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2025-2026学年北京市第五十七中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2.下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 6，12，13 D. 7，24，25
3.平行四边形的周长为10cm,其中一边长为3cm,则它的邻边长为（　　）
A. 2 cm B. 3cm C. 4cm D. 7cm
4.下列各式正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.下列有关四边形的命题中，是真命题的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形
D. 四条边相等的四边形是正方形
6.正方形具有而矩形没有的性质是（　　）
A. 对角线互相平分 B. 对边相等
C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角
7.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2，则AC长为（　　）
A.
B. 4
C.
D. 8
9.下面的三个问题中都有两个变量：
①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y与行驶时间x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
10.如图，在正方形ABCD中，P为边BC上一点（点P不与点B，C重合），AH⊥DP于G，并交CD于点H，CF⊥AH交AH延长线于点F.给出下面三个结论：
①PC+AD=AH；
②；
③.
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A. 仅有②
B. 仅有③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.函数y=的自变量x的取值范围是 .
12.在 ABCD中，∠A+∠C=160°，则∠B= °.
13.如图，在数轴上点A表示的实数是 .
14.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为 ．
15.如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF=90°.若OE=3，OF=2，则BE的长为 .
16.如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCO的边AB∥CO，点B坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B，O两点重合，折痕为EF，求折痕EF的长为 .
17.矩形纸片两邻边的长分别为a,b（a＜b），连接它一条对角线.用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形ABCD，其边长为a+b.如图中正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为 .（用含有a,b的式子表示）
18.为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作.各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类.某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：
志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2
甲 6：00-8：00 16：00-18：00
乙 6：30-7：30 17：00-20：00
丙 8：00-11：00 18：00-19：00
丁 7：00-10：00 17：30-18：30
已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为 小时，最长为 小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知x=-1，求代数式x2+2x-6的值.
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，求证：DE=BF.
22.(本小题8分)
下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴______=______．
在 ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（______）（填推理的依据）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．（______）（填推理的依据）
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=10，BC=m,AC=n,且m,n满足，D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE，点F恰好落在边AB上
(1) 求证：△ABC是直角三角形
(2) 如图，若D为AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，连接AC，且AC=CD.
（1）求CD的长；
（2）若，求BD的长.
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，点F在CE的延长线上，且AF∥BD，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF
(1) 求证：四边形BDFG是菱形
(2) 若AB=12，BC=5，求四边形BDFG的周长
26.(本小题8分)
阅读材料，小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如，
这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）结合小明的探索过程填空：______+______；
（2）的算术平方根为______；
（3）化简：（n为正整数）.
27.(本小题8分)
正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内一点，且BP⊥CP.
（1）如图1，P为正方形ABCD外一点，过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E，探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接写出图1中BP、CP、OP三者之间的关系；
（3）如图2，当点P在正方形ABCD内部时，其他条件不变，问BP、CP、OP三者之间又存在怎样的关系？并说明理由.
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作d（M，N）.
在 ABCD中，点A（4，8），B（-4，0），C（-4，-8），D（4，0），如图1.
（1）直接写出d（点O， ABCD）= ______ ；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P， ABCD）=4，求点P坐标；
（3）已知点E（a,-a），F（a+2，-a），G（a+1，-a-1），H（a+3，-a-1），顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W（包括边界）.
①当a=-1时，在图2中画出图形W，直接写出d（W， ABCD）的值；
②若0≤d（W， ABCD）＜1，直接写出a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≥-2
12.【答案】100
13.【答案】
14.【答案】（3，）
15.【答案】2
16.【答案】2
17.【答案】3a2+3b2
18.【答案】5
14

19.【答案】【小题1】原式=3-4+2
=
【小题2】原式=3-2+1+3-4
=3-2

20.【答案】解：x2+2x-6=（x+1）2-7
当x=时，
原式=
=5-7
=-2．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠CBA．
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE=∠ADC，∠CBF=∠CBA，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF．
22.【答案】AF BE 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 邻边相等的四边形是菱形
23.【答案】【小题1】∵，
∴m-6=0，n-8=0，
∴BC=m=6，AC=n=8，
又∵AB=10，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
【小题2】如图，连接CF交DE于点Q，
∵△DCE沿DE折叠得△DFE，
∴CD=DF，CE=FE，DE垂直平分CF，
∴DE⊥CF，
∵D为AC中点，
∴CD=AD，
∴DF=AD，
∴∠DAF=∠DFA，
∵CD=DF，
∴∠DCF=∠DFC，
∵∠DAF+∠DFA+∠DCF+∠DFC=180°，
∴2∠DFA+2∠DFC=180°，
∴∠DFA+∠DFC=90°即∠CFA=90°，
∴CF⊥AB，
∵DE⊥CF，
∴DE∥AB，
∴∠BFE=∠DEF

24.【答案】（1）5.
（2）.

25.【答案】【小题1】证明：∵AF∥BD，FG=BD，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵CE⊥BD，AF∥BD，
∴CF⊥AF，
∴∠CFA=90°，
在Rt△AFC中，D是AC中点，
∴DF=AC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴BD=AC，
∴BD=DF，
∴平行四边形BDFG是菱形
【小题2】解：在Rt△ABC中，AB=12，BC=5，
∴AC===13，
∵D是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BD=AC=，
由（1）可知，四边形BDFG是菱形，
∴BG=GF=DF=BD=，
∴菱形BDFG的周长=4BD=26

26.【答案】21，4； 2+； -1．
27.【答案】解：（1）画图如下：
数量关系：BE=PC，
理由如下：连接OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，OB⊥OC，
∵OE⊥OP，
∴∠EOP=∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠BOP=∠POC+∠BOP，∠EOB=∠POC，
∵OE⊥OP，BP⊥CP，
∴∠E+∠OPE=∠OPC+∠OPE=90°，
∴∠E=∠OPC，
在△BOE和△COP中，
，
∴△BOE≌△COP（AAS），
∴BE=PC；
（2）BP+CP=OP，理由如下：
由（1）知BE=PC，OE=OP，
∴△EOP是等腰直角三角形，
∴BE+BP=OP，
即BP+CP=OP，
故答案为：BP+CP=OP；
（3）CP-BP=OP，
理由如下：如图2，过点O作OE⊥OP 交BP的延长线于E，连接OB，交CP于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，OB⊥OC，
∵OE⊥OP，
∴∠EOP=∠BOC=90°，
∴∠EOP+∠BOP=∠BOC+∠BOP，
即∠EOB=∠POC，
∵OE⊥OP，BP⊥CP，
∴∠OBE+∠BFP=∠OCP+∠OFC=90°，
又∵∠BFP=∠OFC，
∴∠OBE=∠OCP，
在△BOE和△COP中，
，
∴△BOE≌△COP（ASA），
∴BE=CP，OE=OP，
∴△EOP是等腰直角三角形，
∴EP=OP，
又∵EP=BE-BP=CP-BP，
∴CP-BP=OP．
28.【答案】（1）2；
（2）如图1中，过点P作PH⊥AB于点H，设AB交y轴于点Q．
∵d（点P， ABCD）=4，
∴PH=4，
∵∠PQH=∠BQO=45°，
∴PH=HQ=4，
∴PQ==4，
∵OB=OQ=4，
∴OP=OQ+QP=4+4，
∴P（0，4+4）；
（3）①；
②-4＜a＜-2或-1＜a＜+2．
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