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(共29张PPT)
第十四章 全等三角形
14.2三角形全等的判定(第5课时)
（人教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；
经历HL的探究过程，体会从一般到特殊的研究方法；应用HL判定直角三角形全等，体会转化思想，提高有条理地思考和表达的能力；
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力.在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识，
03
02
新知导入
两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？
一直角边及其相对（或相邻）的锐角分别相等
AAS、ASA
斜边和一锐角分别相等
AAS
两直角边分别相等
SAS
如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
03
新知讲解
探究5
C'
A'
B'
C
A
B
如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？
03
新知讲解
探究5
如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知：
①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合.
② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合.
C'
A'
B'
C
A
B
(C')
(B')
03
新知讲解
探究5
接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系.
C
A
B
(C')
(B')
① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角．
② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM．
M
外角的性质
M'
垂线段最短
03
新知讲解
探究5
③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB．
④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个.
⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，
A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合．
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB.
(A')
03
新知讲解
探究5
C
A
B
(C')
(B')
a. 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，则∠BNA ＜∠BAC，∠BNA是锐角．
b. 若过点 A 且垂直于 AB 的直线与线段 BN 相交于点 N′，则有 AB ＜ BN′ ＜ BN．
N
N'
外角的性质
垂线段最短
03
新知讲解
探究5
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
C
A
B
(C')
(B')
(A')
03
新知讲解
判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写为“斜边、直角边”或“HL”）。
用数学符号语言表述：
在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL）
AB =A＇B＇
BC =B＇C＇
文字语言
符号语言
图形语言
C
B
A
A ＇
B ＇
C ＇
03
新知讲解
例6
如图，AC⊥BC， BD⊥AD，垂足分别为C，D， AC=BD.
求证：BC=AD.
A
B
D
C
分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.
由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.
03
新知讲解
例6
如图，AC⊥BC， BD⊥AD，垂足分别为C，D， AC=BD.
求证：BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D =90°.
在 Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)，
∴BC=AD.
A
B
D
C
03
新知讲解
判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐
角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，
用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
03
新知讲解
试一试
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
HL
×
SAS
AAS
AAS
03
新知讲解
梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法，并绘制成思维导图.
已知两边
找第三边“SSS”
找两边的夹角“SAS”
看是否是直角三角形，若是“HL”
已知两角
找两角的夹边“ASA”
找任意一角的对边“AAS”
03
新知讲解
已知一边
一角
找这条边的另外一个邻角“ASA”
找这个角的另外一边“SAS”
找这条边的对角“AAS”
一边和它的邻角
一边和它的对角
找另外任意一个角“AAS”
看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL”
04
课堂练习
基础题
1. 如图，∠C=∠D=90°,添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件合适的是(　　)
A. AC=AD
B. AB=AB
C. ∠ABC=∠ABD
D. ∠BAC=∠BAD
A
04
课堂练习
基础题
2.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠ACD的度数是(　 　)
A.90°　　
B.60°　　
C.30°　　　
D.45°
B
04
课堂练习
基础题
3.两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点M，另一直角边BE，CD分别落在∠PAQ的边AP和AQ上，且AB＝AC，作射线AM，则在说明AM为∠PAQ的平分线的过程中，证全等的依据是(　　)
A.SAS B.ASA
C.HL D.SSS
C
04
课堂练习
基础题
4.如图，在和 中， ，， ，
求证： .
证明： ，
，即 .
又 ， ，
，
.
04
课堂练习
提升题
C
1．如图，在△ABC中，点F在边BC上，FD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，AD＝CF，AE＝CD，若∠CFD＝40°，则∠A的度数是(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
04
课堂练习
提升题
2.如图，在中， ，，
，，两点分别在和过点 且垂
直于的射线上运动，，当 与
全等时， 的长度为( )
B
A.6 B.6或12 C.8 D.8或12
04
课堂练习
拓展题
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEG＝∠BED＝∠F＝90°.
如图，在△ABC中，D为BC的中点，BE⊥AD于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG.
(1)求证：BE＝CF；
04
课堂练习
拓展题
如图，在△ABC中，D为BC的中点，BE⊥AD于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG.
(2)若BG＝CA，DF＝1，求GA的长．
05
课堂小结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
06
板书设计
14.2三角形全等的判定(第5课时)
直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)：
Thanks!
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