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(共23张PPT)
第十四章 全等三角形
14.3角的平分线(第2课时)
（人教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题；
经历角平分线性质定理的逆定理的探究过程，培养逻辑推理能力，体会逆向思维；在应用逆定理解决问题的过程中，体会转化思想；
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
03
02
新知导入
1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P到OB的距离
O
D
E
P
P到OA的距离
角平分线上的点
A
C
B
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
03
新知讲解
探究
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
求证：
这个点在这个角的平分线上.
C
A
B
O
D
E
P
03
新知讲解
探究
已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：如图，过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO= 90°.
在 Rt△OPD和Rt△OPE 中，
C
OP=OP，
PD=PE，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线上.
03
新知讲解
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
03
新知讲解
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
1
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
2
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
03
新知讲解
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究
03
新知讲解
探究
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
03
新知讲解
例
证明： (1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
E
D
F
03
新知讲解
例
(2)由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
E
D
F
03
新知讲解
角平分线的性质 角平分线的判定
图示
已知条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA于点 D
PE⊥OB于点 E
PD = PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD = PE
OP 平分∠AOB
归纳
04
课堂练习
基础题
1.如图，于点 ，于点，
若，且 ，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，
使得顶点重合， ，若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
04
课堂练习
基础题
3.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是　　 .
75°
04
课堂练习
基础题
4.如图，已知，，垂足分别为，，， 相交于点，
连接.若，求证： 平分 .
04
课堂练习
提升题
1.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示的方式摆
放，两把直尺的接触点记为点 ，其中一把直尺的上
边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线
重合，连接并延长.若 ，则 的度
数为( )
C
A. B. C. D.
04
课堂练习
提升题
2.如图，点在 内，且到三边的距离相等，连
接，.若 ，则 的度数是( )
A. B. C. D.
C
04
课堂练习
拓展题
如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACP的平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是△ABC的外角∠CAQ的平分线．
证明：过点D分别作DE⊥BQ于点E，DF⊥AC于点F，DG⊥BP于点G.
∵BD，CD分别是∠ABC与∠ACP的平分线，
∴DE＝DG，DF＝DG.∴DE＝DF.
又∵DE⊥BQ，DF⊥AC，∴AD是△ABC的外角∠CAQ的平分线．
05
课堂小结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
06
板书设计
14.3角的平分线(第2课时)
角平分线的判定：
Thanks!
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