资源简介

1.3矩形的性质与判定（2）同步训练 新教材北师大版数学九年级上册
一、基础训练
1．下列语句中，正确的是（　　）
A．各角相等的多边形叫做正多边形
B．平行四边形的内角和与外角和相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．菱形不是轴对称图形
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角为直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．下列命题是假命题的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直四边形是菱形
D．四边相等的四边形是正方形
5．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当平分时，它是菱形 D．当且时，是正方形
6．要使成为矩形，需增加的一个条件是　 　.（只需写出一种情况）
7．中，再添加一个条件　 　，就可判定四边形为矩形．
8．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件　 　，使为矩形（任意添加一个符合题意的条件即可）．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，于点E，于点F，求证：AF=CE.
10． 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
二、巩固提升
11．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为　 　．
12． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，则点A'的坐标为（　　）
A．（6，4） B．（4，3） C．（7，4） D．（8，6）
13．下列说法中正确的是 （　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
14．如图，的对角线交于点，，分别是边，的中点，连接，．下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若，则四边形是菱形；④若，，，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DF于点F和G，连接AF，AG.则下列结论错误的是（　　）
A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形
B．当AD=BD时，则四边形AGBF为矩形
C．当AB=FG时，则四边形AGBF为矩形
D．当BF=BG时，则四边形AGBF为菱形
16．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为　 　.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF。若AD=10，EF=4，则BG的长为　 　。
18．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=CD，连结AE交BC于点F，∠AFC=n∠D，当n=　 　时，四边形ABEC是矩形。
19．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　．
20．如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，过点 D作 DE∥AC且 连接 AE 交 OD于点 F，连接 OE.
（1）求证： OE=AB；
（2）若菱形 ABCD的边长为 4， ∠ABC=60°，求 AE的长.
21． 已知：如图，在中，．求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点A为圆心，的长为半径画弧；再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形是矩形．
三、能力应用
22．下面是小高同学设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程：
已知：如图1，是直角三角形，，是中点．求作：点，使得四边形是矩形．作法：①作射线；
②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点；
③连接、，所以四边形为矩形，点即为所求．
根据小高同学设计的尺规作图过程完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）证明：四边形是矩形；
（3）如图2，在矩形的边、上各有一点、，且经过中点，请在、上各找一点、，使得四边形为菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）．
23．如图，在矩形 ABCD 中，，点 E 是 BC 边上的动点，连接 AE，点 B 关于 AE 的对称点为点 F，连接 EF，作射线 CF 交直线 AD 于点 G．
（1）【动手操作】如图 1，若点 G 与点 A 重合时，请在图 1 中补全图形，并直接写出线段 EF 与线段 AB 的数量关系；
（2）【深入探究】如图 2，若 AE // CG，探究线段 EF 与线段 AB 的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展探究】若点 E 在射线 BC 上运动，当 E，F，D 三点共线时，求△ECF 的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】∠A=90°（答案不唯一）
7．【答案】（答案不唯一）
8．【答案】（答案不唯一）
9．【答案】证明： ∵AE⊥CD， CF⊥AB，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在 ABCD中， AB∥CD，
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF 为矩形
∴AF=CE.
10．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
11．【答案】
12．【答案】C
13．【答案】D
14．【答案】B
15．【答案】D
16．【答案】
17．【答案】2
18．【答案】2
19．【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）
20．【答案】（1）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC=AC，AD=AB.
∵DE//AC且DE=AC
∴DE=OA=OC
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE=AD，
∴OE=AB

（2）解：∵ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠OCE=90°.
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴AO=AC=2，
∴在矩形OCED中，CE=OD==2，
∴在Rt△ACE中，AE==2.
21．【答案】（1）解：如图所示，四边形ADCE为所求的矩形；
（2）证明：∵AE=CD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形
由作图可知，AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形
22．【答案】（1）解：如图所示：四边形为矩形，点即为所求，
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形。
（3）解：如图，连接并延长交于点，作的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接、、、，则四边形即为所作，
，
23．【答案】（1）解：补全图形，如图1即为所求；
（2）解： 理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CGD=∠GCB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB =∠AEB， ∠AEF =∠CFE，
∵点B关于AE的对称点为点F，
∴∠AEB =∠AEF， BE = EF，
∴∠GCB=∠CFE， 即
（3）解： 的面积为 或 .理由如下：
分两种情况讨论如下：
①当点E在线段BC上时，如图3，
∵点B关于AE的对称点为点F，
在 中，由勾股定理得：CE=
分别过点F作 交AD于点M，交BC于点N，
∴四边形ABNM是矩形，
即
解得：
②当点E在射线BC上，点C右侧时，如图4，
点B关于AE的对称点为点F，
，
在 中，由勾股定理得：CE=
过点F作 交BE于点Q，FQ与AD交于点P，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴四边形APQB是矩形，
在 中，由勾股定理得：FD=
即
解得：
综上所述， 的面积为 或

展开更多......

收起↑