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14.2 三角形全等的判定（课时5）学案
一、学习目标
1. 了解直角三角形全等的HL判定定理，理解其探究过程。
2. 掌握用HL判定定理证明直角三角形全等的方法。
3. 能够正确书写HL判定的几何语言，规范证明过程。
4. 能灵活运用HL判定定理解决简单的几何证明问题。
5. 体会特殊与一般、转化与化归的数学思想。
二、知识梳理
（一）全等三角形判定方法回顾
1. SAS：两边和它们的__________分别相等的两个三角形全等。
2. ASA：两角和它们的__________分别相等的两个三角形全等。
3. AAS：两角分别相等且其中一组等角的__________相等的两个三角形全等。
4. SSS：__________分别相等的两个三角形全等。
思考：以上四种方法适用于__________三角形。对于直角三角形，是否还有更简便的方法？
（二）HL判定定理
1. 内容：
斜边和__________分别相等的两个__________三角形全等。
（可以简写成"__________"或"__________"）
2. 几何语言：
如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中：
3. 使用条件：
（1）必须是__________三角形；
（2）对应相等的边中，一对是__________，一对是__________；
（3）书写时要注明"__________"，结论后标注"__________"。
（三）直角三角形全等的判定方法汇总
直角三角形全等的判定方法有：
1. SAS：两__________边分别相等。
2. ASA：一__________边和它相邻的__________分别相等。
3. AAS：一__________边和它相对的__________分别相等；或斜边和一__________分别相等。
4. SSS：三边分别相等。
5. HL：__________和__________分别相等。
三、课堂探究
探究一：HL判定的探究
问题：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，A′B′=AB，B′C′=BC。这两个三角形全等吗？
探究过程：
（1）由∠C=∠C′=90°可知，点C与点C′重合，射线C′A′与射线CA重合，射线C′B′与射线CB重合。
（2）由B′C′=BC可知，点B′与点B__________。
（3）如何判断点A′与点A是否重合？
讨论射线CA上除点C、A外的点与点B的连线长度：
① 点M在直角边AC上时，BM__________AB（填">""<"或"="）；
② 点N在CA延长线上时，BN__________AB（填">""<"或"="）；
③ 因此，射线CA上到点B距离等于AB的点有且只有__________个。
（4）结论：点A′与点A__________，△A′B′C′与△ABC__________。
思考：在今后的学习中，我们还可以用什么方法来证明HL判定定理？
探究二：HL判定定理的应用
例6：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：BC=AD。
分析：
（1）要证BC=AD，可以尝试证明__________≈__________。
（2）由AC⊥BC，BD⊥AD可得∠__________=∠__________=__________°。
（3）已知AC=BD，且AB是__________三角形的公共__________。
（4）因此可用__________判定定理证明两个直角三角形全等。
证明：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
反思：本题的解题关键是"要证线段相等，先证__________"，体现了__________思想。
四、巩固练习
基础巩固
1. 下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A. 一锐角对应相等　　　　　B. 两直角边对应相等
C. 两条边分别相等　　　　　D. 两个角分别相等
2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定依据是（　　）
A. SAS　　B. ASA　　C. HL　　D. SSS
3. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中能判定两三角形全等的有（　　）个。
① AC=A′C′，∠A=∠A′；② AB=A′B′，∠B=∠B′；③ AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，BC=B′C′
A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4
4. 下列说法正确的是（　　）
A. 有两边对应相等的两个直角三角形全等
B. 斜边对应相等的两个直角三角形全等
C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D. 有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
能力提升
5.如图，在中，D，E为边AC上两点，连接BD，BE，过点D作于点F.若，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，，E是上的一点，且，，
求证：.
7.已知，如图，，，于点E，于点F.
(1)求证：；
(2)求证：.
五、归纳总结
知识网络
本节课学习的直角三角形全等判定可以归纳为以下知识网络：
┌— SAS（两直角边）
├— ASA（一直角边及邻锐角）
直角三角形全等 —┼— AAS（一直角边及对锐角/斜边及锐角）
├— SSS（三边）
└— HL（斜边和一直角边）
方法总结
1. 运用HL判定定理的步骤：
（1）确认两个三角形都是直角三角形；
（2）找出对应相等的斜边和一对直角边；
（3）写出"在Rt△...和Rt△...中"；
（4）列出条件，得出结论，注明"HL"。
2. 数学思想：
（1）特殊与一般：直角三角形有特殊判定HL。
（2）转化思想：将证明线段相等转化为证明三角形全等。
（3）唯一性思想：HL判定本质上依赖于三角形的唯一确定性。
易错提醒
1. HL只适用于直角三角形，不能用于一般三角形。
2. 使用HL时，对应相等的边必须是"斜边+直角边"，不能是"两直角边"（那是SAS）。
3. 书写证明时，不要忘记"Rt△"符号和"HL"标注。
4. 证明直角三角形时，通常利用垂直条件得到90°角。
5. 不要把"HL"与"SSS"混淆，HL只需两边相等（因为直角已隐含一对等角）。
六、参考答案
知识梳理填空答案
（一）回顾：1.夹角　2.夹边　3.对边　4.三边　思考：所有（一般）
（二）HL判定定理：
1. 一条直角边；直角；斜边、直角边；HL
3. （1）直角　（2）斜边；直角边　（3）Rt△；HL
（三）汇总：1.直角　2.直角；锐角　3.直角；锐角；锐角　5.斜边；一条直角边
课堂探究填空答案
探究一：（2）重合　（3）① <　② >　③ 一　（4）重合；全等
思考：勾股定理。
探究二：（1）Rt△ABC；Rt△BAD　（2）C；D；90　（3）斜边　（4）HL
反思：三角形全等；转化
巩固练习答案
B　　2. C　　3. D　4. C
5.解析：，.
在和中，.
∴，，
是的平分线.，，，.故选D.
6.解析：∵，∴，
∵，
∴在和中，，
∴.
7.解析：(1)证明：连接，如图所示：
在和中，，
，；
(2)证明：由(1)可知：，
，
，，，
在和中，，
，.

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