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(共27张PPT)
第十四章 全等三角形
14.3角的平分线(第1课时)
（人教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题；
经历“操作—猜想——验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想；
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
03
02
新知导入
我们学过的角的平分线的概念是什么？
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
几何语言：
所以 OB 平分∠AOC.
如图，因为
02
新知导入
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
方法一：用量角器度量
方法二：用折纸的方法
在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？
方法三：用角平分仪
03
新知讲解
探究
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？
在△OPM和△OPN中，
OP=OP，∠POM=∠PON，
如果OM=ON，
那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN.
03
新知讲解
探究
反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？
A
O
B
M
N
P
OM=ON，
PM=PN，
OP=OP，
∴△OPM≌△OPN (SSS)，
证明：连接OP，在△OPM和△OPN中
∴∠POM=∠PON，
∴点P在∠AOB的平分线上.
03
新知讲解
思考
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
A
B
O
M
C
(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N．
(3) 画射线 OC.
射线 OC 即为所求.
(2) 分别以点 M，N 为圆心．
大于　MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C.
作法：
N
03
新知讲解
思考
为什么以大于 MN 的长为半径作弧？
答：如果以小于 MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线.
A
B
O
M
N
03
新知讲解
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······.
分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、
P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
03
新知讲解
探究
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
验证
这个点到这个角两边的距离相等.
03
新知讲解
探究
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.
03
新知讲解
探究
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
03
新知讲解
探究
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：在△OPD 和△OPE 中，
∠AOC=∠BOC，
∠PDO=∠PEO，
OP=OP，
∴△OPD≌△OPE（AAS），
∴PD=PE .
03
新知讲解
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
03
新知讲解
证明一个几何命题时的步骤：
已知：一个点在一个角的平分线上
求证：这个点到角两边的距离相等；
第一步：明确命题中的已知和求证.
第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
04
课堂练习
基础题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
A
2. 如图，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是 (　　)
A. 一定相等 B. 一定不相等
C. 当BD=CD时，两者相等 D. 当DE=DF时，两者相等
D
04
课堂练习
基础题
B
3．如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
04
课堂练习
基础题
4.如图,，，垂足分别为,， 与
相交于点，且.求证： .
证明： ,
为 的平分线.
, ，
, .
又 ,
, .
04
课堂练习
提升题
1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　)
A.2 　　
B.3　　
C.4　　
D.5
C
04
课堂练习
提升题
2.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　　　　.
3或7
04
课堂练习
拓展题
【证明】如图①，过点D作DE⊥AB
于点E，DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，
∴＝＝.过点A作AH⊥BC于点H，
∴＝＝.∴＝.
(1)如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：＝；
04
课堂练习
拓展题
(2)如图②，AD是△ABC的外角的平分线，判断(1)中的关系是否成立，并说明理由.
【解】(1)中的关系仍然成立.理由如下：
如图②，过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G.
∵AD平分∠CAE，∴DF＝DG，
∴＝＝.
过点A作AH⊥BD于点H，∴＝＝.∴＝.
05
课堂小结
角的平分线
为证明线段相等提供了又一途径.
性质定理
过角平分线上一点向角两边作垂线段.
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等.
辅助线添加
06
板书设计
14.3角的平分线(第1课时)
1.作已知角的平分线：
2.角的平分线的性质：
3.证明几何命题的一般步骤：
Thanks!
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