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章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.下列从集合A到集合B的对应关系f中，y是x的函数的是(　　)
A.A=B=R，对应关系f：x→y=
B.A=B=[0，+∞)，对应关系f：x→y=x
C.A=B=R，对应关系f：x→y=
D.A=B=R，对应关系f：x→y2=x
2.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　)
A.f(x)=|x|，g(x)=
B.f(x)=g(x)=()2
C.f(x)=g(x)=x
D.f(x)=()2，g(x)=
3.若函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]，则y=f(x)的定义域是(　　)
A.[1，3] B.[2，4]
C.[2，8] D.[3，9]
4.学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速度v(t)(单位：m/min)和行走的路程S(t)(单位：m)都是时间t(单位：min)的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
A.①② B.③④
C.①④ D.③②
5.函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1)，则f 等于(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
6.已知定义在[a-1，2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x-1)>f(2x-3a)的解集是(　　)
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3，0] B.[-3，-2]
C.(-∞，-2] D.(-∞，0)
8.已知函数f(x)=x2-2x-1，g(x)=ax+2(a>0)，若 x1∈[-1，2]， x2∈[-1，2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4] B.[3，+∞)
C.[4，+∞) D.[3，4]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的函数是(　　)
A.y=x B.y=|x|+1
C.y= D.y=-
10.已知函数f(x)=则下列说法中正确的是(　　)
A.f(f())=3
B.若f(x)=-1，则x=2
C.f(x)<2的解集为(-∞，0)∪(1，+∞)
D. x∈R，a>f(x)，则a≥3
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则(　　)
A.f(0)=0 B.f(1)=0
C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若函数f(x)满足f =x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.
13.若函数f(x)=在(a，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
14.若定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)同时满足①f(x)为奇函数；②f(1)=0；③对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0，则不等式<0的解集为　　　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)(1)求函数f(x)=-的定义域，并计算f(f(0))的值；(6分)
(2)画出函数g(x)=1+(-216.(15分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：
x 30 40 45 50
y 60 30 15 0
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；(9分)
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.(6分)
17.(15分)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=3x2++5.
(1)求f(x)的解析式；(6分)
(2)判断f(x)在区间(0，2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.(9分)
18.(17分)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm+1，m∈Z的图象关于y轴对称.
(1)求m的值及函数f(x)的解析式；(7分)
(2)设函数g(x)=f(x)-ax+5在区间[1，4]上的最小值为2，求实数a的值.(10分)
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为R，满足：对 x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时，f(x)<1，且f(1)=-2.
(1)求f(0)的值，并证明y=f(x)-1是奇函数；(4分)
(2)证明：f(x)是R上的减函数；(4分)
(3)解关于x的不等式f(2x2)-2f(x)章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.下列从集合A到集合B的对应关系f中，y是x的函数的是(　　)
A.A=B=R，对应关系f：x→y=
B.A=B=[0，+∞)，对应关系f：x→y=x
C.A=B=R，对应关系f：x→y=
D.A=B=R，对应关系f：x→y2=x
答案　B
解析　对于A，当x=0时，y=没有意义，所以y不是x的函数，所以A不符合题意；
对于B，当A=B=[0，+∞)时，对于对应关系f：x→y=x，任意一个x∈[0，+∞)，都有唯一的y与之相对应，所以y是x的函数，所以B符合题意；
对于C，当x<0时，y=没有意义，所以y不是x的函数，所以C不符合题意；
对于D，令x=1，由对应关系f：x→y2=x，可得y=±1，不符合函数的定义，所以y不是x的函数，所以D不符合题意.
2.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　)
A.f(x)=|x|，g(x)=
B.f(x)=g(x)=()2
C.f(x)=g(x)=x
D.f(x)=()2，g(x)=
答案　A
解析　对于A选项，f(x)和g(x)的定义域均为R，且g(x)==|x|=f(x)，所以A选项符合题意；
对于B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，所以B选项不符合题意；
对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，所以C选项不符合题意；
对于D选项，f(x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)的定义域为R，所以D选项不符合题意.
3.若函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]，则y=f(x)的定义域是(　　)
A.[1，3] B.[2，4]
C.[2，8] D.[3，9]
答案　C
解析　因为函数y=f(3x-1)的定义域是[1，3]，
所以1≤x≤3，2≤3x-1≤8，
则函数y=f(x)的定义域是[2，8].
4.学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速度v(t)(单位：m/min)和行走的路程S(t)(单位：m)都是时间t(单位：min)的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
A.①② B.③④
C.①④ D.③②
答案　A
解析　由题意得v(t)=
且S(t)=
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.
5.函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1)，则f 等于(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
答案　D
解析　由题意得f(x)的定义域为(-1，+∞)，
且f(x)=在(-1，0)上单调递增，f(x)=2x在[0，+∞)上单调递增，
若f(a)=f(a-1)，则可得0此时=2a，
解得a=所以f=f(4)=2×4=8.
6.已知定义在[a-1，2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x-1)>f(2x-3a)的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得a-1+2a=0，a=则f(x)的定义域为因为当x∈时，f(x)单调递减，且f(x)是偶函数，因此不等式f(x-1)>f(2x-3a)可转化为f(|x-1|)>f(|2x-1|)，
所以|x-1|<|2x-1|≤即(x-1)2<(2x-1)2≤解得7.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3，0] B.[-3，-2]
C.(-∞，-2] D.(-∞，0)
答案　B
解析　∵对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，不妨设x1>x2，
∴x1-x2>0，f(x1)-f(x2)<0，
∴函数f(x)在R上单调递减.
当x≤1时，f(x)=x2+ax+5的对称轴为直线x=-
∴-≥1，解得a≤-2；
当x>1时，f(x)=-由反比例函数的性质，
∴-a>0，解得a<0；
又函数f(x)在R上单调递减，
∴12+a+5≥-a，解得a≥-3，
综上所述，实数a的取值范围是[-3，-2].
8.已知函数f(x)=x2-2x-1，g(x)=ax+2(a>0)，若 x1∈[-1，2]， x2∈[-1，2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4] B.[3，+∞)
C.[4，+∞) D.[3，4]
答案　C
解析　当x∈[-1，2]时，函数f(x)=(x-1)2-2，则f(x)min=f(1)=-2，f(x)max=f(-1)=2，
因此函数f(x)在[-1，2]上的值域为[-2，2]，函数g(x)=ax+2(a>0)在[-1，2]上单调递增，
因此函数g(x)在[-1，2]上的值域为[g(-1)，g(2)]，即[2-a，2+2a]，
由 x1∈[-1，2]， x2∈[-1，2]，使得f(x1)=g(x2)，
得函数f(x)在[-1，2]上的值域是函数g(x)在[-1，2]上的值域的子集，即[-2，2] [2-a，2+2a]，
则解得a≥4，
所以实数a的取值范围是[4，+∞).
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的函数是(　　)
A.y=x B.y=|x|+1
C.y= D.y=-
答案　BC
解析　对于A，y=x是奇函数，故不符合题意；
对于B，y=|x|+1是偶函数，在(0，+∞)上单调递增，符合题意；
对于C，y=是偶函数，在(0，+∞)上单调递增，符合题意；
对于D，y=-是奇函数，不符合题意.
10.已知函数f(x)=则下列说法中正确的是(　　)
A.f(f())=3
B.若f(x)=-1，则x=2
C.f(x)<2的解集为(-∞，0)∪(1，+∞)
D. x∈R，a>f(x)，则a≥3
答案　CD
解析　对于A，f()=-()2+3=0，f(0)=0+2=2，所以f(f())=2，故A错误；
对于B，当x<1时，f(x)=x+2=-1，解得x=-3，符合题意，
当x≥1时，f(x)=-x2+3=-1，解得x=2或x=-2(舍去)，
所以若f(x)=-1，则x=-3或x=2，故B错误；
对于C，当x<1时，f(x)=x+2<2，解得x<0，
当x≥1时，f(x)=-x2+3<2，解得x>1或x<-1(舍去)，
所以f(x)<2的解集为(-∞，0)∪(1，+∞)，故C正确；
对于D，当x<1时，f(x)在(-∞，1)上单调递增，则f(x)∈(-∞，3)，
当x≥1时，f(x)在
综上，f(x)∈(-∞，3)，
若 x∈R，a>f(x)，则a≥3，故D正确.
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则(　　)
A.f(0)=0 B.f(1)=0
C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数
答案　ABD
解析　因为函数f(x)的定义域为R，
f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
令x=y=0，则f(0)=0，故A正确；
令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，故B正确；
令x=y=-1，
则f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0，
令y=-1，
则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，
即f(x)为偶函数，故C错误，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若函数f(x)满足f =x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.
答案　f(x)=(x≠1)
解析　令=t，则x=t≠1，
∴f(t)=t≠1，∴f(x)=(x≠1).
13.若函数f(x)=在(a，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
答案　[1，3)
解析　f(x)===1+
由反比例函数的性质知，当a-3<0，即a<3时，f(x)在(1，+∞)上单调递增，
又f(x)在(a，+∞)上单调递增，
所以(a，+∞) (1，+∞)，所以a≥1.
综上，1≤a<3，即实数a的取值范围是[1，3).
14.若定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)同时满足①f(x)为奇函数；②f(1)=0；③对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0，则不等式<0的解集为　　　　　　　　　.
答案　(-∞，-1)∪(1，+∞)
解析　因为对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0，
即对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有<0，
不妨设0可得=<0，
所以>
所以函数g(x)=是(0，+∞)上的减函数，
又因为f(x)为奇函数，即任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=-f(x)，
则g(-x)===g(x)，
所以函数g(x)为偶函数，
因为f(1)=0，则f(-1)=-f(1)=0，
则g(-1)=g(1)=0，
<0 g(x)<0 g(|x|)1，
解得x>1或x<-1，
则不等式<0的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞).
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)(1)求函数f(x)=-的定义域，并计算f(f(0))的值；(6分)
(2)画出函数g(x)=1+(-2解　(1)由题意可得 x>-1且x≠2，所以函数的定义域为(-1，2)∪(2，+∞)；
f(0)=-=3，
所以f(f(0))=f(3)=-=1-=-.
(2)当0≤x≤2时，g(x)=1+=1；
当-2所以g(x)=
由此画出g(x)的图象如图所示.
由图象知，g(x)的值域为[1，3).
16.(15分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：
x 30 40 45 50
y 60 30 15 0
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；(9分)
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.(6分)
解　(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们分布在一条直线上.
设它们所在直线为y=kx+b(k≠0)，
则解得
所以y=-3x+150(30≤x≤50，且x∈N*)，
经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上，
所以所求函数解析式为y=-3x+150(30≤x≤50，且x∈N*).
(2)依题意得，
P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)
=-3(x-40)2+300(30≤x≤50，且x∈N*).
所以当x=40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
17.(15分)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=3x2++5.
(1)求f(x)的解析式；(6分)
(2)判断f(x)在区间(0，2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.(9分)
解　(1)已知 f(x)+g(x)=3x2++5，将-x代入上式可得f(-x)+g(-x)=3x2++5，
由于f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
所以-f(x)+g(x)=3x2++5，
解方程组得f(x)=.
(2)f(x)在区间(0，2)上单调递减，证明如下：
由(1)得f(x)==x+
对任意x1，x2∈(0，2)，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=
由x1，x2∈(0，2)，得0于是>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)=x+在区间(0，2)上单调递减.
18.(17分)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm+1，m∈Z的图象关于y轴对称.
(1)求m的值及函数f(x)的解析式；(7分)
(2)设函数g(x)=f(x)-ax+5在区间[1，4]上的最小值为2，求实数a的值.(10分)
解　(1)因为f(x)=(m2+m-1)xm+1是幂函数，所以m2+m-1=1，
解得m=-2或m=1.
当m=1时，f(x)=x2，其图象关于y轴对称，符合题意；
当m=-2时，f(x)=x-1=其图象关于原点对称，不符合题意，
综上m=1，f(x)=x2.
(2)因为g(x)=f(x)-ax+5=x2-ax+5，
其图象开口向上，对称轴为直线x=.因为x∈[1，4]，
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，4]上单调递增，
则g(x)min=g(1)=1-a+5=2，解得a=4，不满足a≤2，舍去；
②当1<<4，即2即g(x)min=g=-a×+5=2，
解得a=±2又2③当≥4，即a≥8时，g(x)在[1，4]上单调递减，
则g(x)min=g(4)=16-4a+5=2，解得a=不满足a≥8，舍去，
综上可得，a=2.
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为R，满足：对 x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时，f(x)<1，且f(1)=-2.
(1)求f(0)的值，并证明y=f(x)-1是奇函数；(4分)
(2)证明：f(x)是R上的减函数；(4分)
(3)解关于x的不等式f(2x2)-2f(x)(1)解　令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)-1，所以f(0)=1.
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)-1，
所以f(x)+f(-x)=2，
所以f(-x)-1=-
又y=f(x)-1的定义域是R，
所以y=f(x)-1是奇函数.
(2)证明　设x1，x2∈R，且x1>x2.
由f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2)
=f(x1-x2)-1，
因为x1>x2，所以x1-x2>0，
因为当x>0时，f(x)<1，
所以f(x1-x2)<1，即f(x1-x2)-1<0，
即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)是R上的减函数.
(3)解　由f(2x2)-2f(x)得f(2x2)即f(2x2)即f(2x2)即f(2x2)即f(2x2)因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1)+f(1)-1=-5，
又f(0)=f(-2)+f(2)-1=1，
则f(-2)+f(2)=2，所以f(-2)=7，
所以f(2x2)由(2)知，f(x)是R上的减函数，
所以2x2>5x-2，即2x2-5x+2>0，
解得x<或x>2，
所以不等式f(2x2)-2f(x)

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