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2025-2026学年陕西省汉中市南郑区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（　　）
A. （a3）3=a6 B. x6-x2=x4
C. （-3a2b）3=9a6b3 D. m3+2m3=3m3
3.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A. 1.56×10-3 B. 0.156×10-3 C. 1.56×10-6 D. 15.6×10-7
4.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
5.如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长.则其依据是（　　）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
6.4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送.已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（　　）
A. 物资车往返总路程为120km
B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度
C. 物资车中途卸货停留0.5小时
D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
7.如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC.若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　）
A. 0.5
B. 1
C. 1.5
D. 2
8.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=125°，∠D=∠B=90°，点M、N分别是CD、BC上两个动点．当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A. 130°
B. 110°
C. 100°
D. 90°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知（x+2）2=ax2+bx+c,则a-b+c= .
10.已知等腰三角形的一个内角等于65°，则顶角等于 °.
11.如图，∠ABC=∠DCB，添加一个条件 ，使△ABC≌△DCB.（不添加辅助线和点）
12.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是 .
13.如图，OP平分∠AOB，点Q在OP上，QM⊥OA于M，QM=8，点N是射线OB上的动点，则QN的最小值为 .
14.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，以BC为边向外作等腰直角△BCD，∠CBD=90°，连接AD，若AC=6，则S△ACD= .
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
15.计算：
(1) （-2a2b3）2+（-a）4 （2b2）3
(2) 892+22×89+112（利用乘法公式计算）
四、解答题：本题共11小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
先化简，再求值：[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷xy,其中x=10，.
17.(本小题5分)
如图，已知△ABC，请用尺规作图法在AB边上找一点D，连接CD，使△ACD的周长等于AC+AB.（保留作图痕迹，不写作法）
18.(本小题6分)
如图，已知∠EFC=∠ABC，∠BEF+∠A=180°.求证：AD∥BE.
证明：∵∠EFC=∠ABC，
∴AB∥ ，
∴∠BEF=∠ （ ），
∵∠BEF+∠A=180°，
∴∠ +∠A=180°，
∴AD∥BE（ ）.
19.(本小题7分)
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球7个.
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值.
20.(本小题5分)
已知：如图，AB∥CD，且AB=BD，点E在BD边上，∠C=∠AEB.求证：BC=AE.
21.(本小题6分)
已知三角形的三边长分别为2cm,a cm和7cm.
（1）求a的取值范围.
（2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长.
22.(本小题9分)
如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化.（1）在这个变化中，自变量、因变量各是什么？
（2）写出阴影部分的面积y（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的关系式.（3）当小正方形边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD=DE，且EF垂直平分AC，交AC于点F，连接AE
(1) 若∠BAE=40°，求∠C的度数
(2) 若△ABC的周长为20，AC=8，求DC的长
24.(本小题7分)
2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看
(1) 这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的 性
(2) 图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿AC和BD的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm,则由以上信息可推得BC的长度也为30cm,请说明AD=BC的理由
25.(本小题7分)
对于任意数a,b,c,d,我们规定（a,b）☆（c,d）=a2-bc+d2.
（1）计算（1，2）☆（3，-2）的结果为______；
（2）对于数x,y,若x+y=8，（x,x）☆（y,y）=46.
①求xy的值；
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x,AD=x,EF=2y,FG=y,求图中阴影部分的面积.
26.(本小题9分)
问题探究
（1）如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4.点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为 ______ ；
（2）如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证：ED=AB；
问题解决
（3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏.等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D.那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】1
10.【答案】50°或65
11.【答案】∠ACB=∠DBC或∠A=∠D或AB=DC
12.【答案】
13.【答案】8
14.【答案】18
15.【答案】【小题1】（-2a2b3）2+（-a）4 （2b2）3
=（-2）2 （a2）2 （b3）2+a4 23 （b2）3
=4a4b6+8a4b6
=12a4b6
【小题2】原式=892+2×11×89+112
=（89+11）2
=1002
=10000

16.【答案】解：原式=（x2y2-4-2x2y2+4）÷xy
=-x2y2÷xy
=-xy,
当x=10，y=-时，
原式=．
17.【答案】如图，点D即为所求．

18.【答案】EF
ABE
两直线平行，内错角相等
ABE
同旁内角互补，两直线平行

19.【答案】（1）因为红球3个，白球5个，黑球7个，
所以盒子中球的总数为：3+5+7=15（个），
所以任意摸出一个球是黑球的概率为；
（2）因为任意摸出一个球是红球的概率，
所以盒子中球的总量为： .
所以可以将盒子中的白球拿出15-12=3（个），
所以m=3．
20.【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠D，
又∵AB=BD，∠C=∠AEB，
∴△ABE≌△BDC，
∴BC=AE．
21.【答案】5＜a＜9 16 cm
22.【答案】在这个变化过程中，自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分面积；
y=100-4x2；
小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分面积由96cm2变化到0cm2．
23.【答案】【小题1】∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC．
∵BD=DE，
∴AD垂直平分BE．
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
∵∠BAE=40°，
∴．
∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴△AEC为等腰三角形，
∴∠C=∠EAC．
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，
∴
【小题2】由（1）得AB=AE=EC，且BE=2DE，
∵△ABC周长AB+BC+AC=20，AC=8，
∴AB+BC=20-8=12，
∴AB+CE+BE=12，即2CE+2DE=12，
∴CE+DE=6，即DC=CE+DE=6

24.【答案】【小题1】
稳定
【小题2】
理由：∵O是AC，BD的中点，AC=BD，
∴AO=CO，DO=BO．
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴AD=BC

25.【答案】-1；
①6；
②49．
26.【答案】4；
见解答；
见解答．
第1页，共1页

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