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2025-2026学年四川省成都市锦江区金苹果锦城第一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A. x≠3 B. x＞3 C. x＜3 D. x=3
3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. x2-3x+1=x（x-3）+1 B.
C. x2-1=（x+1）（x-1） D. （x-1）2=x2-2x+1
4.若a＞b,则下列结论不成立的是（　　）
A. 2a＞2b B. C. a+m＞b+m D. -4a＞-4b
5.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A. OA=OC
B. AB=CD
C. AC=BD
D. ∠ABC=∠ADC
6.在平面直角坐标系xOy中，将点A（3，-2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　）
A. （1，2） B. （1，-6） C. （5，2） D. （5，-6）
7.如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△BDE，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（　　）
A. 80°
B. 75°
C. 70°
D. 65°
8.南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务.设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.如果分式的值为0，那么x的值为 ．
10.分解因式：2a2-8= .
11.如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，连结AD，若BF=7cm,CE=1cm,则AD= cm.
12.已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是 .
13.如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D.若BD=4，AD=3，且∠B=45°，则AC的长为 .
14.已知x+y=2，则= .
15.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10，CD=3，则△ABD的面积为 ．
16.若分式方程的解为正数，则a的取值范围是 ．
17.分式的值为正整数，则正整数x的值为 .
18.如图1，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形PQMN（不重叠、无缝隙），已知PN=MN=QM=PQ，若有，则QH的长为 .
三、计算题：本大题共3小题，共26分。
19.按要求完成下列计算
(1) 解不等式组：
(2) 解分式方程：
20.先化简：，然后从-3，0，3中选一个合适的数作为x的值代入求值.
21.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同
(1) 求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？
(2) 学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别是A（-5，1），B（-1，3），C（-1，1）．
（1）平移△ABC，使得点A的对应点A1的坐标为（1，3），画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标为________．
23.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y2=4x的图象交于点A，点A的纵坐标为-4
(1) 求b的值
(2) 当y1＜y2时，请根据图象直接写出x的取值范围
(3) 已知点D是y轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点D的坐标
24.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一点.连结AD、E为AD边上一点，DE=DB，连结BE，CE，记∠ABE=α.
（1）用含α的代数式表示∠CAD.
（2）若△CDE是以DE为腰的等腰三角形，BD=1，求AD的长.
（3）如图2，延长BE交AC于点F，若FC=7，AD=12，求BD的长.
25.(本小题10分)
以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，取AB，BC中点D，E，将△ABC沿DE剪开，得到四边形ACED和△DEB，可知DE⊥BC，将△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG．
【操作发现】
(1) 若FG交BC于点M，连接DM，求证：△DFM≌△DEM；
【深入探索】
(2) 在（1）的条件下，同学们发现将△DEB旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．如图2，若A，F，G三点共线，求MF的长；
【拓展延伸】
(3) 连接CF，CG，在△DFG旋转的过程中，请求出△CFG面积的最大值
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+4（k＜0）与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，且与直线l2：y=x相交于点C．点P在直线l1上运动（不与点C重合），过点P作x轴的平行线，与直线l2相交于点Q，连接OP，AQ，记△OCP的面积为S1，△ACQ的面积为S2．
(1) 若点C的横坐标为1．
①求k的值；
②如图1，当点P与点A重合时，直接写出的值
(2) 在（1）的条件下，如图2，点P在线段AC上运动（不与点A，C重合）时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
(3) 求的值（用含k的代数式表示）
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】3
10.【答案】2（a+2）（a-2）
11.【答案】4
12.【答案】x＜2
13.【答案】5
14.【答案】2
15.【答案】15
16.【答案】a＜8，且a≠4
17.【答案】1或2
18.【答案】
19.【答案】【小题1】，
解不等式①，得；
解不等式②，得x≤25，
∴不等式组的解集为
【小题2】把分式方程变形为：，
方程两边同时乘（x-2），得4x-（x-2）=-3，
去括号，得4x-x+2=-3，
解得：，
检验，把代入x-2≠0，
∴方程的解为

20.【答案】，．
21.【答案】【小题1】设B型劳动工具单价为x元，
根据题意，得，
解得x=25，经检验，x=25是原分式方程的解，且符合题意，
x-5=20，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元
【小题2】设购买A型劳动工具m把，总花费为w元，
得m≤3（100-m），
解得m≤75，
总花费w=20m+25（100-m）=-5m+2500，
∵-5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=75时，
w取得最小值，
此时100-m=25，w=-5×75+2500=2125 （元），
答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少

22.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）（3，1）
23.【答案】【小题1】正比例函数y2=4x的图象交于点A，点A的纵坐标为-4．将y=-4代入得：
4x=-4，
解得：x=-1，
∴点A的坐标为（-1，-4），
一次函数y1=x+b的图象与正比例函数y2=4x的图象交于点A，将点A的坐标代入y1=x+b,得：
-4=-1+b,
解得：b=-3
【小题2】x的取值范围为x＞-1；理由如下：
由图可知，点A的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象，
∴当y1＜y2时，x的取值范围为x＞-1
【小题3】∵OA与y轴不垂直，
∴点O不是直角顶点，
①当点D为直角顶点时，如图1，
∵AD⊥OD，
∴点D的坐标为（0，-4）；
②当点A为直角顶点时，如图2，设点D的坐标为（0，a），则OD=|a|，
由勾股定理可得，，，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2+AD2=OD2，
∴17+a2+8a+17=a2，
解得：，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为（0，-4）或

24.【答案】2α 或2
25.【答案】【小题1】证明：∵∠C=90°，D、E为AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵C、E、B三点共线，
∴∠DEC=180°-∠DEB=90°，
∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，
∴∠DFG=∠DEB=90°，DF=DE，
∴∠DFG=∠DEC=90°，
在Rt△DFM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DFM≌Rt△DEM（HL）
【小题2】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，且BC中点为E，
∴∠DGF=∠B，DG=DB=5，
∵AD=DB，
∴AD=DG，
∵A，F，G三点共线，
∴∠DGF=∠DAG，
∴∠B=∠DAG，
∴MA=MB，
设MA=MB=x,
在Rt△ACM中，MA2=AC2+MC2，
则x2=62+（8-x）2，
解得，
由（1）可知，△DFM≌△DEM，
∴MF=ME=BM-BE=
【小题3】解：如图，过C作CN⊥FG于点N，
∵FG=BE=4为定值，
∴当FG上的高线CN最大时，则△CFG的面积最大，即求出C到FG的最大距离即可，
∵CN≤CF，
当点N和点F重合时，且△DFG旋转到AB外侧时，此时CN最大，
∵DF⊥FG，
∴此时C、D、F三点共线，
即CN=CF=CD+DF=8，
∴，
即△CFG面积最大值为16

26.【答案】【小题1】①∵点C的横坐标为1，且点C是直线l1与直线l2的交点，
∴点C的纵坐标为：y=x=1，
把点C的坐标（1，1）代入y=kx+4，
可得：k+4=1，
解得：k=-3；
②∵直线l1：y=kx+4（k＜0）与y轴相交于点A，
∴当x=0时，y=4，
∴A（0，4），
∵PQ∥x轴，
∴PQ⊥y轴，
当点P与点A重合时，yA=yQ=4，
将yQ=4代入y=x得，xQ=4，
∴Q（4，4）
∴
【小题2】的值是定值，这个定值为；
理由如下：
由①可知直线l1的解析式为y=-3x+4，
当x=0时，可得：y=-3x+4=4，
∴点A的坐标为（0，4），
∴OA=4，
设点P的坐标为（xp，-3xp+4），
∵PQ∥x轴，点Q在直线l2：y=x上，
∴点Q的坐标为（-3xp+4，-3xp+4），
∴PQ=-3xp+4-xp=-4xp+4，
∴，
，
∴；
故的值是定值，这个定值为
【小题3】设点P的坐标为（xp，kxp+4），则点Q的坐标为（kxp+4，kxp+4）
联立直线l1，l2表达式可得，，
解得，
∴点C的坐标为，
当点P在线段AC上时，
∴，
∴同上：；
当点P在线段CA延长线上时，
∴，
∴，
当点P在线段AC延长线上时，
∴，
∴．
综上：

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