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(共20张PPT)
第25章 一元二次方程
25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
（人教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.
经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解
→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、
代数建模的能力.
感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服
应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心。
02
新知导入
直角三角形的面积公式是什么？
一般三角形的面积公式又是什么？
S = (a、b为两条直角边长)
S = ah (a为三角形的底，h为这条底对应的高)
正方形的面积公式是什么？
长方形的面积公式又是什么？
正方形的面积 = 边长 × 边长
长方形的面积 = 长 × 宽
02
新知导入
梯形的面积公式是什么？
S = (a为上底，a为下底，h为高)
菱形的面积公式是什么？
平行四边形的面积公式是什么？
圆的面积公式是什么？
① S = ah (a底，h为这条底对应的高)
② S = d1d2 (d1和d2为菱形对角线)
S = ah (a为底边长度，h为这条底边对应的高)
S = πr2 (π为圆周率，r为圆的半径)
03
新知讲解
例1
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有
多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数.
由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2.
解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.
03
新知讲解
例2
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.
设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
03
新知讲解
例2
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m；
再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96.
解方程，得x1=12，x2=8.
因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.
方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
03
新知讲解
思考
对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：
（1）可设一边长为xm，那么其邻边长为m;
（2）可设一边长为（10+x）m，那么其邻边长为（10 x）m.
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点。
03
新知讲解
解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m.
由矩形的周长为 40 m，得
2(x+)=40.
解方程，得 x1= 12，x2=8.
解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m.
由矩形的面积为 96 m2，得
(10+x)(10–x) =40.
解方程，得 x1=2，x2= – 2.
当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m；
当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m.
直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多.
利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果.
03
新知讲解
1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；
2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证.
04
课堂练习
1.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为（　C　）
A. 5x2＝6 B. 5（1＋x2）＝6
C. x（5－x）＝6 D. 5（1＋x）2＝6
C
04
课堂练习
2. 如图①，有一张长80cm，宽50cm的矩形硬纸片，裁去角上四个相同的小正方形之后，折成如图②所示的无盖纸盒.设纸盒的高为xcm.若纸盒的底面积是2800cm2，则x满足的方程是（　D　）
A. （80－x）（50－2x）＝2800
B. （80－x）（50－x）＝2800
C. （80－2x）（50－x）＝2800
D. （80－2x）（50－2x）＝2800
D
04
课堂练习
3. 如图，矩形草坪（涂色部分）的长和宽分别为30m和20m.若将该草坪的长和宽各增加xm，则扩建后的矩形草坪面积为800m2.根据题意，下列方程正确的是（　C　）
A. x2＝800
B. （20－x）（30－x）＝800
C. （20＋x）（30＋x）＝800
D. （20＋x）（30－x）＝800
C
04
课堂练习
4. 把一张面积为5dm2的纸分割成如图所示的正方形和矩形两部分，求正方形的边长.设正方形的边长为xdm，则可列的方程为 　x2＋3x－5＝0　（方程化为一般形式）.
x2＋3x
－5＝0　
04
课堂练习
5. 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的面积.
解：解方程x2－9x＋20＝0，得x1＝4，x2＝5.∵ 等腰三角形的腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，且等腰三角形底边长为8，∴ 当x＝4时，长为4，4，8的三条线段不能组成三角形.∴ 腰长不能为4，只能是5.设底边上的高为h，由勾股定理，得h＝ ＝3，
∴ 底边上的高为3.∴ 三角形的面积为 ×8×3＝12
05
课堂小结
实际问题
数学问题的解
数学问题
ax2+bx+c=0 (a≠0)
实际问题的答案
解方程
检验
设未知数列方程(建模思想)
06
板书设计
25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
列一元二次方程解决实际问题：
Thanks!
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