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专题3-8 抛物线中的八个常考二级结论与秒杀模型
【题型1】OA⊥OB弦AB过定点（2p，0）
【题型2】中点弦问题（点差法）
【题型3】抛物线焦半径角度型公式的应用（重要）
【题型4】焦点弦被焦点分为定比
【题型5】过焦点的直线与准线相交（结合相似）
【题型6】抛物线与圆
【题型7】阿基米德三角形模型（双切线模型）
【题型8】抛物线中的定点与定值问题模型（平移齐次化）
一、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点
则,.
二、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
④以为直径的圆必与准线相切.
⑤若的中点为，则(梯形中位线)
⑥为定值.
三、一般弦长
设为抛物线的弦，，，
（为直线的斜率，且）.
【题型1】OA⊥OB弦AB过定点（2p，0）
若恒过定点.
（高二上·福建厦门·期中）如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ，AB上一点D的坐标为，则l方程为________
【答案】
【简析】利用二级结论得出AB过定点，再结合D点坐标即可
已知直线与抛物线交于两点，且为原点），则抛物线方程为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合向量垂直的坐标表示求解即得.
【详解】由消去x并整理得：，设，
则，显然，
由，得，即，解得，
所以抛物线方程为.
【题型2】中点弦问题（点差法）
设直线与抛物线相交所得的弦的中点M坐标为，则
证明：设,,代入抛物线方程得，，将两式相减，可得
，整理可得
已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设，，由题意，
因为，在抛物线上，所以，，两式相减得，
，整理得，，
即直线的斜率，
直线的中点为，
，
，
所以直线的方程为，化简得.
故答案为：.

（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得.
【详解】
设，，则，
两式作差得，，
当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；
当时，得．
设线段中点，因为坐标，且过焦点，
所以，
则的斜率，
解得．
故选：A.
直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A． B．2 C．或2 D．以上都不是
【答案】B
【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解.
【详解】设，因为中点的横坐标为，则，
可得，
又由，两式相减得到，可得，
可得，解得或，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以.
已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，得到，，结合“点差法”求得，得到直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得，进而求得抛物线的准线方程．
【详解】设，，弦所在直线方程为，
则，，
也点A，B在抛物线上，可得，
两式相减可得，所以，即，
所以弦所在直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，，
所以，
所以，即，
可得，解得，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
因为都在第一象限，所以，
又因为且，
所以，所以，所以抛物线方程为
（多选）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A．的焦点坐标为 B．是定值
C．是定值 D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得，，，联立化简可判定B、C选项；再利用AB中点在抛物线内可得，结合直线方程可判定D选项.
【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为，即A正确；
设A、B的中点为D，则，易得①，
又②，且③，④，
将③④代入②可得：，
代入①可得，
故B正确，C错误；
所以A、B的中点坐标为，
则直线的方程为：，
令得：，
而位于抛物线内部，即，可得，
则．即D正确.
【题型3】抛物线焦半径角度型公式的应用（重要）
如图，过抛物线焦点F的直角与抛物线交于，两点，直线与x轴夹角为θ，
则较长的焦半径，较短的焦半径，焦点弦，
补充：
【证明】：别过，作x轴的垂线，垂直为H，M，易知AHTP，BMTQ为矩形
在△中，由抛物线定义可得：，
则，解得；
在△中，由抛物线定义可得：，
则，解得
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则 ．
【答案】
【分析】根据二级结论，先求得，再求即可.
【详解】作抛物线的准线，记准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足分别为，
过作轴的垂线，垂足分别为，如下所示：

设，
在△中，由抛物线定义可得：，
则，解得；
在△中，由抛物线定义可得：，
则，解得；
由题可知：，，解得；则.
（23-24高二上·浙江绍兴·期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点A位于第一象限，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，联立直线与抛物线，利用韦达定理结合条件即可求解.
【详解】由，可得焦点，，
设，
，
，，
由题可知直线的斜率存在，可设直线l的方程为，
联立直线与抛物线方程：，
化简整理可得，
由韦达定理可得，故，
解得，且点A位于第一象限，
，
∴的值为．
在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积．
【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示，
设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于，
则，所以直线的倾斜角为，
又，故直线的方程为，
联立，消整理得，即，解得或，
则，，所以，
又原点到直线的距离为，所以，
当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求．
（23-24高二上·江苏南通·期末）已知抛物线的焦点为，圆以为圆心，且过坐标原点．过作斜率为1的直线，与交于点，，与圆交于点，，其中点，均在第一象限，，则 ．
【答案】
【分析】设，圆的半径为，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理求出，再根据结合焦半径公式求解即可.
【详解】由题意，则直线的方程为，
联立，消得，
则恒成立，
设，圆的半径为，
则，
因为，
所以，
即，
所以.
(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
【答案】A、B、C
【详解】如图，F，直线l的斜率为，
则直线方程为y＝，联立得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝p，xB＝p，由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝，|BD|＝＝＝，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点，∴运算结论正确的是A、B、C.
（23-24高二上·江苏常州·期中）（多选）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．为中点
【答案】BCD
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，
由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义可知，，
则为等边三角形，
，则，
设，，由，则，可得 ，
所以 ，
,解得
所以,所以B正确.
，得，A选项错误；
所以,满足,所以C正确.
而,所以D正确.
已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
【答案】16
【简析】设，则
则 ，而，乘“1”即可
（多选）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设过焦点的直线方程为设直线：，，，
联立直线与抛物线方程得消元得，
由韦达定理可得，，所以，
又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确；
由知，解得，
所以，故选项C正确；
，故选项D正确；
故选：BCD.
已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】首先求直线的倾斜角和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，即可求解.
【详解】如图，过点作，
由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由，，所以,即

已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 .
【答案】
【详解】如下图示：

【简析】由结论可知，
故
已知抛物线＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则__________；的最小值为__________.
【答案】，
【解析】（1）
（2）由，
则
（多选）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则中点到轴的距离为4
B．弦的中点的轨迹为抛物线
C．若，则直线的斜率
D．的最小值等于9
【答案】BCD
【分析】
根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，依题意，，解得，
线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；
对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，
由消去x得，，
则，，，
设线段中点坐标为，则，消去可得，
因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；
对于C，显然，由，得，，
由选项B知，有，又，则，，
因此直线的斜率，C正确；
对于D，由选项B知，，
则，
因此，
当且仅当，即时取得等号，D正确.
故选：BCD
（23-24高三上·广东深圳·期末）（多选）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．为中点
【答案】BD
【分析】由抛物线的焦点坐标可求出的值，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，设，根据结合韦达定理，求出的值，求出点的纵坐标，求出，可判断B选项；求出点的纵坐标，求出、，可判断C选项；计算出、，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为抛物线的焦点，则，可得，A错；
对于B选项，如下图所示：
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由A选项可知抛物线的方程为，
设点、，联立可得，，
由韦达定理可得，，
不妨设，由图可知，
，则，
所以，，解得，则，
所以，，B对；
对于C选项，由B选项可知，，
直线的方程为，联立，解得，则，
所以，，
，则，C错；
对于D选项，因为，则为的中点，D对.
(多选)如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A. B. 四边形的面积为100
C. D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得判断A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断D.
【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，
所以，，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，
所以，
故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，当，
即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确.
【题型4】焦点弦被焦点分为定比
圆锥曲线中焦点弦被焦点分成定比
若，则 （注：抛物线默认e=1）
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，，，两点，且，则　 　；若直线与抛物线相交于，两点，满足，则　　．
【解答】解：由已知设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：
，则，
所以由，解得，
所以抛物线的方程为：，
设，，，，
因为，则由抛物线的定义可得：
，即，，
又，，所以，
所以解得，，
所以，
故答案为：2，．
已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角，根据面积公式即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，过作轴，
则，所以，
同理可得，
因为，，则，
由于，所以，
同时可得，，
因此四边形的面积，解得．
已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则直线过焦点时，最小值为________，直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），________，若中点的横坐标为3，则最大值为_______.
【答案】4，，
【解析】（1）直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，（2）由题可知：，（3）由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立【补充】
【题型5】过焦点的直线与准线相交（结合相似）
一、结合锐角三角函数与相似
二、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即看到准线想到焦点，看到焦点想到准线
已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意画出图形，通过做辅助线，结合特殊角解直角三角形以及抛物线的定义即可求解.
【详解】如图，
分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
分别过点作，垂足分别为，设交轴于点，准线与轴交于点.
由题知的倾斜角为，
所以，从而，
则，
又.
（23-24高二上·湖北武汉·期末）过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，过点作于点，交轴于点，设，结合抛物线定义可得，由表示四边形的面积求出可得答案.
【详解】如图，不妨假定A在第一象限，
过点作于点，过点作于点，交轴于点，
设，则，
所以，，
因为，所以，可得，
，可得，所以，
则四边形的面积为，
解得，即.
故选：A.
（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．4 B． C．或 D．或4
【答案】C
【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值.
【详解】依题意，焦点，准线，设点,，
由得或，
，
当时，，即，则；
当时，，，即，则.
.
综上所述，的值为或.
（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 .
【答案】
【分析】由题设共线，作，垂足分别为，结合抛物线定义及相似比求参数值即可.
【详解】由题设知：共线，且，如下图，
作，垂足分别为，则，
所以，又，则，
所以，即，故.
过抛物线的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，，点D为垂足．若F是AC的中点，且，则（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据题中的几何关系分别求出抛物线与直线的方程，进而联立两个方程，得到关于的一元二次方程，结合可得出答案.
【详解】如图，设准线l与x轴交于点M．由抛物线的定义知．
因为F是线段AC的中点，所以，
所以，得，故抛物线E的方程为.
由，得，（接下来也可以用焦点弦公式）
所以直线AF的斜率，又，所以直线AF的方程为.
联立，消去y并整理，得，
设，，则，
所以.
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ．
【答案】
【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.
【详解】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则 .
【答案】3
【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知，，
设，因为，所以，
∴.
设，所以，所以
已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
【答案】4
【分析】先求出准线方程为，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形中由平行线得比例线段，从而可得，即，从而可得．
【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，
所以，又由定义知，
所以.

已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案.
【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以，
因为， 所以，所以，
解得.

（2023·广东茂名·三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
【答案】
【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，则.
又轴，，所以，
又抛物线，则，所以，（不联立亦可）
所以抛物线，点.
因为，所以直线的斜率，则直线，
与抛物线方程联立，消并化简得，
易得，设点，则，
则，
又直线，可化为，
则点到直线的距离，
所以.
抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则 ， ．

【答案】
【解析】由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，
由得，
设准线交轴于点，则，且，且，所以
，所以．
【题型6】抛物线与圆
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
（多选）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切
D．直线的斜率之积为定值
【答案】ACD
【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，
因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A正确；
对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误；
对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，
过点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确；
对于D中，设，联立方程组，
整理得，可得，则，
所以D正确.
故选：ACD.

（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.
【详解】
由题，焦点，设直线,
联立，
，
，
同理可得，，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记中点，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记中点，
则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.
（多选）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B．直线过焦点时，的最小值为6
C．若坐标原点为，且，则直线过定点
D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
【答案】ABD
【分析】对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设方程为，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于C：设方程为，设，，联立方程，根据垂直关系可得，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线在点处的切线方程为，根据切线方程求交点坐标，结合选项B分析判断.
【详解】对于选项A：如图1，设中点为，分别过点向准线作垂线，垂足为，

则由抛物线的定义可得，，.
因为中点为，所以有，
所以以为直径的圆与的准线相切，故A正确；
对于选项B：由抛物线，可得，
由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，
联立直线与抛物线的方程，消去x可得，
则恒成立。
可得，，
则，
所以
当且仅当时，取到最小值6，故B正确；
对于选项D：先证抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，消去x得，
可知方程组只有一个解，即直线与抛物线相切，
可知抛物线在点处的切线方程分别为，，
联立方程，解得，即点，
结合选项B可得：，
所以点在抛物线的准线上，故D正确；
对于选项C：由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，，
则，，
若，则，解得或（舍去），
联立直线与抛物线的方程，消去x可得，
则，解得，
此时，符合题意，
所以，则直线过定点，故C错
（多选）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为.
B．周长的最小值为.
C．当最大时，直线的方程为.
D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.
【答案】BD
【分析】A选项：通过抛物线方程计算可得；
B选项：运用抛物线定义，将转换为到准线的距离即可求出周长最小值；
C选项：将最大问题，转换为的最大值问题，再讨论；
D选项：结合A选项得到的结论，判断四边形的面积最小时点坐标.
【详解】对于A选项，设，则，
当且仅当时取等号，此时或，所以，
，故A选项错误；
对于B选项，抛物线的准线方程为，如图1，过作准线的垂线，垂足记为，
则，当且仅当三点共线时，取得最小值，
即，此时，
又，所以周长的最小值为，故B选项正确；
对于C选项，如图2，当与圆相切时，且时，取最大．
连接，，由于，，
，所以，可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故C选项错误；
对于D选项，如图3，连接，，
由A选项知，，且当或时，，
此时四边形的面积最小，的横坐标是1，所以D选项正确，
故选：BD．

【题型7】阿基米德三角形模型（双切线模型）
一、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB
性质2：MA⊥MB
性质3：MN∥x轴
性质4：S△ABM最小值为p
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点
②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
二、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．
【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线
记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略
【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.
设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标
【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.
【性质5】，
已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】A
【分析】设，利用导数的几何意义可得直线与直线的方程，进而得到点的坐标，结合点在直线上，得，即,根据数量积的坐标运算化简后即可得解．
【详解】设，由求导得，
则直线方程为，即，
同理可得直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得，
由点在直线上，得，即
故选：A．
已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，
设，
由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设，
联立方程，整理得，
由直线与抛物线相切可得，解得，所以，
又因为在直线上，所以有，同理可得，
若，则，即的直线方程为，则到的距离为1；
若，则，两式联立消，可得，所以，
所以，整理得，
所以到直线距离，
综上可得，即原点到直线距离的最大值为.
故选：D.
设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【简析】因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，
又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
【答案】
【简析】如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB，
所以
当且仅当时取等
已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答.
【详解】抛物线的准线为，设点，对函数，直线的方程为，即，亦即，
同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，
因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值.
已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
【答案】2
【简析】因为AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在准线上，且PM⊥准线，PF⊥⊥AB
故
（多选题）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（ ）
A．点在抛物线的准线上 B．
C． D．若，则的值为
【答案】ACD
【详解】由题意知，故l：，与抛物线联立，可得，则，
设，，则．对于A，由抛物线可得，所以直线的斜率，则直线的方程为，同理可得直线的方程为，联立解得．
又，故点P在抛物线的准线上，故A正确；对于B， ，故，故B错误；对于C，直线l的方程为，则，直线的方程为，
可得所以，故则FQ⊥BQ，故C正确；
对于D，由，直线l的方程为，与抛物线联立可得，解得，则，则，得，故D正确．
（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景 丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则点处的切线方程为
C．存在点，使得
D．面积的最小值为4
【答案】ABD
【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得，得到切点坐标，得出切线方程，进而可判定B正确；由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，可判定C错误；由过点的切线方程为，结合弦长公式，得到，可D正确.
【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得，
再设，则，所以A正确；
对于B中，由抛物线.可得，则，
则过点的切线斜率为，且，即，
则切线方程为：，即，
若时，则过点的切线方程为：，所以B正确；
对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，即，所以C错误；
对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为，
联立直线的方程可得，
所以，
，
，
则，当时，有最小值为，所以D正确.
（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4
【答案】ABD
【详解】对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.
对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.
对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，
故：，故. 故选项C不正确.
对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确
（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．以为直径的圆过点
【答案】ACD
【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4
第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确
，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对
附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线.若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，
设、，由可知为的中点，
所以，且，，
由可得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，
联立可得，所以，，
对函数求导可得，
所以，切线的方程为，即，
同理可知，切线的方程为，
联立可得，即点，
易知抛物线的焦点为，所以，，A对；
因为直线过点，所以，，B错；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，且为的中点，所以，，
因此，以为直径的圆过点，故D正确.
（多选）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．
C．当时， D．
【答案】ABD
【分析】求出的值，可得出抛物线的方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；计算出直线、的斜率之和，可判断D选项.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线的准线上，则，可得，
所以抛物线的方程为，A对；
对于B选项，抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立，可得，，则，
所以，B对；
对于C选项，因为，即，则，
因为，可得，
则，则，
此时，
，C错；
对于D选项，，同理可得，
所以
，
所以，D对.
过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
【答案】.
【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆点与圆相切时斜率取到最值
【常规法详解】设，不妨设，
由，可得，可得，则，
可得切线的方程为
因为点在直线上，可得，
同理可得：，
所以直线的方程为，可得直线过定点，
又因为在直线上的射影为，可得且，
所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，
当与相切时，
由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得切线方程为，则，解得或，
所以实数的范围为.
故答案为：.

（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
【答案】BD
【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.
【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．

【题型8】抛物线中的定点与定值问题模型（平移齐次化）
常见定点问题与定值问题的常见条件有数量积为定值，斜率和或积为定值，其中数量积可以化为坐标运算再代入韦达定理，斜率和积为定值时可以考虑平移齐次化来解决定点问题.
1、过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点
2、过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点
以上称为手电筒模型，注意点P不在曲线上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1 ”
【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移）
Step1：平移点P到原点，写出平移后的曲线方程，设出直线方程，并齐次化处理
Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，
Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!
（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 .
【答案】1
【分析】设出直线的方程，把直线与抛物线联立，表示出，运用韦达定理即可.
【详解】设直线：，，，则，
所以，，，，
，所以，
则直线：，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1.
已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且kPM kPN＝，证明：直线MN过定点.
答案：（2）（9，﹣2）
【简析】将点P移到原点，抛物线与所有点和线跟着平移，再设平移后的直线MN，然后齐次化，同除x ，得出两根之积为，从而求出直线MN中的参数.
在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，
【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；
（2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.
【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,
则有 所以, 故的方程为.
法二设的坐标为则有,所以.
即, 所以的方程为.
（2）法一设方程为，因为，所以，即.
所以，即；
由得，所以.
所以，即，所以；
所以方程为，故恒过定点.
法二设，因为，所以；
所以，所以.所以的方程为，整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设点作差再结合中点坐标和斜率值即可得到答案.
（2）设点计算出，，则得到，再将直线与抛物线联立得到韦达定理式再整体代入即可.
【详解】（1）设，则有，
①②得③
均在直线上，，又中点为，则有，
代入③有抛物线的标准方程为.
由题意知，设，同理有，
④
联立直线与抛物线，易得，则有，代入④式有.
已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题可知，求解即可得到抛物线的方程；（2）先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点.
【详解】（1）由题可知，解得.所以的标准方程为；
（2）由（1）知，，且，解得，所以.
设，则，同理可得，，
则，即.
当直线斜率存在时，直线的方程为，整理得.
所以，即，所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，可得.
综上，直线过定点.
已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值．
【答案】(1);(2)
【分析】（1）设的直线方程为：，，， 联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解；
（2）先求出点的坐标，设的直线为，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用斜率公式化简整理即可得解.
【详解】（1）当直线的斜率为0时不成立，设的直线方程为：，，，
联立，消去x得，则恒成立，故，
又，，故，
又，则，故，解得，
故抛物线E的方程是；
（2）因为，在抛物线上，故，则，
当直线的斜率为0时不成立，设的直线为，，，
联立，消去x得：，则，，
因为，，
则，
故的值为．
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专题3-8 抛物线中的八个常考二级结论与秒杀模型
【题型1】OA⊥OB弦AB过定点（2p，0）
【题型2】中点弦与斜率秒杀公式（点差法）
【题型3】焦半径与焦点弦角度型秒杀公式（重要）
【题型4】焦点弦被焦点分为定比的秒杀公式
【题型5】过焦点的直线与准线相交（结合相似）
【题型6】抛物线与圆
【题型7】阿基米德三角形模型秒杀结论（双切线模型）
【题型8】妙解抛物线中的定点与定值问题（平移齐次化模型）
一、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点
则,.
二、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
④以为直径的圆必与准线相切.
⑤若的中点为，则(梯形中位线)
⑥为定值.
三、一般弦长
设为抛物线的弦，，，
（为直线的斜率，且）.
【题型1】OA⊥OB弦AB过定点（2p，0）
若恒过定点.
如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ，AB上一点D的坐标为，则l方程为________
已知直线与抛物线交于两点，且为原点），则抛物线方程为 .
【题型2】中点弦问题（点差法）
设直线与抛物线相交所得的弦的中点M坐标为，则
证明：设,,代入抛物线方程得，，将两式相减，可得
，整理可得
已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A． B．2 C．或2 D．以上都不是
已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
（多选）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A．的焦点坐标为 B．是定值
C．是定值 D．
【题型3】焦半径与焦点弦角度型公式的应用（重要）
如图，过抛物线焦点F的直角与抛物线交于，两点，直线与x轴夹角为θ，
则较长的焦半径，较短的焦半径，焦点弦，
补充：
【证明】过，作x轴的垂线，垂直为H，M，得到矩形，易知AF=AP=TH，
由抛物线定义可得：，
即
则，同理得
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则 ．
倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点A位于第一象限，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ．
已知抛物线的焦点为，圆以为圆心，且过坐标原点．过作斜率为1的直线，与交于点，，与圆交于点，，其中点，均在第一象限，，则 ．
(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
（多选）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．为中点
已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
（多选）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A． B．
C． D．
已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 .
已知抛物线＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则__________；的最小值为__________.
（多选）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则中点到轴的距离为4
B．弦的中点的轨迹为抛物线
C．若，则直线的斜率
D．的最小值等于9
（多选）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．为中点
(多选)如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A. B. 四边形的面积为100
C. D. 的取值范围为
【题型4】焦点弦被焦点分为定比
圆锥曲线中焦点弦被焦点分成定比
若，则 （注：抛物线默认e=1）
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，，，两点，且，则　 　；若直线与抛物线相交于，两点，满足，则　　．
已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ．
已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则直线过焦点时，最小值为________，直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），________，若中点的横坐标为3，则最大值为_______.
【题型5】过焦点的直线与准线相交（结合相似）
一、结合锐角三角函数与相似
二、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即看到准线想到焦点，看到焦点想到准线
已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．4 B． C．或 D．或4
已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 .
过抛物线的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，，点D为垂足．若F是AC的中点，且，则（ ）
A．4 B． C． D．3
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ．
已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则 .
已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ．
已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则 ， ．

【题型6】抛物线与圆
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
（多选）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切
D．直线的斜率之积为定值
（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
（多选）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B．直线过焦点时，的最小值为6
C．若坐标原点为，且，则直线过定点
D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
（多选）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为.
B．周长的最小值为.
C．当最大时，直线的方程为.
D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.
【题型7】阿基米德三角形模型（双切线模型）
一、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB
性质2：MA⊥MB
性质3：MN∥x轴
性质4：S△ABM最小值为p
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点
②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
二、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．
【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线
记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略
【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.
设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标
【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.
【性质5】，
已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．3
已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
（多选题）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（ ）
A．点在抛物线的准线上 B．
C． D．若，则的值为
（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景 丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则点处的切线方程为
C．存在点，使得
D．面积的最小值为4
（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4
（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．以为直径的圆过点
（多选）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．
C．当时， D．
过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
【题型8】抛物线中的定点与定值问题模型（平移齐次化）
常见定点问题与定值问题的常见条件有数量积为定值，斜率和或积为定值，其中数量积可以化为坐标运算再代入韦达定理，斜率和积为定值时可以考虑平移齐次化来解决定点问题.
1、过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点
2、过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点
以上称为手电筒模型，注意点P不在曲线上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1 ”
【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移）
Step1：平移点P到原点，写出平移后的曲线方程，设出直线方程，并齐次化处理
Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，
Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!
已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 .
已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且kPM kPN＝，证明：直线MN过定点.
在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求．
已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.
已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值．
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