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章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.函数y=3ax-2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过点(　　)
A.(2，6) B.(2，4)
C.(1，6) D.(1，4)
2.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y=ax(a>0，且a≠1)，如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是(　　)
A.-18 B.-15
C.15 D.18
3.已知函数f(x)=则f(-8)+f(lg 12)等于(　　)
A.-20 B.20
C.14 D.12
4.已知a=50.2，b=0.95，c=log30.9，则(　　)
A.cC.a5.已知函数f(x)=loga(2-3ax)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A.∪(1，+∞) B.
C. D.
6.函数f(x)=的图象大致为(　　)
7.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-18.已知函数f(x)=的值域为M.若(1，+∞) M，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.若直线y=3a与函数y=|ax-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a可以是(　　)
A.2 B.
C. D.
10.边际函数是经济学中的一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域中都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台的收入函数R(x)=3 000x-20x2(单位：元)，其成本函数C(x)=500x+4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　)
A.P(x)取得最大值时，每月产量为63台
B.边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x
C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值
D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
11.已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)，且x1A.x1≤0
B.x2+x3=2
C.的取值范围为[9，+∞)
D.++的取值范围为(8，11]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则实数a=　　　　.
13.用二分法求方程的近似解时，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值或函数值的近似值如表所示.
x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -0.14 1.342 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为　　　　　　.
14.已知函数f(x)=log2|x|+x2，则不等式f(ln x)+f(-ln x)<2的解集为　　　　　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)求下列各式的值：
(1)+-；(6分)
(2)-log45×log58+lg 25+lg 4.(7分)
16.(15分)已知函数y=log4(2x+3-x2).
(1)求函数的定义域；(6分)
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.(9分)
17.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=-2x.
(1)求当x>0时，f(x)的解析式；(6分)
(2)若存在x∈[2，3]，使得f(x)+≥4成立，求实数m的取值范围.(9分)
18.(17分)已知常数a∈R，函数f(x)=log2.
(1)若a=1，求不等式f(x)<0的解集；(6分)
(2)若函数y=f(x)-log2(-ax)至少有一个零点在(0，2)内，求实数a的取值范围.(11分)
19.(17分)对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“伪奇函数”.
(1)试判断f(x)=是否为“伪奇函数”，简要说明理由；(3分)
(2)若f(x)=log2(x-m)+1是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；(6分)
(3)试讨论f(x)=4x-m·2x+2+4m2-3在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由.(8分)
章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.函数y=3ax-2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过点(　　)
A.(2，6) B.(2，4)
C.(1，6) D.(1，4)
答案　A
解析　根据题意，在函数y=3ax-2+3中，令x-2=0，得x=2，
将x=2代入函数可得y=3a0+3=6，
即函数y=3ax-2+3的图象恒过点(2，6).
2.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y=ax(a>0，且a≠1)，如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是(　　)
A.-18 B.-15
C.15 D.18
答案　A
解析　由题意，2=a3，ax==2-6=(a3)-6=a-18，则x=-18.
3.已知函数f(x)=则f(-8)+f(lg 12)等于(　　)
A.-20 B.20
C.14 D.12
答案　C
解析　由已知得f(-8)=1+lg [2-(-8)]=1+lg 10=2，
因为lg 12>lg 10=1，
所以f(lg 12)=10lg 12=12，
所以f(-8)+f(lg 12)=2+12=14.
4.已知a=50.2，b=0.95，c=log30.9，则(　　)
A.cC.a答案　A
解析　由a=50.2>50=1，05.已知函数f(x)=loga(2-3ax)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A.∪(1，+∞) B.
C. D.
答案　B
解析　由题意得解得0令u=2-3ax，则f(x)是由y=logau和u=2-3ax复合而成，
当0所以a的取值范围为.
6.函数f(x)=的图象大致为(　　)
答案　A
解析　当x<1时，1-x>0，f(x)=>0，故排除B，C；
当x>1时，1-x<0，f(x)=<0，故排除D.
7.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1答案　C
解析　令g(x)=log2(x+1)，作函数g(x)的图象如图，
g(x)的定义域为{x|x>-1}，
结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-18.已知函数f(x)=的值域为M.若(1，+∞) M，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.
答案　B
解析　当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，
符合题意；
当a≠0时，因为函数f(x)=的值域为M，且满足(1，+∞) M，
由指数函数的单调性可知，a>0，
二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0，
即≤0，即0综上，0≤a≤.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.若直线y=3a与函数y=|ax-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a可以是(　　)
A.2 B.
C. D.
答案　CD
解析　由题意，直线y=3a与函数y=|ax-1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，
当0由已知得0<3a<1，∴0当a>1时，y=|ax-1|的图象如图(2)所示，
由已知可得0<3a<1，
∴01可得a无解.
综上可知，a的取值范围为.
10.边际函数是经济学中的一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域中都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台的收入函数R(x)=3 000x-20x2(单位：元)，其成本函数C(x)=500x+4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　)
A.P(x)取得最大值时，每月产量为63台
B.边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x
C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值
D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
答案　BCD
解析　对于A选项，P(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000，二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x==62.5，因为x∈N*，所以P(x)取得最大值时，每月产量为63台或62台，A错；对于B选项，MP(x)=P-P(x)=-20+2 500-4 000-=2 480-40xB对；对于C选项，P(x)max=P=P=74 120，因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数，则MP(x)max=MP=2 440，C对；对于D选项，函数MP(x)=2 480-40x为减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
11.已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)，且x1A.x1≤0
B.x2+x3=2
C.的取值范围为[9，+∞)
D.++的取值范围为(8，11]
答案　ACD
解析　对于A，设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t，作出f(x)=的大致图象，如图，
由图可知0对于B，由题意x2，x3为关于x的方程(x-2)2=t即x2-4x+4-t=0的两根，
故x2+x3=4，x2x3=4-t，B错误；
对于C==t+-8，
根据对勾函数单调性可知y=t+-8在(0，1]上单调递减，
所以=t+-8≥1+16-8=9，
所以的取值范围为[9，+∞)，故C正确；
对于D，因为=(x2-2)2，x2+x3=4，
所以++=(x2-2)2++
由(x2-2)2=1，解得x2=1或x2=3(舍去)，
所以1≤x2<2，
函数y=(x2-2)2在[1，2)上单调递减，令u=
则u∈[2，4)，由对勾函数知y=u+在[2，4)上单调递减，
又u=在[1，2)上单调递增，
所以y=+在[1，2)上单调递减，
所以y=(x2-2)2++在[1，2)上单调递减，
所以当x=2时，y=(2-2)2+22+=8，
当x=1时，y=(1-2)2+21+=11，所以++的取值范围为(8，11]，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则实数a=　　　　.
答案　1
解析　由f(x)为偶函数及y=x为奇函数，
知y=ln(x+)为奇函数，
所以ln(-x+)+ln(x+)
=ln(a+x2-x2)=ln a=0，
解得a=1.
13.用二分法求方程的近似解时，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值或函数值的近似值如表所示.
x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -0.14 1.342 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为　　　　　　.
答案　1.8(答案不唯一)
解析　由表格可得f(1.75)<0，f(1.812 5)>0，所以f(1.75)f(1.812 5)<0，所以函数f(x)=x3+2x-9的零点在区间(1.75，1.812 5)内，
又|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1，故方程x3+2x-9=0的近似解可取为1.8(答案不唯一).
14.已知函数f(x)=log2|x|+x2，则不等式f(ln x)+f(-ln x)<2的解集为　　　　　　　　　　　.
答案　∪(1，e)
解析　由题意知函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
∵f(-x)=log2|-x|+(-x)2=log2|x|+x2=f(x)，
∴f(x)是偶函数，
∴由f(ln x)+f(-ln x)<2可得2f(ln x)<2，即f(|ln x|)<1.
当x>0时，f(x)=log2x+x2，
∵y=log2x和y=x2在(0，+∞)上都单调递增，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，
由函数f(x)的定义域知ln x≠0，又∵f(1)=1，
∴由f(|ln x|)<1=f(1)可得0<|ln x|<1，
所以-1解得综上，不等式的解集为∪(1，e).
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)求下列各式的值：
(1)+-；(6分)
(2)-log45×log58+lg 25+lg 4.(7分)
解　(1)由题意知+-
=+-
=+3-
=+3-=.
(2)由题意知-log45×log58+lg 25+lg 4
=3-×+lg(25×4)
=3-+lg 102=3-+2=.
16.(15分)已知函数y=log4(2x+3-x2).
(1)求函数的定义域；(6分)
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值.(9分)
解　(1)由真数2x+3-x2>0，
解得-1所以函数的定义域为{x|-1(2)将原函数分解为y=log4u，u=2x+3-x2两个函数.因为u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4，
所以当x=1时，u取得最大值4，
又y=log4u为增函数，
所以y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.
所以y的最大值为1，
此时x=1.
17.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=-2x.
(1)求当x>0时，f(x)的解析式；(6分)
(2)若存在x∈[2，3]，使得f(x)+≥4成立，求实数m的取值范围.(9分)
解　(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
当x≤0时，f(x)=-2x，
则当x>0时，-x<0，
所以f(x)=f(-x)=-2-x=2x-.
(2)当x∈[2，3]时，f(x)=2x-
对于f(x)+≥4，即2x-+≥4，
整理得(2x)2-4×2x≥1-m，
令t=2x，则t∈[4，8]，可得t2-4t≥1-m，
原题意等价于存在t∈[4，8]，
使得t2-4t≥1-m成立，
且y=t2-4t的图象开口向上，对称轴为直线t=2，
可知y=t2-4t在[4，8]上单调递增，当t=8时，y=t2-4t取到最大值32，
可得32≥1-m，解得m≥-31，
所以实数m的取值范围为[-31，+∞).
18.(17分)已知常数a∈R，函数f(x)=log2.
(1)若a=1，求不等式f(x)<0的解集；(6分)
(2)若函数y=f(x)-log2(-ax)至少有一个零点在(0，2)内，求实数a的取值范围.(11分)
解　(1)若a=1，则f(x)=log2<0，
得0<+2<1，解得-1所以不等式f(x)<0的解集为.
(2)显然a≠0，根据题意，y=f(x)-log2(-ax)=log2-log2(-ax)=log2=0在(0，2)上有解，
则=1在(0，2)上有解，
即ax2+2ax+1=0在(0，2)上有解，令g(x)=ax2+2ax+1，x∈(0，2)，
则g(x)的图象在(0，2)上与x轴有交点，且需满足+2a>0，-ax>0，
所以即-≤a<0，
又y=ax2+2ax+1图象的对称轴为直线x=-1，且g(0)=1>0，
则g(2)=4a+4a+1<0，即a<-
所以-≤a<-
所以实数a的取值范围为.
19.(17分)对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“伪奇函数”.
(1)试判断f(x)=是否为“伪奇函数”，简要说明理由；(3分)
(2)若f(x)=log2(x-m)+1是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；(6分)
(3)试讨论f(x)=4x-m·2x+2+4m2-3在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由.(8分)
解　(1)因为f(x)=
所以f(-1)=0，f(1)=0，
则f(-1)+f(1)=0，
故函数f(x)是“伪奇函数”.
(2)令f(x)+f(-x)=0，
则log2(x-m)+1+log2(-x-m)+1=0，
可得log2(m2-x2)=-2，
可得m2-x2=
即m2-x2=在上有解，
而x∈则x2∈
所以m2=x2+∈
则m∈∪
又因为x-m>0在x∈时恒成立，
所以m即-1≤m<-
因此实数m的取值范围为.
(3)当f(x)=4x-m·2x+2+4m2-3为定义在R上的“伪奇函数”时，
则f(-x)+f(x)=0在R上有解，可化为4x+4-x-4m(2x+2-x)+8m2-6=0在R上有解，
令t=2x+2-x，则t≥2=2，当且仅当x=0时等号成立，
因为t2=(2x+2-x)2=4x+4-x+2，则4x+4-x=t2-2，
则t2-4mt+8m2-8=0在t∈[2，+∞)上有解，即可保证f(x)为定义在R上的“伪奇函数”，
令F(t)=t2-4mt+8m2-8，t∈[2，+∞)，
函数F(t)的图象开口向上，对称轴为直线t=2m.
①当2m≤2时，即当m≤1时，函数F(t)在[2，+∞)上单调递增，
此时只需F(2)=4-8m+8m2-8=8m2-8m-4≤0，解得≤m≤
此时≤m≤1；
②当2m>2时，即当m>1时，函数F(t)在[2，2m)上单调递减，在(2m，+∞)上单调递增，
故只需F(2m)=4m2-8m2+8m2-8=4m2-8≤0，
解得-≤m≤此时1综上所述，当≤m≤时，f(x)=4x-m·2x+2+4m2-3为定义在R上的“伪奇函数”，否则不是.

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