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(共24张PPT)
第25章 一元二次方程
25.2.3因式分解法
（人教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个
因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解
技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方
程特征灵活选择最优解法。
经历“观察方程结构一因式分解一降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力。
在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维。
02
新知导入
1. 填空：
(1)a -b = ；
(2)a +2ab+b = .
(3)a -2ab+b = .
2. 说一说：我们学过哪些因式分解的方法？
(a+b)(a-b)
(a-b)
(a+b)
提公因式法：把公因式提到括号外，各项中不同因式的和放到括号内.
公式法：利用平方差公式、完全平方公式因式分解.
02
新知导入
3.在横线上写出下面多项式因式分解的结果：
(1)4x +6x= ；
(2)x(x-2)-4x+8= ；
(3)9x -4= ；
(4)4x -(x-2) = .
4.用公式法解下列方程：
(1)x -4x-12=0； (2)x -8x+9=0.
2x(x+3)
(x-2)(x-4)
(3x+2)(3x-2)
(3x-2)(x+2)
（1）x1=6，x2=-2
（2）x1=9，x2=-1
03
新知讲解
问题
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 后离地面的高度（单位：m）约为 10x-5.
提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即10x-5=0.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？
03
新知讲解
问题
解：
配方法
公式法
解：
a = 5，b =－10，c = 0.
b2－4ac= (－10)2－0=100
10x-5=0
10x-5=0
2， 0
-2x=0
-2x+1=1
2， 0
=1
=±1
你还能找到更简便的方法解这个方程吗？
03
新知讲解
问题
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0
或 b = 0.
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x-5=0
x（10-5x）=0
或
x=0
10-5x=0
2， 0
03
新知讲解
思考
解方程10x-5x2=0 时， 二次方程如何使降为一次的？
解方程10x 5x2 = 0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
03
新知讲解
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；
（2）把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
（3）把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
（4）解两个一元一次方程，求出方程的根.
03
新知讲解
试一试
直接说出下列方程的根：
（1）(3x+6)(2x–4) = 0；
（2）(x+2)(x–3) = 0；
（3）(x+5)(x–1) = 0；
（4）x(x–2)= 0；
（5）x2 = x.
x1= –2，x2= 2.
x1= –2，x2= 3.
x1= –5，x2= 1.
x1= 0，x2= 2.
x1= 0，x2= 1.
03
新知讲解
例4
解下列方程：
(1) x(x 2)+x 2=0； (2) 5x2 2x =x2 2x+.
解：(1)左边分解因式，得
，
于是
，
即
.
(2) 移项、合并同类项，得
，
左边分解因式，得
，
于是 ，
即 .
03
新知讲解
思考
学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？
03
新知讲解
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程.
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单.
公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误.
因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小.
03
新知讲解
试一试
①x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0；
⑥ 5(m+2)2=8；⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
⑥
②
③
⑤
⑨
①
⑦
⑧
④
04
课堂练习
1. 用因式分解法解方程2x (x+2)+3x+6=0，可得（ ）
A. (x+2)(2x+3)=0 B. (x+2)(5x+6)=0
C. 2x +7x+6=0 D. 6x(x+2)=0
A
2.方程 的根是( )
A.
B.
C.，
D.，
D
04
课堂练习
3.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时，只得出一个根 x＝1，则被漏掉的一个根是（ ）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0
D
4.解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1 = ， x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
04
课堂练习
5.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x - 5)(x + 2) = 18.
解： 原方程化为：
(x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4； ③
所以原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4.
解: 不正确.原方程未化成一般形式就进行因式分解.
原方程化为：
x2 - 3x - 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = -4.
04
课堂练习
解：（1）化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
（2）因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
6.解方程：
解得
04
课堂练习
7．由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
2
4
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，
则x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝4.
05
课堂小结
因式分解法
解一元二次方程
概念
将方程左边因式分解，右边=0.
依据
如果ab=0，那么a=0，或b=0.
步骤
一移，二分，三化，四解.
06
板书设计
25.2.3因式分解法
因式分解法解一元二次方程：
Thanks!
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