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综合检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
2.已知命题p： x∈R，x2+1>0；命题q： x>0<0，则(　　)
A.命题p是真命题，命题q是真命题
B.命题p是假命题，命题q是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
3.已知函数f(x)=ln x+2x-7零点所在的大致区间为(n，n+1)(n∈N*)，则n为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.设x+3y=2，则函数z=3x+27y的最小值是(　　)
A.12 B.6
C.27 D.30
5.已知a=log23，b=c=20.4，则下列结论正确的是(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
6.已知函数f(x)=(x-1)2，g(x)=2x+1，h(x)=记m(x)=min{f(x)，g(x)，h(x)}为它们中的最小者，则函数m(x)的大致图象是(　　)
7.(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.-
C.1 D.0
8.已知定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)满足f(xy)+2=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>2，则下列说法错误的是(　　)
A.f(-1)=2
B.f(x)为偶函数
C.f(-2 027)D.若f(x+2)<2，则x的取值范围是(-3，-2)∪(-2，-1)
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是(　　)
A.若a>b，cb+d
B.若a>b，c>d，且ac>bd，则a，b，c，d均为正数
C.若a>b>0，c>d>0，则>
D.若bc-ad>0->0，则ab<0
10.下列关于函数f(x)=tan的说法不正确的是(　　)
A.在区间上单调递减
B.最小正周期是π
C.为非奇非偶函数
D.图象关于点中心对称
11.已知函数f(x)=方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)的零点个数为2
B.实数m的取值范围为
C.函数f(x)无最值
D.函数f(x)在(0，+∞)上单调递增
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.函数f(x)=的定义域是　　　　.
13.已知sin(α-β)=cos αsin β=则cos(2α+2β)=　　　　　　.
14.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下所需的训练迭代轮数至少为　　　　　.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)已知集合A={x|1(1)当m=-1时，求A∪B；(5分)
(2)若B A，求实数m的取值范围.(8分)
16.(15分)已知函数f(x)=(p≠0，q为常数)，其图象过点(0，0)和.
(1)求p和q的值，确定f(x)的解析式；(5分)
(2)证明：函数f(x)是奇函数；(5分)
(3)若x∈[-2，3]，求函数f(x)的最大值和最小值.(5分)
17.(15分)已知函数f(x)=sin(x∈R).
(1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；(6分)
2x+
x 0 π
f(x)
(2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称轴方程.(9分)
18.(17分)近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2026年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如表所示.
建立平台第x个月 1 2 3 4 5
会员人数y(万) 2 5 6.7 8 8.9
为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①y=mlog2x+n，②y=m+n，③y=2x-m+n.
(1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由；(5分)
(2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式；(6分)
(3)预测第几个月会员人数会达到14万.(6分)
19.(17分)已知二次函数y=f(x)的图象经过原点，函数f(x+1)是偶函数，方程f(x)+1=0有两个相等的实数根.
(1)求y=f(x)的解析式；(5分)
(2)若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立，求实数m的取值范围；(5分)
(3)若函数g(x)=与h(x)=a·3x-a-2的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.(7分)
综合检测试卷
[时间：120分钟 分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
答案　A
解析　因为A={x|-B={-3，-1，0，2，3}，
且1<<2，-2<-<-1，
所以A∩B={-1，0}.
2.已知命题p： x∈R，x2+1>0；命题q： x>0<0，则(　　)
A.命题p是真命题，命题q是真命题
B.命题p是假命题，命题q是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
答案　C
解析　因为 x∈R，x2+1≥1>0，所以命题p是真命题，
因为≥0，所以不存在x>0<0，所以命题q是假命题.
3.已知函数f(x)=ln x+2x-7零点所在的大致区间为(n，n+1)(n∈N*)，则n为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　因为函数f(x)=ln x+2x-7在(0，+∞)上单调递增，
所以函数f(x)在(0，+∞)上至多有1个零点.
又f(2)=ln 2+4-7=ln 2-3<0，
f(3)=ln 3+6-7=ln 3-1>0，
所以函数f(x)在(2，3)上有零点，故n=2.
4.设x+3y=2，则函数z=3x+27y的最小值是(　　)
A.12 B.6
C.27 D.30
答案　B
解析　∵x+3y=2，
∴函数z=3x+27y≥2=2=6，
当且仅当x=3y=1时取等号.
∴函数z=3x+27y的最小值是6.
5.已知a=log23，b=c=20.4，则下列结论正确的是(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
答案　C
解析　因为y=log2x在(0，+∞)上单调递增，
且<<4，
所以log2即log2所以b==log310，
因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，且10>9，
所以log310>log39=2，即b>2，
因为y=2x为R上的增函数，且0<0.4<
所以20<20.4<=<即1所以b>a>c.
6.已知函数f(x)=(x-1)2，g(x)=2x+1，h(x)=记m(x)=min{f(x)，g(x)，h(x)}为它们中的最小者，则函数m(x)的大致图象是(　　)
答案　A
解析　将f(x)=(x-1)2，g(x)=2x+1，h(x)=画在同一个直角坐标系中，
由函数m(x)=min{f(x)，g(x)，h(x)}的定义，取三个函数中的最小者，可得m(x)图象，易知A项符合.
7.(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.-
C.1 D.0
答案　A
解析　设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0，
即=∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在上单调递增，则≥-=∴≥0<ω≤2，
∴ω=2，则m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=
∴f(x)=sin
又当x∈时，2x+∈
由正弦函数的单调性可知当2x+=即x=时，f(x)min=sin=-.
8.已知定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)满足f(xy)+2=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>2，则下列说法错误的是(　　)
A.f(-1)=2
B.f(x)为偶函数
C.f(-2 027)D.若f(x+2)<2，则x的取值范围是(-3，-2)∪(-2，-1)
答案　C
解析　A选项，在f(xy)+2=f(x)+f(y)中，令x=y=1，
得f(1)+2=f(1)+f(1)，解得f(1)=2；令x=y=-1，
得f(1)+2=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=2，故A正确；
B选项，令y=-1，得f(-x)+2=f(x)+f(-1)，所以f(-x)=f(x)，
又f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数，故B正确；
C选项，设01，所以f(t)>2，
所以f(x2)=f(tx1)=f(t)+f(x1)-2>f(x1)，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(x)是偶函数，
所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，从而f(-2 027)>f(-2 026)，故C错误；
D选项，因为f(x)是偶函数，则f(x+2)<2 f(|x+2|)又f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以0<|x+2|<1，解得-3二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是(　　)
A.若a>b，cb+d
B.若a>b，c>d，且ac>bd，则a，b，c，d均为正数
C.若a>b>0，c>d>0，则>
D.若bc-ad>0->0，则ab<0
答案　ABD
解析　对于A，若a=2，b=1，c=-2，d=-1，
则a+c=b+d=0，所以A错误；
对于B，若a=2，b=1，c=1，d=-2，则ac>bd，但a，b，c，d不全为正数，所以B错误；
对于C，因为c>d>0，所以>>0，即>>0，因为a>b>0，所以>>0，所以>>0，所以C正确；
对于D，若a=1，b=2，c=2，d=1，满足bc-ad>0->0，而此时ab=2>0，所以D错误.
10.下列关于函数f(x)=tan的说法不正确的是(　　)
A.在区间上单调递减
B.最小正周期是π
C.为非奇非偶函数
D.图象关于点中心对称
答案　AB
解析　选项A，由x∈得2x+∈则函数f(x)=tan在区间上单调递增，故A错误；
选项B，函数f(x)=tan的最小正周期是故B错误；
选项C，f(x)为非奇非偶函数，故C正确；
选项D，当x=-时，f(x)=tan 0=0，故f(x)关于点中心对称，故D正确.
11.已知函数f(x)=方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)的零点个数为2
B.实数m的取值范围为
C.函数f(x)无最值
D.函数f(x)在(0，+∞)上单调递增
答案　ABC
解析　因为函数f(x)=可得函数图象如图，
由图知函数f(x)有2个零点，故A选项正确；
函数f(x)没有最值，故C选项正确；
函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故D选项错误；
由于方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根，
令t=f(x)，则t2-mt-1=0有2个不同的实数根，
因为Δ=m2+4>0恒成立，
设t2-mt-1=0的两个不相等的实数根为t1，t2，且t1由根与系数的关系知t1+t2=m，t1t2=-1，
则t1，t2异号，由图可知t1<0，0所以22-2m-1≥0，解得m≤故B选项正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.函数f(x)=的定义域是　　　　.
答案　(0，1)∪(1，2]
解析　因为f(x)=
所以
解得0即函数的定义域为(0，1)∪(1，2].
13.已知sin(α-β)=cos αsin β=则cos(2α+2β)=　　　　　　.
答案　
解析　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=而cos αsin β=因此sin αcos β=
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)
=1-2sin2(α+β)=1-2×=.
14.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下所需的训练迭代轮数至少为　　　　　.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
答案　15
解析　由于L=L0所以L=0.8×
依题意0.4=0.8×则D=
则L=0.8×由L=0.8×<0.3，
得<
两边同时取对数可得lgG>10≈10×≈14.2，
即G>14.2，所以所需的训练迭代轮数至少为15.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)已知集合A={x|1(1)当m=-1时，求A∪B；(5分)
(2)若B A，求实数m的取值范围.(8分)
解　(1)当m=-1时，B={x|-2所以A∪B={x|-2(2)因为B A，
所以当B= 时，2m≥1-m，解得m≥
满足B A；
当B≠ 时，若满足B A，则
该不等式无解，
综上，若B A，
则实数m的取值范围是.
16.(15分)已知函数f(x)=(p≠0，q为常数)，其图象过点(0，0)和.
(1)求p和q的值，确定f(x)的解析式；(5分)
(2)证明：函数f(x)是奇函数；(5分)
(3)若x∈[-2，3]，求函数f(x)的最大值和最小值.(5分)
(1)解　∵f(x)的图象过点(0，0)和
∴=0=
∴p=1，q=-1，
∴f(x)=.
(2)证明　∵f(x)的定义域是R，关于原点对称.
f(-x)===-=-f(x)，
∴f(x)是奇函数.
(3)解　∵f(x)==1-
f(x)在R上单调递增，
∴f(x)在上也单调递增，
∴f(x)max=f(3)==
f(x)min=f(-2)==-
∴f(x)在上的最大值为最小值为-.
17.(15分)已知函数f(x)=sin(x∈R).
(1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；(6分)
2x+
x 0 π
f(x)
(2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称轴方程.(9分)
解　(1)由题意可得表格如下，
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
可得图象如图所示.
(2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到y=sin+1的图象，再将横坐标缩短为原来的可得到y=sin+1的图象，再向右平移个单位长度可得y=sin+1
=sin+1的图象，
即g(x)=sin+1，
令4x-=+kπ，k∈Z，解得x=+k∈Z，
所以g(x)图象的对称轴方程是x=+k∈Z.
18.(17分)近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2026年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如表所示.
建立平台第x个月 1 2 3 4 5
会员人数y(万) 2 5 6.7 8 8.9
为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①y=mlog2x+n，②y=m+n，③y=2x-m+n.
(1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由；(5分)
(2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式；(6分)
(3)预测第几个月会员人数会达到14万.(6分)
解　(1)由给定数据表知，函数的定义域为N*，会员人数逐月增加，增速随x增大而减缓，
对于模型①y=mlog2x+n，会员人数增速随x增大而减缓，符合题意；
对于模型②y=m+n，当x=1时无意义，不符合题意；
对于模型③y=2x-m+n，会员人数增速随x增大而变快，不符合题意.
所以最符合实际的函数模型是模型①y=mlog2x+n.
(2)由(1)知，选择模型①y=mlog2x+n，
将表格中(1，2)，(4，8)代入y=mlog2x+n，得
解得则y=3log2x+2，
所求函数模型的解析式为y=3log2x+2(x∈N*).
(3)当y=14时，3log2x+2=14，即log2x=4，
解得x=16，
所以预测第16个月会员人数达到14万.
19.(17分)已知二次函数y=f(x)的图象经过原点，函数f(x+1)是偶函数，方程f(x)+1=0有两个相等的实数根.
(1)求y=f(x)的解析式；(5分)
(2)若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立，求实数m的取值范围；(5分)
(3)若函数g(x)=与h(x)=a·3x-a-2的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得，f(0)=c=0，
∴f(x)=ax2+bx，f(x+1)=ax2+(2a+b)x+b+a，
∵f(x+1)是偶函数，
∴-=0，即2a+b=0. ①
∵f(x)+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4a=0， ②
由①②，解得a=1，b=-2，∴f(x)=x2-2x.
(2)若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立，
只需m≥-2(log2x)2+4log2x在x∈时恒成立.
令φ(x)=-2(log2x)2+4log2x，x∈
则φ(x)max=φ(2)=2.
若对任意x∈2f(log2x)+m≥0恒成立，
只需满足m≥φ(x)max=2，
∴m的取值范围为[2，+∞).
(3)函数g(x)=与h(x)=a·3x-a-2的图象有且只有一个公共点，
∴方程=a·3x-a-2有且只有一个实数根，
即(a-1)·(3x)2-a·3x-1=0有且只有一个实数根.
令t=3x>0，则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0 (记为*式)只有一个正的实数根.
若a=1，则t=-不符合题意，舍去；
若a≠1，则方程(*)的两根异号或有两相等正根，
∴<0或
∴a>1或
∴a>1或a=-3.
综上，实数a的取值范围是{-3}∪(1，+∞).

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