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章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.在与1 027°角终边相同的角中，最大的负角是(　　)
A.-127° B.-53°
C.-47° D.-37°
2.设θ∈R，则“sin θtan θ<0”是“θ为第二象限角”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024·全国甲卷)已知=则tan等于(　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
4.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos=则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
5.已知sin(α+β)=tan α=2tan β，则cos(2α-2β)等于(　　)
A. B.
C.- D.-
6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若∠AOB=AB=2，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
7.(2025·北京)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
8.如图，现有一块半径为10 m的半圆形草坪，圆心记为O，AD是圆O的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道A-B-C-D，B和C在弧AD上(不与A，D重合)，AB=CD，则步道长的最大值为(　　)
A.25 m B.30 m
C.20 m D.(15+15)m
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C.若角α的终边过点P(-3，4)，则cos α=-
D.若角α为锐角，则角2α为钝角
10.(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.ω=
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点
D.若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则|x1-x2|min=π
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·上海)函数y=cos x在上的值域为　　　　　　　.
13.已知角α的终边经过点(-1，-3)，则=　　　　　　.
14.设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+sin x是偶函数，f(x)+cos x是奇函数，则f的值为　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)已知-(1)求的值；(7分)
(2)求sin x-cos x的值.(6分)
16.(15分)已知函数f(x)=2sin.
(1)写出函数f(x)的最小正周期和函数图象的对称轴方程；(5分)
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(10分)
17.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，函数f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为-.
(1)求函数f(x)的解析式；(5分)
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；(5分)
(3)若函数f(x)在区间上的值域为[1，2]，求实数m的取值范围.(5分)
18.(17分)某游乐园内竖立着一座摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米.放假期间小王同学来此游玩，若从小王进入摩天轮的轿厢开始计时，在运行过程中，将轿厢与其中的游客看作是摩天轮圆环上的一个点.
(1)求出小王同学距离地面的高度H(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数；(7分)
(2)当小王同学距离地面高度为11米时，突然发现小李同学在摩天轮的另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6：00进入的摩天轮轿厢，按此推算，小李大概是什么时候进入的摩天轮轿厢？(5分)
(3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯瞰到该游乐园的全景，这段时间称为“美景期”，则摩天轮在旋转一圈的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？(5分)
19.(17分)已知函数f(x)=4sin x·cos+2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；(7分)
(2)将f(x)的图象向左平移φ个单位长度，向下平移1个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2cos x的图象，若g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[0，π]内恰有3个零点，求ω的取值范围.(10分)
章末检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.在与1 027°角终边相同的角中，最大的负角是(　　)
A.-127° B.-53°
C.-47° D.-37°
答案　B
解析　与1 027°角终边相同的角的集合为
令1 027°+k·360°<0，可得k<-又k∈Z，
所以k≤-3，且k∈Z，
所以与1 027°角终边相同的角中，最大的负角是1 027°+(-3)×360°=-53°.
2.设θ∈R，则“sin θtan θ<0”是“θ为第二象限角”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为sin θtan θ<0，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，
所以θ是第二象限角或第三象限角，
所以“sin θtan θ<0”是“θ为第二象限角”的必要不充分条件.
3.(2024·全国甲卷)已知=则tan等于(　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
答案　B
解析　因为=
所以= tan α=1-
所以tan==2-1.
4.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos=则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得cos α=2cos2-1
=2×-1=-
因为0<α<π，则sin α===
所以sin=sin αcos-cos αsin=×-×=.
5.已知sin(α+β)=tan α=2tan β，则cos(2α-2β)等于(　　)
A. B.
C.- D.-
答案　A
解析　由sin(α+β)=得sin αcos β+sin βcos α=
由tan α=2tan β，得sin αcos β=2sin βcos α，
联立解得sin βcos α=sin αcos β=
因为sin(α-β)=sin αcos β-sin βcos α
=-=
所以cos(2α-2β)=1-2sin2(α-β)=.
6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若∠AOB=AB=2，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
答案　B
解析　因为∠AOB=OA=OB，所以△AOB为等边三角形，
因为AB=2，所以OA=OB=AB=2，
所以弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为
××22-×22=-.
7.(2025·北京)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
答案　C
解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx
=sin(ω>0)，
设函数f(x)的最小正周期为T，
由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*)，
所以T==(k∈N*)，即ω=2k(k∈N*)；
又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈
所以+≥π，即ω≥3，
综上，ω的最小值为4.
8.如图，现有一块半径为10 m的半圆形草坪，圆心记为O，AD是圆O的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道A-B-C-D，B和C在弧AD上(不与A，D重合)，AB=CD，则步道长的最大值为(　　)
A.25 m B.30 m
C.20 m D.(15+15)m
答案　B
解析　取BC，CD的中点M，N，连接OM，ON，OB，OC，如图所示，则OM⊥BC，ON⊥CD，
因为AB=CD，所以=∠DOC=∠AOB，因为OB=OC，所以∠OCB=∠OBC，
因为∠DOC+∠AOB+∠BOC=∠OCB+∠OBC+∠BOC=π，
所以∠OCB=∠OBC=∠DOC=∠AOB，故AD∥BC，故OM⊥AD，
设∠COD=θ，0<θ<则∠DON=∠CON=∠COM=-θ，
故CN=DN=10sinCM=BM=10sin=10cos θ，
故AB+CD+BC=20sin+20sin+20cos θ=40sin+20
=-40sin2+40sin+20
=-40+30，
因为0<θ<所以0<<0故当sin=即θ=时，-40+30取得最大值，最大值为30，
故步道长的最大值为30 m.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C.若角α的终边过点P(-3，4)，则cos α=-
D.若角α为锐角，则角2α为钝角
答案　BC
解析　选项A，-的终边与的终边相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B，设扇形的半径为r，则r=π，所以r=3，
扇形面积为×3×π=所以B正确；
选项C，角α的终边过点P(-3，4)，根据三角函数的定义，cos α=-所以C正确；
选项D，当角α为锐角时，0<α<0<2α<π，所以D不正确.
10.(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案　BC
解析　A选项，令f(x)=sin 2x=0，
解得x=k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)=sin=0，
解得x=+k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+k∈Z，解得x=+k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+k∈Z，
解得x=+k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.ω=
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点
D.若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则|x1-x2|min=π
答案　BCD
解析　根据图象可知A=2，又易知图象过点(0)
所以f(0)=2sin φ=即sin φ=又|φ|<可得φ=
由对称性可知函数f(x)的一条对称轴为=即f(x)的图象关于直线x=对称，即B正确；
由图可知最小正周期T=∈可得<ω<
又f=2sin=所以sin=
结合图象可得ω+=+2kπ，k∈Z，解得ω=+k，k∈Z，
因此当k=1时，符合题意，即ω=+=所以A错误；
所以f(x)=2sin令f(x)=0，可得x+=kπ，k∈Z，即x=-+kπ，k∈Z，
又x∈[-π，π]，可得k=0或k=1，且当k=0时，x=-当k=1时，x=π，即f(x)在区间[-π，π]上有且只有2个零点，可得C正确；
若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2)，则当x1+=-+2kπx2+=-+2kπ，k∈Z时，
|x1-x2|取得最小值=π，即D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·上海)函数y=cos x在上的值域为　　　　　　　.
答案　[0，1]
解析　由函数y=f(x)=cos x在上单调递增，在上单调递减，
且f=0，f(0)=1，f=
故函数y=cos x在上的值域为[0，1].
13.已知角α的终边经过点(-1，-3)，则=　　　　　　.
答案　2
解析　由于角α的终边经过点(-1，-3)，故tan α=3，
所以==+tan α=+=2.
14.设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+sin x是偶函数，f(x)+cos x是奇函数，则f的值为　　　　　　.
答案　-
解析　因为f(x)+sin x是偶函数，f(x)+cos x是奇函数，
则f(-x)-sin x=f(x)+sin x，f(-x)+cos x=-f(x)-cos x，
两式相减得-sin x-cos x=2f(x)+sin x+cos x，
则f(x)=-sin x-cos x，
则f=-sin-cos=--=-.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)已知-(1)求的值；(7分)
(2)求sin x-cos x的值.(6分)
解　(1)∵sin x+cos x=
∴1+2sin xcos x=即sin xcos x=-
∴=
==sin xcos x=-.
(2)由(1)知sin xcos x=-<0，又-∴cos x>0，sin x<0，
∴sin x-cos x=-
=-=-.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin.
(1)写出函数f(x)的最小正周期和函数图象的对称轴方程；(5分)
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(10分)
解　(1)函数f(x)的最小正周期为=π，
令2x+=+kπ(k∈Z)，
得函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)因为x∈
令t=2x+则t∈y=2sin t，
所以当t=即2x+=x=时，
f(x)max=f=2；
当t=-即2x+=-x=-时，
f(x)min=f=-1，
所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为-1.
17.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，函数f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为-.
(1)求函数f(x)的解析式；(5分)
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；(5分)
(3)若函数f(x)在区间上的值域为[1，2]，求实数m的取值范围.(5分)
解　(1)由图可知函数f(x)的最小正周期为T=4×=π，可得ω==2，
又由图可知f=-A，
有Asin=-A，有sin=-1，
又-<φ<则-<-+φ<有-+φ=-可得φ=-.
又由题意可知f(0)=-有Asin=-可得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)令2x-=kπ+(k∈Z)，
可得x=+(k∈Z)，
可得函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z)，
令2x-=kπ(k∈Z)，可得x=+(k∈Z)，
可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为(k∈Z).
(3)当x∈时≤2x-≤2m-
有2sin=1.
若函数f(x)在区间上的值域为[1，2]，
由正弦函数的图象和性质可知≤2m-≤
可得≤m≤
故实数m的取值范围为.
18.(17分)某游乐园内竖立着一座摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米.放假期间小王同学来此游玩，若从小王进入摩天轮的轿厢开始计时，在运行过程中，将轿厢与其中的游客看作是摩天轮圆环上的一个点.
(1)求出小王同学距离地面的高度H(单位：米)关于时间t(单位：分钟)的函数；(7分)
(2)当小王同学距离地面高度为11米时，突然发现小李同学在摩天轮的另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6：00进入的摩天轮轿厢，按此推算，小李大概是什么时候进入的摩天轮轿厢？(5分)
(3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯瞰到该游乐园的全景，这段时间称为“美景期”，则摩天轮在旋转一圈的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？(5分)
解　(1)方法一　设H(t)=Asin(ωt+φ)+b，A>0，ω>0，
由题意知，H的最大值是41米，最小值是1米，
即解得
因为摩天轮匀速旋转一圈要12分钟，即T=12，
所以ω==
又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即t=0时，H=1，代入H(t)中得到1=20sin φ+21，
得sin φ=-1，不妨取φ=-
所以H(t)=20sin+21=21-20cost，t∈[0，12].
方法二　以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为摩天轮匀速旋转一圈要12分钟，即T=12，即角速度ω=
设经过t分钟后，小王同学在点Q的位置，则∠xOQ=t-
所以点Q的纵坐标yQ=20sin=-20cost，
由题意知y轴与地面的交点P的纵坐标为-21，
所以H(t)=yQ-yP=21-20cost，t∈[0，12].
(2)由H(t)=21-20cost=11，
得cost=
因为t∈[0，12]，所以t=2或10，
所以两人之间相差8分钟，即小李大概是下午5：52或6：08进入的摩天轮轿厢.
(3)由H(t)=21-20cost≥31，
得cost≤-
因为t∈[0，12]，所以4≤t≤8，
所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟.
19.(17分)已知函数f(x)=4sin x·cos+2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；(7分)
(2)将f(x)的图象向左平移φ个单位长度，向下平移1个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2cos x的图象，若g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[0，π]内恰有3个零点，求ω的取值范围.(10分)
解　(1)依题意，f(x)=4sin x·cos+2
=4sin x·+2
=sin 2x-2sin2x+2=sin 2x+cos 2x+1
=2sin+1，
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)将f(x)的图象向左平移φ个单位长度，向下平移1个单位长度，得到y=2sin的图象，
再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2sin=2cos x的图象，
则2φ+=+2kπ，k∈Z，得φ=+kπ，k∈Z，
因为0<φ<所以φ=
所以g(x)的解析式为
g(x)=sin(ω>0)，
由x∈[0，π]，得ωx+∈
由函数g(x)在区间[0，π]内恰有3个零点，
得3π≤ωπ+<4π，解得≤ω<
所以ω的取值范围是.

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