）
B. M（-1，0），N（0，2）
C. M（-4，-4），N（2，-2）
D. M（1，2），N（4，3）
10.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A2026B2026的长为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.0的立方根是 ．
12.在平面直角坐标系中，点P（3m+3，m-1）在y轴上，则m的值为 .
13.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠DOF=70°，求∠BOC的度数为 .
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB方向运动.则CD的最小值是 .
15.我国古代数学经典《九章算术 少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一.魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础.今有算题：若，，则b等于 .
16.如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1=∠2，则∠3=∠4；②若∠1+∠4=180°，则c∥d；③∠4-∠2=∠3-∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4=360°．正确的有 （填序号）．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：.
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知2m-1的算术平方根是3，2n的立方根是-4，求：
(1) m,n的值
(2) 的平方根
19.(本小题8分)
如图所示，AB∥CD，点E、G在直线AB上，点F在直线CD上，FE平分∠GFD，且∠1=50°.求∠BEF的度数.
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”.
（1）点A（-3，5）的“长距”为______；
（2）若点B（4-2a,-2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（-2，3b-2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9-2b,-5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由.
21.(本小题8分)
阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：∵3＜π＜4，∴π的整数部分为3，小数部分为π-3．再如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为
(1) 若的整数部分为m,小数部分为n,则m= ，n=
(2) 已知．
①若x是整数，且0＜y＜1，求x-2y的值；
②若x,y分别是一张长方形纸片ABCD的长和宽，将该纸片按如图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形ABFE和一个长方形CDEF，已知CD=2DE．y的整数部分______
22.(本小题8分)
将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150．
(1) 若边BC与三角板DEF的直角边DE平行，且DE在MN上方时，t的值为
(2) 若边BC与三角板DEF的另一直角边DF平行时，求t的值为
23.(本小题8分)
根据以下思考，探索完成任务．
光的反射规律
问题
背景 科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等．
素材1 图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．
素材2 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
素材3 三角形的内角和是180°
(1) 任务1数学表达
根据素材1，利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行
(2) 任务2数学观察与表达
如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n.猜想：两面平面镜AB与CD具有怎样的位置关系时，入射光线能与反射光线平行（即m∥n）？并说明理由
(3) 任务3数学分析与表达
如图4，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=α°，镜面AB、BC的夹角∠B=120°，已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求∠BCD的度数．（可用含有α的代数式表示）
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点A（a,0），B（b,3）的坐标满足+（2b+4）2=0
(1) 求三角形AOB的面积
(2) 线段CD是由线段AB平移得到（点A的对应点C在y轴上），且点D到y轴的距离是D到x轴的距离的2倍．
①求三角形AOC的面积；
②当点D在第一象限内时，x轴上是否存在点P，使得∠BPD-∠ABP=∠CDP总成立？若存在，求三角形ABP的面积的范围；若不存在，请说明理由
五、操作解答题：本大题共1小题，共8分。
25.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】0
12.【答案】-1
13.【答案】140°
14.【答案】
15.【答案】1000
16.【答案】①②③
17.【答案】．
18.【答案】【小题1】∵2m-1的算术平方根是3，
∴2m-1=32=9，
∴2m=10，
∴m=5，
∵2n的立方根是-4，
∴2n=（-4）3=-64，
∴n=-32
∴m=5，n=-32
【小题2】由（1）m=5，n=-32，
∴，
∴的平方根是

19.【答案】115°．
20.【答案】5
21.【答案】【小题1】
4
【小题2】
①；②4

22.【答案】【小题1】
30
【小题2】
120

23.【答案】【小题1】证明：∵AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠5=180°，∠3+∠4+∠6=180°，
∴∠5=∠6，
∴m∥n
【小题2】解：AB⊥CD；理由如下：
如图3，m∥n,
∴∠EAC+∠FCA=180°，
∵∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠4+∠FCA=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2（∠2+∠3）=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠ABC+∠2+∠3=180°，
∴∠ABC=180°-∠2-∠3=180°-90°=90°，
∴AB⊥CD
【小题3】解：当第n（n为正整数，n≤3）次反射光线与入射光线EF平行时，分类讨论如下：
①当n=3时，如图3：
∵∠BEG=∠1=α°，
∴∠BGE=∠CGH=180°-∠B-∠BEG=180°-120°-α°=60°-α°，
∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2α°，
∠EGH=180°-2∠BGE=180°-2（60°-α°）=60°+2α°，
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，
∴∠GHK=360°-（180°-2α°）-（60°+2α°）=120°，
∴∠GHC=30°，
由△GCH内角和得∠BCD=180°-∠GHC-∠CGH=180°-30°-（60°-α°）=90°+α°；
②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠B=90°，与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图4：
∵∠GBC=180°-∠ABC=60°，
∴∠G=∠BCD-∠GBC=∠BCD-60°，
由EF∥HK，（1）的结论可得，
∠G=∠BCD-60°=90°，
则∠BCD=150°．
综上所述，∠BCD的度数为90°+α°或150°

24.【答案】【小题1】∵点A（a,0），B（b,3）的坐标满足+（2b+4）2=0，
依题意得：，
解得：，
∴A（-3，0），B（-2，3），
∴OA=3，yB=3，
∴S△AOB=
【小题2】①∵C在y轴上，
∴C（0，yC），
∵A（-3，0），
∴AB向右平移的距离为0-（-3）=3，
∵B（-2，3），
∴D（1，yD），
∵点D到y轴的距离是点D到x轴的距离的2倍，
∴1=2|yD|，
解得：或，
∵A，B的高度差为3，
∴C，D的高度差也为3，
当，，如图1，
∴，
∴，
∴；
当，则，如图2，
∴，
∴，
∴；
∴或；
②x轴上存在点P，使得∠BPD-∠ABP=∠CDP总成立．理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠ABP=∠BPQ，∠CDP=∠DPQ，
∵点P在x轴上，
∴当点P在AB左侧时，如图3，
∠BPD+∠BPQ=∠DPQ，
∴∠BPD-∠ABP=∠CDP；
当点P在AB和CD之间时，如图4，
∠BPD-∠BPQ=∠DPQ，
∴∠BPD-∠ABP=∠CDP总成立；
当点P在CD右侧时，如图5，
∠BPD+∠DPQ=∠BPQ，
∴∠BPD+∠CDP=∠ABP；
当点P与A重合时，AP=0，如图6，
∴；
当点P在CD上时，如图7，
∵OC=2.5，C、D的水平距离和竖直高度的比是，
∴，
∴，
∴．
∴

25.【答案】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求，
A′（-4，-2），B′（0，-4），C′（1，-1）；

（2）△A′B′C′的面积：3×5-×1×5-2×4-×1×3=7．
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