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章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知集合A={x|2≤x<4}，集合B={x|x2-3x+2≥0}，则A∩( RB)等于(　　)
A.{x|1C.{x|2≤x<4} D.
2.已知2A.6≤m≤7 B.2C.4≤m≤7 D.53.不等式|x|(1-2x)>0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
4.已知a>0，b>0，设m=a-4+5，n=2-b，则(　　)
A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m5.若正实数x，y满足+=2，则x+3y的最小值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
6.设b<0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一，则a的值为(　　)
A.1 B.-1
C.±1 D.1或2
7.已知关于x的不等式x2-x+1<0的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A.≤a<1或1C.48.记不等式x2+x-2>0，x2-ax+1≤0(a>0)的解集分别为A，B，已知A∩B中有且只有两个正整数，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知1A.4C.310.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是(　　)
A. B.
C. D.R
11.已知x>0，y>0，x+2y=2，则下列说法正确的是(　　)
A.xy的最大值为
B.+的最小值为4
C.x2+4y2的最大值为2
D.x2+y2的最小值为
答案　AD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.不等式≤1的解集是　　　　　　　　.
13.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈N*)，则被租出去的汽车会减少10x辆.要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为　　元.
14.已知a>0，b>0，c>0，a2-ab+9b2-5c=0，则的最小值是　　　　.当取最小值时，m2-3m≥a+b-c恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)(1)比较x3与x2-x+1的大小；(6分)
(2)已知b>a>0，c>d>0，求证：>.(7分)
16.(15分)(1)已知a>0，b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；(7分)
(2)若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.(8分)
17.(15分)(1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值.(9分)
18.(17分)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积(矩形ABCD)为P，左右两边都留有宽为a cm的空白，顶部和底部都留有宽为2a cm的空白.
(1)若AB=20 cm，BC=30 cm，且该宣传单的面积不超过1 000 cm2，则a的最大值是多少？(7分)
(2)若a=2 cm，P=800 cm2，则当AB长为多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？(10分)
19.(17分)(1)问题：正数a，b满足a+b=1，求+的最小值.其中一种解法是：
+=(a+b)=1+++2≥3+2
当且仅当=且a+b=1，即a=-1且b=2-时取等号.
学习上述解法并解决下列问题：
若实数a，b，x，y满足-=1，试比较a2-b2和(x-y)2的大小，并指明等号成立的条件；(8分)
(2)利用(1)的结论，求M=-的最小值，并求出使M取得最小值时m的值.(9分)
章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知集合A={x|2≤x<4}，集合B={x|x2-3x+2≥0}，则A∩( RB)等于(　　)
A.{x|1C.{x|2≤x<4} D.
答案　D
解析　由x2-3x+2≥0，即(x-2)(x-1)≥0，解得x≤1或x≥2，
所以B={x|x≤1或x≥2}，
所以 RB={x|1所以A∩( RB)= .
2.已知2A.6≤m≤7 B.2C.4≤m≤7 D.5答案　D
解析　由题意可知4<2a<6，1<-b<2，
所以53.不等式|x|(1-2x)>0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　因为|x|≥0，
故|x|(1-2x)>0等价于
即x<0或04.已知a>0，b>0，设m=a-4+5，n=2-b，则(　　)
A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m答案　A
解析　由题意m-n=a-4+5-2+b
=a-2+1+b-4+4
=(-1)2+(-2)2≥0，
当且仅当a=1，b=4时取等号，所以m≥n.
5.若正实数x，y满足+=2，则x+3y的最小值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案　B
解析　由题意x+3y==≥=8，
当且仅当=且+=2，
即x=y=2时取等号，
所以x+3y的最小值为8.
6.设b<0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一，则a的值为(　　)
A.1 B.-1
C.±1 D.1或2
答案　A
解析　因为b<0，所以函数图象的对称轴不可能为y轴，所以函数的图象不可能是图1和图2，
由图3和图4可知函数图象必过原点，所以a2-1=0，解得a=±1，
当a=1时，y=x(x+b)，图象开口向上，另一个零点为x=-b>0，图4符合；
当a=-1时，y=-x(x-b)，图象开口向下，另一个零点为x=b<0，图3，4均不符合.
综上所述，符合题意的a的值为1.
7.已知关于x的不等式x2-x+1<0的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A.≤a<1或1C.4答案　D
解析　由题可知a>0，则Δ=-4>0，即Δ=>0，解得a>0且a≠1，
x2-x+1=0可化为(x-1)(x-)=0，解得x1=x2=
当0此时不等式的解集为
若不等式有且仅有2个整数解，解必为1和2，
则2<≤3，解得≤a<.
当a>1时，可得0<<1<
此时不等式的解集为
若不等式有且仅有2个整数解，解必为1和2，
则2<≤3，解得4所以实数a的取值范围是≤a<或48.记不等式x2+x-2>0，x2-ax+1≤0(a>0)的解集分别为A，B，已知A∩B中有且只有两个正整数，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由x2+x-2>0可得，x<-2或x>1，所以A=
因为A∩B中有且只有两个正整数，所以A∩B≠ ，
对于方程x2-ax+1=0(a>0)，判别式Δ=a2-4>0，则a>2，
所以方程的两根分别为x1=x2=则x2>x1>0，
所以B=
因为A∩B中有且只有两个正整数，
当
即时，可得≤a<
当x1=>1时，解得0综上所述，a的取值范围为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知1A.4C.3答案　ABC
解析　对于A，两个不等式相加得4对于B，因为3对于C，两个不等式相乘得3对于D，因为110.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是(　　)
A. B.
C. D.R
答案　AB
解析　由题意知a≠0，当a>0时，
解得-1当-1-1；
当a=-1时，解得x≠-1；
当a<-1时，解得x<-1或x>.
11.已知x>0，y>0，x+2y=2，则下列说法正确的是(　　)
A.xy的最大值为
B.+的最小值为4
C.x2+4y2的最大值为2
D.x2+y2的最小值为
答案　AD
解析　因为2=x+2y≥2所以xy≤当且仅当x=2y，即x=1，y=时等号成立，所以xy的最大值为故A正确；
因为+=+=++2≥2+2=6，当且仅当=即x=1，y=时等号成立，所以+的最小值为6，故B错误；
因为x2+4y2=(x+2y)2-4xy=4-4xy≥4-4×=2，当且仅当x=1，y=时等号成立，
所以x2+4y2的最小值为2，故C错误；
由x+2y=2得x=2-2y，又x>0，y>0，
则0当且仅当x=y=时等号成立，
所以x2+y2的最小值为故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.不等式≤1的解集是　　　　　　　　.
答案　{x|1解析　由≤1得≤0，
故解得113.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈N*)，则被租出去的汽车会减少10x辆.要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为　　元.
答案　250
解析　依题意，每天有(300-10x)辆汽车被租出去，
该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为
(300-10x)·(200+10x)
=-100x2+1 000x+60 000.
因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，
所以-100x2+1 000x+60 000>62 400，
即x2-10x+24<0，解得4又因为1≤x≤20且x∈N*，所以x=5，
即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为250元.
14.已知a>0，b>0，c>0，a2-ab+9b2-5c=0，则的最小值是　　　　.当取最小值时，m2-3m≥a+b-c恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　.
答案　1　
解析　因为a2-ab+9b2-5c=0，
所以=·=≥=1，当且仅当=即a=3b时等号成立.
当a=3b时，c=3b2，a+b-c=-b2+4b，所以当b=2时，a+b-c取得最大值4，
所以由m2-3m≥a+b-c恒成立可得，m2-3m≥4，解得m≤-1或m≥4.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)(1)比较x3与x2-x+1的大小；(6分)
(2)已知b>a>0，c>d>0，求证：>.(7分)
(1)解　x3-(x2-x+1)=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)=(x2+1)(x-1)，
当x=1时，x3-(x2-x+1)=0，
故x3=x2-x+1；
当x>1时，x3-(x2-x+1)>0，
故x3>x2-x+1；
当x<1时，x3-(x2-x+1)<0，
故x3(2)证明　因为b>a>0，所以>>0，
又因为c>d>0，所以>>0，
所以>>0，所以+1>+1>0+1，
所以>>1，
所以>得证.
16.(15分)(1)已知a>0，b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；(7分)
(2)若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.(8分)
解　(1)因为a>0，b>0，且4a+b=1，
所以1=4a+b≥2=4当且仅当a=b=时取等号，
故ab≤当且仅当a=b=时取等号，
即ab的最大值为.
(2)因为正数x，y满足x+3y=5xy，
所以+=1，
故3x+4y=(3x+4y)=+++=++≥2+=+=5，
当且仅当x=2y=1，即x=1，y=时取等号，
故3x+4y的最小值为5.
17.(15分)(1)若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解，求实数a的值.(9分)
解　(1)①当a=0时，由-2x+3≤0，
解得x≥满足题意；
②当a<0时，令y=ax2-2x+3，则此二次函数的图象开口向下，满足题意；
③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得0综上所述，实数a的取值范围为.
(2)当a=0时，-2≤-2x+3≤2，
即≤x≤不满足条件，舍去；
当a≠0时，令y=ax2-2x+3，
若a>0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上，
∴函数的最小值为2，∴=2，∴a=1；
若a<0，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下，
∴函数的最大值为-2，
∴=-2，∴a=(舍去)，
综上所述，实数a的值为1.
18.(17分)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积(矩形ABCD)为P，左右两边都留有宽为a cm的空白，顶部和底部都留有宽为2a cm的空白.
(1)若AB=20 cm，BC=30 cm，且该宣传单的面积不超过1 000 cm2，则a的最大值是多少？(7分)
(2)若a=2 cm，P=800 cm2，则当AB长为多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？(10分)
解　(1)由宣传单的面积不超过1 000 cm2可得(20+2a)(30+4a)≤1 000，
化简得2a2+35a-100≤0 (2a-5)(a+20)≤0，
解得-20≤a≤
又a>0，所以0故a的最大值为.
(2)设AB=x cm，则BC= cm，
设宣传单的面积为S，
则S=(x+4)=8x++832
≥832+2=1 152，
当且仅当8x=(x>0)，即x=20时取等号.
所以当AB长为20 cm时，宣传单的面积最小，最小的面积是1 152 cm2.
19.(17分)(1)问题：正数a，b满足a+b=1，求+的最小值.其中一种解法是：
+=(a+b)=1+++2≥3+2
当且仅当=且a+b=1，即a=-1且b=2-时取等号.
学习上述解法并解决下列问题：
若实数a，b，x，y满足-=1，试比较a2-b2和(x-y)2的大小，并指明等号成立的条件；(8分)
(2)利用(1)的结论，求M=-的最小值，并求出使M取得最小值时m的值.(9分)
解　(1)a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)=x2+y2-
又+≥2=2|xy|，当且仅当=时等号成立，
所以a2-b2=x2+y2-≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2，
即a2-b2≤(x-y)2，当且仅当=且x，y同号时等号成立.此时x，y满足-=1.
(2)令x=y=构造-=1求出a2=1，b2=
由M=-可得m≥1，且4m-3=m-1+(3m-2)>m-1，故M>0，
由(1)的结论可得M=x-y≥==.
当且仅当即时等号成立，此时m=.
即当m=时，M取得最小值.

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