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(共27张PPT)
第25章 一元二次方程
25.2.2公式法
（人教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别
式公式。掌握根的判别式与一元二次方程实数根的三种对应关系，能
准确判断方程根的情况。熟练运用公式法规范解一元二次方程，掌握
解题标准步骤，规避常见运算错误。
经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用
解题”的完整过程，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想。通
过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能
力，提升代数推理和运算能力.
在公式推导的探究过程中，感受数学公式的严谨性、简洁性，体会
数学的逻辑美感.养成规范解题、细致运算、严谨思考的良好学习习
惯，增强学习数学的自信心。
02
新知导入
用配方法解
一元二次方程
将常数项移到方程的右边
二次项系数化为1
利用平方根的意义直接开平方
解两个一元一次方程
方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
一移
二化
三配
四开
五解
02
新知导入
用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x－5＝0.
解：(1)x1＝－1，x2＝－2；
(2)x1＝－1，x2＝.
03
新知讲解
探究
任何一个一元二次方程都可以化成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).
能否用配方法得出它的解呢？
我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题.
移项，得
二次项系数化为 1，得
03
新知讲解
探究
配方，得
即
任何一个一元二次方程都可以化成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).
能否用配方法得出它的解呢？
03
新知讲解
探究
因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况：
（1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 x + =± .
方程有两个不相等的实数根
x1 = ，x2 = .
03
新知讲解
探究
（2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – .
（3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知(x + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，因此方程无实数根.
03
新知讲解
判别式的情况 一元二次方程根的情况
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
Δ≥0
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
03
新知讲解
试一试
一元二次方程
Δ的值
根的情况
按要求填表：
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
03
新知讲解
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
03
新知讲解
例3
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
解：(1)因为a=1，b=﹣4，c=-7，
所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0，
方程有两个不相等的实数根x===2.
即
03
新知讲解
例3
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
解：(2) 因为 ，
所以，
方程有两个相等的实数根
03
新知讲解
例3
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
解：(3) 方程化为 ，此时 ，
所以 = (-4)2-4×5×(-1) =36>0.
方程有两个不相等的实数根x===.
即
03
新知讲解
例3
用公式法解下列方程：
(1) x -4x-7=0； (2) 2x -2x+1=0;
(3) 5x -3x=x+1； (4) x +17=8x.
解：(4) 方程化为 ，
此时a=1，b=-8，c=17，
所以 (-8)2-4×1×17=-4＜0.
方程无实数根.
03
新知讲解
一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0).
二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号.
三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况
四求：
当△>0 时，方程有两个不相等的实数根;
当△=0 时，方程有两个相等的实数根;
当△<0 时，方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的步骤
03
新知讲解
公式法求解一元二次方程的两点注意
（1）必须先将方程化成一般形式，再确定a，b，c的值．
（2）当b2－4ac≥0时，方程有实数根；
当b2－4ac＜0时，求根公式不成立，此时方程无实数根．
04
课堂练习
2．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　）
A
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 　D．有两个实数根
1. 利用求根公式求5x2+=6x的根时，a，b，c的值分别是（ ）

C
04
课堂练习
3．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则 (　 )
A．k＝－4　　　　B．k＝4　　　C．k≥－4　　　　D．k≥4
B
4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______．
13
04
课堂练习
5．用公式法解下列一元二次方程．
（1）x2－3x－2＝0；
（2）－x2－2x＝2x＋1．
解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0．
∴x＝＝．
∴．
04
课堂练习
5．用公式法解下列一元二次方程．
（1）x2－3x－2＝0；
（2）－x2－2x＝2x＋1．
解：（2）方程化为x2＋4x＋1＝0．
∵a＝1，b＝4，c＝1，
∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0，
∴x＝＝．
∴x1＝，x2＝．
04
课堂练习
6．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值．
解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0．
这里a＝1，b＝－3，c＝2，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴m＝＝，即m1＝2，m2＝1．
又原方程为关于x的一元二次方程，
∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2．
05
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三算（Δ值）；
四求（求根公式计算）
06
板书设计
25.2.2公式法
1.根的判别式：
2.用公式法解一元二次方程：
Thanks!
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