资源简介

(共26张PPT)
第25章 一元二次方程
25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
（人教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元
二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际
问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去
不合理方程根
经历“情境观察一分析动态变化—提炼等量关系一归纳通用模型—
变式应用巩固”的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提
升分析连续变化数量关系的能力.
通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在
模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用
意识与探究信心。
02
新知导入
我们在新闻里经常看到传染病传播的报道，比如流感、诺如病毒，它们的传播速度非常快. 大家有没有想过：为什么一个人得病，很快就会有一群人被传染？ 这里面隐藏着什么数学规律？让我们一起探讨吧！
03
新知讲解
探究1
某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？
分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人.
第一轮 第二轮
每轮平均1个人传染人的数量
被传染的总人数
x
1+x
x
1+x+x(1+x)
03
新知讲解
探究1
解：列方程
1+x+x(1+x)=121.
解方程，得
x1 =10，x2 = 12 (不合题意，舍去).
因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人.
03
新知讲解
思考
按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？
由此体会阻断病毒传播的必要性.
解：两轮后传染121 人，
第三轮每人再传染 10 人：
121+121×10 = 1331
答：经过三轮传染后共有1331人被传染.
03
新知讲解
思考
如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1·x = x (1+x)1
第二轮 1+x (1+x)·x
第三轮
第n轮
(1+x)2
(1+x)2·x
(1+x)n-1
(1+x)n-1·x
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+(1+x)·x =(1+x)2
(1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3
(1+x)n
03
新知讲解
类型 等量关系
病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b，
其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数.
传播问题的解题策略
03
新知讲解
探究2
两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
下降率是下降的成本与前一年成本的比值.
下降率 = ×100%
下降前的量 –下降后的量
下降前的量
下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率）
03
新知讲解
探究2
两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)，
乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) .
显然，乙种食品成本的年平均下降额较大.
但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）.
03
新知讲解
探究2
设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为 元，
两年后甲种食品成本为 元，于是有
解方程，得
根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
思考：为什么选择22.5%作为答案？
因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案.
03
新知讲解
探究2
请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率.
解：设乙种食品年平均下降率为 y .
可列方程：12000 (1 y)2 = 7200
化简得：(1 y)2 = = 0.6 .
直接开平方：1 y = ± .
解得：y1≈ 0.225 ，y2≈ 1.775（舍去） .
所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
03
新知讲解
探究2
请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率.
因为 = 0.6 ， = 0.6
所以甲乙两种食品成本的年平均下降率相等。
x甲 = y乙
03
新知讲解
思考
成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？
03
新知讲解
类型 等量关系
正增长、负增长 a(1+x)n=b，
其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量.
当出现负增长时，x 小于 0.
增长率问题的解题策略
04
课堂练习
1.病毒A是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播.在某市人群密集区，因缺乏必要的预防措施，该病毒零号病人一天能传染x人，统计得到经过两天共有225人患病，求平均每天一人传染了多少人.根据题意，可列方程为（　A　）
A. （1＋x）2＝225 B. 1＋x＋x2＝225
C. 1＋x＋（1＋x）2＝225 D. 1＋2x＝225
A
04
课堂练习
2. 某班级开展“读书分享”接力活动，1名同学先分享给x名同学，第一轮分享结束后，参与分享的同学又每人分享给x名未分享过的同学，两轮分享后，共有49名同学参与分享活动，则x的值满足的方程为（　A　）
A. （1＋x）2＝49 B. x＋x2＝49
C. 1＋x＝49 D. x2＝49
A
04
课堂练习
3. 新能源汽车因节能、环保越来越受消费者的喜爱.某新能源汽车近几年销量逐年增加，2023年销量为95万辆，到2025年销量为120万辆.设年平均增长率为x，则可列方程为（　D　）
A. 95（1－x）2＝120 B. 95（1＋2x）＝120
C. 120（1－x）2＝95 D. 95（1＋x）2＝120
D
04
课堂练习
4. 某类细胞在培养过程中，每个细胞每轮会分裂出相同数量的新细胞.现有一个该类细胞，经过两轮分裂后，细胞总个数达到121.设每轮每个细胞分裂出x个新细胞，则可列方程为 　（1＋x）2＝121，解得每轮每个细胞分裂出 　10　个新细胞.
（1＋x）2＝121　
10　
5. 某新建工业园区今年6月提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计8月将提供岗位1815个.设7月、8月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　1501（1＋x）2＝1815　.
1501（1＋x）2＝1815　
04
课堂练习
6.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2023年实现旅游收入1500万元，2025年该项收入达到2160万元，且从2023年到2025年，每年旅游收入的年增长率相同.
（1） 求旅游收入的年增长率；
解：（1） 设旅游收入的年增长率为x.
依题意，得1500（1＋x）2＝2160，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.
∴ 旅游收入的年增长率为20％
04
课堂练习
（2） 若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2026年的旅游收入为多少万元.
解：（2） 2160×（1＋20％）＝2592（万元）.
∴ 预计2026年旅游收入为2592万元
6.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2023年实现旅游收入1500万元，2025年该项收入达到2160万元，且从2023年到2025年，每年旅游收入的年增长率相同.
05
课堂小结
实际问题与
一元二次方程
传播问题
增长率问题
a(1+x)n=b，
其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量.
当出现负增长时，x 小于 0.
a(1+x)n=b，
其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数.
06
板书设计
25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
1.传播问题：
2.增长率问题：
Thanks!
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