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(共21张PPT)
第25章 一元二次方程
25.2.4一元二次方程的根与系数的关系
（人教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；
掌握定理成立的前提条件（Δ=b -4ac>0）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题.
经历“计算观察一猜想归纳一严谨证明一应用拓展”的探究过程，
提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形
结合、整体代入的数学思想。
在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严
谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的
兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心。
02
新知导入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0).
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
03
新知讲解
思考
观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？
03
新知讲解
思考
(1)公式完全由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数__________构成，无需额外运算即可表示方程的根；
a，b，c
(2)“±”符号决定了方程在有实数根时，通常有两个根x1＝______________，x2＝______________；
(3)通过对两个根进行代数运算，你能得到根与系数有怎样的关系吗？
03
新知讲解
思考
整体上看，两个根分别是“m+n”和“m n”的形式，而且式子“n”中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.
03
新知讲解
思考
因为 ， ，
所以 += +
= ·
=
= ，
=
= .
由此得出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，与其系数a，b，c有如下关系：
+=
=
03
新知讲解
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2.
反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)，
即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 .
由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c .
因此 x1+x2= – ，x1x2= .
03
新知讲解
一元二次方程的根与系数的关系
若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根，
则 x1+x2= – ，x1x2= .
注意事项
（使用前提）
方程先化为一般式，确定 a，b，c .
a ≠ 0
b2–4ac ≥ 0
03
新知讲解
试一试
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；
(3) ； (4) .
4
1
14
12
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
归纳
03
新知讲解
例5
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积：
(1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3).
解：(1) ， .
(2) ，.
(3)方程化为 ，
所以 ，.
03
新知讲解
常见的求值式子如下：
04
课堂练习
1．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么α＋β－αβ的值等于(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
C
2. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )
A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
D
04
课堂练习
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为(　　)
A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
D
C
04
课堂练习
5.关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+，x2=1–，则 p=_____，q=_____.
6.已知方程 5x2+kx–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____.
– 2
– 1
–
– 7
04
课堂练习
7. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4.
（1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值.
解：(1)根据根与系数的关系，得
∴(x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 =
解得 k = -7.
(2)∵ k = -7，∴
则
05
课堂小结
一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系
x1+x2 =﹣
x1x2 =
06
板书设计
25.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系：
Thanks!
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