资源简介

2.2求解一元二次方程（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2-3x-1=0，
2x2-3x=1，
故答案为：C.
【分析】化二次项系数为1后，把常数项右移，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方.
2．用配方法解方程，配方后的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
在方程两边同时除以，得：，即，
配方，得：，
即．
故选：D．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：步骤一：移项 ；步骤二：化二次项系数为1 步骤三：配方 取一次项系数的一半，算出这个数的一半是多少，再把这个一半平方，得到一个数。把这个平方数同时加到等号的左边和右边。这时等号的左边就是一个完全平方式，可以写成"x加（或减）某个数"的整个平方的形式。 步骤四：开平方； 步骤五：求解。
3．用配方法解一元二次方程 得 ，则m+n的值为（　　)。
A．11 B．3 C．-11 D．-3
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-8x+9=0，
(x-4)2=7，
∴m=-4，n=7，
∴m+n=3.
故答案为：B.
【分析】根据配方法对配方，得(x-4)2=7，经过对比得m、n的值，再代入 m+n 求值.
4．小明运用配方法解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（　　）
2x2-4x=1
解： x2-2x=1， ①
x2 - 2x+1=1+1，即（x-1)2=2， ②
③
④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 2x2-4x=1 两边同时除以2，可得x2-2x=，
∴步骤①错误；
故答案为：A.
【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
5． 如果 ， 那么 的值分别为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
【分析】将完全平方式展开后，二次项，一次项和常数项的系数相同，即可求得.
6．解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）采用配方法，先移项将常数项移到右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式 ，最后开方求解，得到两个根 和 。
（2）采用公式法，先确定方程中 ，，，计算判别式 ，再代入求根公式 ，解得 和 。
（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
7．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
移项得，，
配方得，即，
∴，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
∴或，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
移项得，，
配方得，即，
∴，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
∴或，
解得，．
8．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：；
因式分解为：（3x-1）（x+3）=0
∴，
（2）解：
，
即（x-2）2=3，
∴x-2=±，
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）运用配方法即可解方程。
9． 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
（1）小北同学选用了　 　（填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第　 　步开始出现错误．
（2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
【答案】（1）配方法；②
（2）（2）解：，
，
或，
，，
故答案为：，.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 北同学将方程x2-4x-5=0先变形为x2-4x=5，然后试图将左边配成完全平方式，这种做法符合配方法解一元二次方程的特征，所以小北同学选用了配方法；从小北同学的解法，先将常数项移到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，所以第②步出现错误；
【分析】(1)根据小北同学的解一元二次方程的步骤可知方法，按配方法的步骤即可判断小北同学的错误；
（2）选择合适的方法解一元二次方程.
二、巩固提升
10．已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据配方法的步骤进行配方，再根据的形式 进行比较，得到m，n的值，进而即可求解．
11．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：班长：，
甲：两边同除以3，得，正确，
乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误，
∴开始出现错误的是对应选项为B．
故答案为：B.
【分析】根据配方法接一元二次方程的步骤判断甲、乙、丙、丁的计算解答即可．
12．一元二次方程 经过配方可变形为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0
x2-4x=1.
x2-4x+4=1+4，
整理得(x-2)2=5
故答案为：B.
【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果.
13．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　）。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：A.
【分析】将整理得，配方得.
14．用配方法解方程. 配方正确的是（　　）。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
，
故答案为：A.
【分析】根据=作答.
15．把方程 化为 的形式， 则 的值是(　　)
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，即，
∴ m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据配方法将一元二次方程进行变形即可求得.
16．定义：关于x的一元二次方程： m、n是常数， 与 m、n是常数， 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 与 (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 的最小值是　 　．
【答案】2026
【知识点】解二元一次方程组；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：由“同族二次方程"定义，方程ax2+bx+5=0可写为a(x-1)2+1=0，
展开得ax2-2ax+a+1=0，与ax2+bx+5=0比较系数，
得，解得a=4，b=-8
∴ax2-bx+2030=4x2+8x+2030=4(x+1)2+2026，
∵(x+1)2≥0，
∴最小值为2026.
故答案为：2026.
【分析】根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值.
17．用配方法解方程：
解：方程的两边同除以2，并将常数项移项，得　 　
方程的两边同加上　 　，得 + 　 　=-1+　 　即　 　=　 　，解得 　 　；　 　
【答案】y2-y=-1；；；；；；2；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程的两边同除以2，并将常数项移项，得y2-y=-1
方程的两边同加上，得 + =-1+ ，
即 = ，解得 2；
故答案为：y2-y=-1； ； ； ； ； ；2； .
【分析】先将二次项系数化为1并移项，再通过配方将方程转化为完全平方形式，最后开平方求解.
18．用配方法解方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
，
，
，
解得
（3）解：，
，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对配方得，开平方求解即可；
（2）对配方得，开平方求解即可；
（3）对配方得，开平方求解即可.
19．解下列方程：
（1）
（2）3x(x1)=22x
（3）x(2x4)=58x.
【答案】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：3x(x-1)=2-2x，
，
，
，
，
，
；
（3）解： x(2x4)=58x ，
，
，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）等式两边同时除以3，再直接开平方，根据有理数的加减混合运算计算即可；
（2）先去括号，移项，合并同类项，将二次项系数化为1，再配方，直接开平方计算即可；
（3）先去括号，移项，合并同类项，将二次项系数化为1，再配方，根据二次根式的加减混合运算计算即可.
20．阅读与思考
小明同学解一元二次方程的过程如下：
解：移项，得
两边同除以2，得
配方，得
即
∴x-2=3或x-2=-3⑤
∴x1=5，x2=-1⑥
（1）小明解方程的方法是（　　）.（填字母）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法.
（2）他的求解过程从步骤　 　（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程.
【答案】（1）B
（2）③
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)由题意可知，小明解方程的方法是配方法；
故答案为：B.
(2)他的求解过程从步骤③开始出现错误，
正确的解析过程如下：
2x2-8x-18=0.
2x2-8x=18，
x2-4x=9
x2-4x+4=13
(x-2)2=13
∴或
∴，.
故答案为：③.
【分析】 (1)运用配方法求解即可；
(2)检验配方过程需确保等式两边平衡，左边加常数时右边同步加相同常数，再根据配方法即可求解.
1 / 12.2求解一元二次方程（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，配方后的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程 得 ，则m+n的值为（　　)。
A．11 B．3 C．-11 D．-3
4．小明运用配方法解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（　　）
2x2-4x=1
解： x2-2x=1， ①
x2 - 2x+1=1+1，即（x-1)2=2， ②
③
④
A．① B．② C．③ D．④
5． 如果 ， 那么 的值分别为(　　)
A． B． C． D．
6．解方程
（1）；
（2）．
7．解方程：
（1）
（2）
8．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）
9． 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
（1）小北同学选用了　 　（填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第　 　步开始出现错误．
（2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
二、巩固提升
10．已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为　 　．
11．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．一元二次方程 经过配方可变形为（　　)
A． B． C． D．
13．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　）。
A． B． C． D．
14．用配方法解方程. 配方正确的是（　　）。
A． B． C． D．
15．把方程 化为 的形式， 则 的值是(　　)
A．2 B．1 C．-1 D．-2
16．定义：关于x的一元二次方程： m、n是常数， 与 m、n是常数， 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 与 (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 的最小值是　 　．
17．用配方法解方程：
解：方程的两边同除以2，并将常数项移项，得　 　
方程的两边同加上　 　，得 + 　 　=-1+　 　即　 　=　 　，解得 　 　；　 　
18．用配方法解方程：
（1）
（2）
（3）
19．解下列方程：
（1）
（2）3x(x1)=22x
（3）x(2x4)=58x.
20．阅读与思考
小明同学解一元二次方程的过程如下：
解：移项，得
两边同除以2，得
配方，得
即
∴x-2=3或x-2=-3⑤
∴x1=5，x2=-1⑥
（1）小明解方程的方法是（　　）.（填字母）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法.
（2）他的求解过程从步骤　 　（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2-3x-1=0，
2x2-3x=1，
故答案为：C.
【分析】化二次项系数为1后，把常数项右移，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方.
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
在方程两边同时除以，得：，即，
配方，得：，
即．
故选：D．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：步骤一：移项 ；步骤二：化二次项系数为1 步骤三：配方 取一次项系数的一半，算出这个数的一半是多少，再把这个一半平方，得到一个数。把这个平方数同时加到等号的左边和右边。这时等号的左边就是一个完全平方式，可以写成"x加（或减）某个数"的整个平方的形式。 步骤四：开平方； 步骤五：求解。
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-8x+9=0，
(x-4)2=7，
∴m=-4，n=7，
∴m+n=3.
故答案为：B.
【分析】根据配方法对配方，得(x-4)2=7，经过对比得m、n的值，再代入 m+n 求值.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 2x2-4x=1 两边同时除以2，可得x2-2x=，
∴步骤①错误；
故答案为：A.
【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
【分析】将完全平方式展开后，二次项，一次项和常数项的系数相同，即可求得.
6．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）采用配方法，先移项将常数项移到右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式 ，最后开方求解，得到两个根 和 。
（2）采用公式法，先确定方程中 ，，，计算判别式 ，再代入求根公式 ，解得 和 。
（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
7．【答案】（1）解：，
移项得，，
配方得，即，
∴，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
∴或，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：，
移项得，，
配方得，即，
∴，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
∴或，
解得，．
8．【答案】（1）解：；
因式分解为：（3x-1）（x+3）=0
∴，
（2）解：
，
即（x-2）2=3，
∴x-2=±，
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）运用配方法即可解方程。
9．【答案】（1）配方法；②
（2）（2）解：，
，
或，
，，
故答案为：，.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 北同学将方程x2-4x-5=0先变形为x2-4x=5，然后试图将左边配成完全平方式，这种做法符合配方法解一元二次方程的特征，所以小北同学选用了配方法；从小北同学的解法，先将常数项移到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，所以第②步出现错误；
【分析】(1)根据小北同学的解一元二次方程的步骤可知方法，按配方法的步骤即可判断小北同学的错误；
（2）选择合适的方法解一元二次方程.
10．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据配方法的步骤进行配方，再根据的形式 进行比较，得到m，n的值，进而即可求解．
11．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：班长：，
甲：两边同除以3，得，正确，
乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误，
∴开始出现错误的是对应选项为B．
故答案为：B.
【分析】根据配方法接一元二次方程的步骤判断甲、乙、丙、丁的计算解答即可．
12．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0
x2-4x=1.
x2-4x+4=1+4，
整理得(x-2)2=5
故答案为：B.
【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果.
13．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：A.
【分析】将整理得，配方得.
14．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
，
故答案为：A.
【分析】根据=作答.
15．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，即，
∴ m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据配方法将一元二次方程进行变形即可求得.
16．【答案】2026
【知识点】解二元一次方程组；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：由“同族二次方程"定义，方程ax2+bx+5=0可写为a(x-1)2+1=0，
展开得ax2-2ax+a+1=0，与ax2+bx+5=0比较系数，
得，解得a=4，b=-8
∴ax2-bx+2030=4x2+8x+2030=4(x+1)2+2026，
∵(x+1)2≥0，
∴最小值为2026.
故答案为：2026.
【分析】根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值.
17．【答案】y2-y=-1；；；；；；2；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程的两边同除以2，并将常数项移项，得y2-y=-1
方程的两边同加上，得 + =-1+ ，
即 = ，解得 2；
故答案为：y2-y=-1； ； ； ； ； ；2； .
【分析】先将二次项系数化为1并移项，再通过配方将方程转化为完全平方形式，最后开平方求解.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
，
，
，
解得
（3）解：，
，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对配方得，开平方求解即可；
（2）对配方得，开平方求解即可；
（3）对配方得，开平方求解即可.
19．【答案】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：3x(x-1)=2-2x，
，
，
，
，
，
；
（3）解： x(2x4)=58x ，
，
，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）等式两边同时除以3，再直接开平方，根据有理数的加减混合运算计算即可；
（2）先去括号，移项，合并同类项，将二次项系数化为1，再配方，直接开平方计算即可；
（3）先去括号，移项，合并同类项，将二次项系数化为1，再配方，根据二次根式的加减混合运算计算即可.
20．【答案】（1）B
（2）③
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)由题意可知，小明解方程的方法是配方法；
故答案为：B.
(2)他的求解过程从步骤③开始出现错误，
正确的解析过程如下：
2x2-8x-18=0.
2x2-8x=18，
x2-4x=9
x2-4x+4=13
(x-2)2=13
∴或
∴，.
故答案为：③.
【分析】 (1)运用配方法求解即可；
(2)检验配方过程需确保等式两边平衡，左边加常数时右边同步加相同常数，再根据配方法即可求解.
1 / 1

展开更多......

收起↑