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2025-2026学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数为无理数的是（　　）
A. -1 B. C. D. 0.7
2.在平面直角坐标系中，点P（-1，2）在（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 调查全班同学的身高情况 B. 调查全国中小学生的课外阅读情况
C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
4.如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOE=15°，则∠COB的度数是（　　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5.工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做的根据是（　　）
A. 两点之间线段最短
B. 三角形的内角和等于180°
C. 三角形两边的和大于第三边
D. 三角形的稳定性
6.如图，△ABC≌△ADE，点A，C，D在同一条直线上，AB=5，AE=2，则CD的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E.若∠B=70°，∠DAE=20°，则∠C的度数是（　　）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
8.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A. a＞13 B. a≥13 C. a＜13 D. a≤13
9.如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿DE所在直线翻折至正方形ABCD所在平面内得到△FDE，延长EF与AB交于点G，若EG=2AG，则∠ADE的度数是（　　）
A. 66°
B. 66.5°
C. 67°
D. 67.5°
10.在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上.这五张卡片分别记为A、B、C、D、E.张华依次将相邻两张卡片上数的和告诉给参与者，请参与者判断说法的正误.如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和.
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 54 66 59 71 48
下列说法中，正确的有（　　）个.
①B，D上的数字可能都是奇数；
②五张卡片上的数的总和为149；
③若将卡片上的数按从小到大排列顺序，则顺序为：A＜C＜D＜E＜B.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
11.如图，在△ABC中，∠A=50°，点D在BC的延长线上，∠ACD=95°，则∠B= °.
12.= ．
13.已知点M（m+1，m-2）在x轴上，则m的值为 .
14.已知实数a,b满足，则a-b的值为 .
15.如图，△AOB≌△COD，OB⊥OC，∠B=35°，∠C=40°，则∠BOD= °
16.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=2CD，点E是AD的中点，连接CE、BE，若△CDE的面积为5，则△ABC的面积为 .
17.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，若△ABC的面积等于10，AB=6，DE=2，则AC= .
18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD，∠BAD=α.点E在直线BC上，将射线AE绕着点A逆时针旋转，与直线CD交于点F，连接DF，EF.
（1）若BC=2，则CD= ；
（2）若BE=3，DF=1，则EF= .
19.已知a,b,c是三个正整数，且a＜b＜c.
（1）若a+b+c=12，则以a,b,c为边长的三角形共有 个；
（2）若ab+bc+ca=abc,则abc的值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
20.解不等式组：.
21.某大型超市售卖西瓜和香蕉．若销售3千克西瓜和2千克香蕉，总收入为26元；销售2千克西瓜所得收入比销售4千克香蕉所得收入少4元
(1) 求每千克西瓜，香蕉的售价分别是多少元？
(2) 何先生准备到该超市购买西瓜和香蕉共10千克，计划总花费不超过54元，西瓜的购买数量不少于香蕉的购买数量，且两种水果的购买数量均为整数．请写出全部购买方案，并求出最省钱的购买方案所需的费用
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题4分)
3的平方根是______.
23.(本小题8分)
∥如图，在△ABC中，点E在边BC上，AB∥DE，AB=DE
(1) 用尺规完成基本作图：在射线EC上作线段EF，使得EF=BC，连接DF
(2) 结合（1）所作的图形，求证AC∥DF．请完成下面的证明：
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF（______①）．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠ACB=______③．
∴AC∥DF
24.(本小题8分)
如图，在单位长度为1的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC在平面直角坐标系中，且点A的坐标为（-2，4），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1
(1) 请在正方形网格中画出平移后的△A1B1C1
(2) 点B1的坐标为 ，点C1的坐标为
(3) 若点P（m-4，2m）是△ABC内的一点，平移后点P的对应点Q恰好在第四象限的角平分线上，求点Q的坐标
25.(本小题8分)
已知△ABC，请你利用平行线的相关性质，添加适当辅助线，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
26.(本小题8分)
为了提高学生的应急能力，加强安全防范意识，我校举行了《安全应急能力相关知识》的竞赛，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，对参赛同学的分数x（单位：分）进行了分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1) 补全频数分布直方图
(2) 扇形统计图中m= ，“A”组对应的圆心角度数为 °
(3) 若全校共有2000名学生参加竞赛，估计该校竞赛成绩不低于70分的学生有多少人？
27.(本小题10分)
已知AD∥BC，连接AB，点E在AB上（点E不与点A，点B重合），连接CE，DE
(1) 如图1，若∠C=30°，∠D=20°，求∠DEC的度数
(2) 如图2，点F是△ADE的内角平分线的交点，连接DF，EF，点G是△BCE的外角平分线的交点，连接CG，EG，请探究∠F与∠G的数量关系
(3) 如图3，若AE=BC，AD=BE，点F是CE的中点，求证：DE=2BF．
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A（1，a），，C（b,0），且满足：，连接AB，BC，CA．
(1) 如图1，点B的坐标为 ，点C的坐标为
(2) 如图2，若点P在y轴上，当S△ACP=S△ABC时，求点P的坐标
(3) 如图3，对于正方形DEFG，连接EG，EG将正方形DEFG分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故△EDG和△EFG分别是以∠D，∠F为直角的“半正方形”．若点M在坐标平面内，且，将x轴向下平移2个单位得到直线l,在直线l上是否存在点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形是以∠A为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】45
12.【答案】0
13.【答案】2
14.【答案】3
15.【答案】15
16.【答案】30
17.【答案】4
18.【答案】2
4或2

19.【答案】1
36

20.【答案】x＞1．
21.【答案】【小题1】设每千克西瓜售价x元，每千克香蕉售价y元，
根据题意得，
解得，
答：每千克西瓜售价6元，每千克香蕉售价4元
【小题2】设购买西瓜m千克，
根据题意得，
解得5≤m≤7，
∵两种水果的购买数量均为整数，
∴m=5，6，7，
∴购买方案为：①购买西瓜5千克，香蕉5千克，总花费：
5×6+5×4=50（元）；
②购买西瓜6千克，香蕉4千克；总花费：
6×6+4×4=52（元）；
③购买西瓜7千克，香蕉3千克；总花费：
7×6+3×4=54（元）；
∵50＜52＜54，
∴最省钱的购买方案所需费用为50元
综上，全部购买方案为：①购买西瓜5千克，香蕉5千克；②购买西瓜6千克，香蕉4千克；③购买西瓜7千克，香蕉3千克；最省钱的购买方案所需费用为50元最省钱的购买方案所需费用为50元

22.【答案】
23.【答案】【小题1】解：图形如图所示：
【小题2】两直线平行，同位角相等；BC=EF；∠DFE

24.【答案】【小题1】
△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，如图即为所求；
【小题2】
（0，-2）
（3，-1）
【小题3】
已知点P（m-4，2m），是△ABC内的一点，经过平移后对应点为Q，
∴Q的坐标为（m,2m-3），
∵第四象限的角平分线为直线y=-x,点Q在第四象限的角平分线上，
∴点Q在直线y=-x上，代入点Q坐标得，
2m-3=-m,
解得：m=1，
∴2m-3=-1，
∴点Q（1，-1）

25.【答案】证明：过点C作CD∥AB，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，（两直线平行，内错角相等）
∠B+∠BCD=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，
∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°，
即三角形的内角和为180°．
26.【答案】【小题1】
抽查的学生总人数为：
40÷10%=400（人），
B组的学生人数为：400×45%=180（人），
补全频数分布直方图略；
【小题2】
30
54
【小题3】
若全校共有2000名学生参加竞赛，估计该校竞赛成绩不低于70分的学生有：
（人），
答：该校竞赛成绩不低于70分的学生有1700人

27.【答案】【小题1】过点E作EF∥AD，如图所示：
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥EF，
∴∠DEF=∠D=20°，∠CEF=∠C=30°，
∴∠DEC=∠DEF+∠CEF=20°+30°=50°
【小题2】∠F-∠G=90°，
过程如下：
∵点F是△ADE内角平分线交点，
∴，
∴，
∵∠F+∠FDE+∠FED=180°，∠ADE+∠AED+∠A=180°，
则，
延长BC至点T，如图所示：
∵点G是△BCE外角平分线交点，
∴，，
∵∠G+∠GEC+∠ECG=180°，
∴∠G=180°-（∠GEC+∠ECG），
∴
=
=
=
=
=
∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，
∴∠BEC+∠BCE=180°-∠B，
则，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
即，
∵，
∴，
故
【小题3】延长BF至点G，使得FG=FB，如图所示：
∵点F是CE的中点，
∴EF=CF，
∵∠EFG=∠CFB，FG=FB，
∴△EFG≌△CFB（SAS），
∴EG=BC，∠G=∠CBF，
∴EG∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥EG，
∴∠BEG=∠A，
∵AE=BC，
∴AE=EG，
∵AD=BE，
∴△ADE≌△EBG（SAS），
∴DE=BG=2BF

28.【答案】【小题1】
（-1，0）
（5，0）
【小题2】
∵点P在y轴上，
设P的坐标为（0，y），
∵A（1，2），B（-1，0），C（5，0），
∴BC=6，
∴，
∴S△ACP=S△ABC=6，
如图2.1，过点A作AD⊥y轴于点D，
∴D（0，2），
∴OC=5，AD=1，OD=2，
∴，
显然，当点P在OD之间时，S△ACP＜6，不合题意，
分两种情况讨论：
①如图2.2，当P在D点上方时，即y＞2，
S△ACP=S△POC-S梯形ADOC-S△ADP
=，
∴2y-5=6，
解得：，
∴；
②当y＜0时，如图2.3，
S△ACP=S△POC+S梯形ADOC-S△ADP
=，
∴5-2y=6，
解得：，
∴，
综上所述，或
【小题3】
在直线l上存在点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形是以∠A为直角的“半正方形”；或．理由如下：
如图3，过A作直线k：y=2，
过点M，N分别作k的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠AFN=∠AEM=90°，
∵∠MAN=90°，
∴∠FAN=90°-∠EAM=∠AME，
又∵AM=AN，
∴△AEM≌△NFA（AAS），
∴AE=NF，ME=AF，
∵将x轴向下平移2个单位得到直线l,
∴k∥l,l：y=-2，
设N（n,-2），则F（n,2），
∴AF=|n-1|，
∴NF=2-（-2）=4，
∴EM=AF=|n-1|，AE=FN=4，
∴M（1+4，2+n-1），即（5，n+1）或M（1-4，2-n+1）即（-3，3-n），
∵A（1，2），C（5，0），
当M（5，n+1）时，如图4，C，M，E共线，连接MC，
∴
=
=2|n+1|，
，
当n+1＞0时，即，
解得：，
∴，
当n+1＜0时，，
解得：，
∴，
即或；
当M（-3，3-n）时，如图5，过点C作CT⊥k于点T，则T（5，2），
当n-1＞0时，即n＞1时，
∴S△ACM=S梯形EMCT-S△AEM-S△ACT
=
=
=4（n+1）-2（n-1）-4
=2n+2，
∴，
解得：，
∴；
当n-1＜0时，即n＜1时，
如图6，延长ME交x轴于点S，
∴SC=5-（-3）=8，AE=4，
∴S△ACM=S△MCS+S△AMS-S△ACS
=
=
=4（3-n）-8-2（3-n）
=-2-2n,
∴，
解得：，
∴，
综上所述，在直线l上存在点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形是以∠A为直角的“半正方形”；或

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