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1.3矩形的性质与判定（1）同步训练 新教材北师大版数学九年级上册
一、基础训练
1．下列说法中错误的是 (　　)
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．菱形的对角线平分一组对角
C．平行四边形的对边相等
D．矩形的对角线互相平分
2．一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形ABC的中线，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形是矩形，是边上的一点，把沿折叠至，点的对应点恰好落在边上，，，求（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝　 　．
7．如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则　 　．
8．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， ∠AOB=60°， AB=3，则AC的长为　 　.
9．如图，矩形的对角线，相交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
10．如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F。求证：AF=CE。
二、巩固提升
11． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC =90°， ∠B =30°，D为BC上一点， 且AC = AD ， E， F分别是CD， AB的中点， 连接EF， 若AC = 2， 则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．0.5
12．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．18
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　）
A．8° B．10° C．15° D．20°
14．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
15．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则　 　．
16．如图，在矩形中，对角线相交于点垂直且平分线段，垂足为点已知，则的长为　 　．
17．如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是　 　m．
18．如图， AFDE的顶点F在矩形ABCD的边BC上，点F与点B，C不重合，若△AED的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积之和为　 　。
19．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，AE=5EC，连接BE，若∠AEB=2∠EAB，. 则BE的长为　 　。
20．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形ABCD，球员林昊沿AE跑位，防守队员谷文杰沿DF拦截，点E是BC边上一点， AE=AD，DF⊥AE于点F.
（1）求证： AB=DF.
（2）若AB=8分米， CE=4分米，求BC的长.
21．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，四边形为菱形，求菱形的面积．
三、能力应用
22．背景知识：我们掌握了基本事实：两点之间线段最短.根据这个事实，我们证明了：三角形的任意两边之和大于第三边.根据不等式的性质得出了：三角形的任意两边之差小于第三边.
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，线段AB的长度为定长，点C为动点，且BC为定长（BCAC，AB-BC当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况.在图2中，线段AC取最小值为AB-BC；在图3中，线段AC取最大值为AB+BC.
模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB、BC为定长（BC（1）上面的知识拓展部分，主要运用的数学思想有（　　）；（填选项）
A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
（2）已知线段AB=10cm，点C为平面内任意一点，线段AC和BC长度和的最小值是　 　cm；
（3）已知⊙O的直径为2cm，点A为⊙O上一点，点B为平面内一点，且OB=1cm，则AB的最大值是　 　cm；
（4）如图4，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变.其中AB=2，BC=1.运动过程中，求点D到点O的最大距离.
23．【问题认识】如图1，在矩形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O.若AB=a，BC=b，由勾股定理，得同理故
（1）【初步应用】如图1，若 求BO的长；
（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a， BC=b，则【问题认识】中的结论是否依然成立 请加以判断，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，已知BO为△ABC的一条中线， AB=5， BC=7， AC=6，求BO的长.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】
7．【答案】
8．【答案】6
9．【答案】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
10．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD。
∴∠BAE=∠DCF。
∵过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE。
11．【答案】B
12．【答案】C
13．【答案】B
14．【答案】C
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】4
18．【答案】4
19．【答案】3
20．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=∠B=90°，AD=BC，AB=CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=∠ABE=90°，
∴∠AEB=∠DAF=90°-∠BAE，
又∵AE=AD，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB=DF；
（2）解：设AE=AD=BC=x，则BE=x-4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得： 即
解得： x=10，
∴BC=10分米.
21．【答案】（1）因为四边形是矩形，
，，
，
，
即，
又，
，
四边形是平行四边形
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AE=EC，
设AE=EC=x，则BE=BC-EC=6-x，
在矩形ABCD中，∠B=90°，AB=CD=4，BC=AD=6，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB2+BE2=AE2，
即42+（6-x）2=x2，
解得x=，
∴EC=，
∴ 菱形AECF的面积=×4=.
22．【答案】（1）C
（2）10
（3）2
（4）解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON=90°，AB=2，
∵BC=1，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，
∵OD≤OE+DE，
且当点O、D、E三点共线时，等号成立，DO的值最大，
∴点D到点O的最大值为
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD， AO=BO=CO=DO.
即
解得BD=20，
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
作AE⊥BC于点E，作DF ⊥BC交BC的延长线于点 F，则∠AEB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形， AB=a，BC=b，
∴AB=CD=a，AD∥BC， AD=BC=b.
∵AE⊥BC， DF ⊥BC，
∴AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF，
（3）解：延长BO到点 D，使DO=BO，
∵BO为ABC的一条中线，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
由(2)得
解得 (负值舍去).

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