资源简介

2.2求解一元二次方程（4）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．下列是一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程(x-1)(x-3)=0的两个实数根分别为（　　）
A． B． C． D．
3．方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
4．方程的根是(　　)
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的解为（　　）
A． B． C．或 D．或
6．一元二次方程 的根为　 　．
7．一元二次方程的解为 　 　．
8．解方程：
（1）
（2）
9．解下列方程：
（1）
（2）
二、巩固提升
10．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 m=　 　.
11．已知，则　 　．
12．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
13．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24或 B．24 C． D．或24
14．方程：的解是（ ）
A． B． C．， D．
15．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有 如 25-4=21. 若 (m为实数)是关于x的方程，且x=2是这个方程的一个根，则m的值是　 　.
16．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 　 　．
17．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是　 　．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．解下列方程：
（1）（配方法解）；
（2）（公式法）；
（3）.
三、能力应用
20．请阅读下列材料：
已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以，
把代入已知方程，得
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
（1）已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　；
（2）已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程的两根.
21．阅读材料，并解决问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x-35=0变形为x（x+2）=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22=4×35+4.因此，可得新方程（x+x+2）2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2-4x-12=0（x＞0）的正确构图是　 　.（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（　 　）=1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程　 　，解得原方程的一个根为　 　；
【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a= 　 　，b= 　 　，求得方程的正根为　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
即或，
∴方程的解为．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 两个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0，
∴ 由 可得 或 ，
分别求解得 或 ，
即方程的两个实数根为 ，。
故答案为：A
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，核心是利用“若两个整式的乘积为0，则每个整式都可能为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过求解一元一次方程得到原方程的根。
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为：C．
【分析】考查一元二次方程的求解方法，重点是因式分解法的灵活运用。观察方程结构可知，等式两边均含有因式，因此首先通过移项将所有项移到等式左边，得到，再提取公因式进行因式分解，转化为。根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别令两个因式等于0，即可求出方程的两个根。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
故选：C．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴，，
故选：D．
【分析】移项，再用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．
6．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用因式分解法求解可得。
8．【答案】（1）解：【法1】(x-4)(x-2)=0
x-4=0或x-2=0
【法2】a=1，b=-6，c=8
【法3】x2-6x+9=1
(x-3)2=1
x-3=±1
x=3±1
x1=4， x2=2
（2）解：【法1】(x+1)(x+3)=0
x+1=0或x+3=0
x1=-1， x2=-3
【法2】x2+4x+3=0
a=1，b=4，c=3
【法3】x2+4x+3=0
(x+2)2=1
x+2=±1
x=-2±1
x1=-1， x2=-3
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法或公式法解方程，即可求出方程的解；
（2）可以根据提取公因式把方程左边进行因式分解，解方程或者首先把原方程化为一般形式，然后用公式法解方程。
9．【答案】（1）解：，
开平方，得，
解得，；
（2）解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程，直接开平方法即可解一元二次方程；
（2）先移项，然后因式分解将原式变形得到，此时即可得出答案。
（1）解：，
开平方，得，
即，；
（2），
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
10．【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件；同类二次根式；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由题意可得：
m2-3=5m+3，且m2-3>0，5m+3>0
解得：m=6或m=-1，且或，
∴m=6
故答案为：6
【分析】根据最简二次根式定义，结合二次根式有意义的条件即可求出答案.
11．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
则或，
∴或（舍去）；
∴．
故答案为：5．
【分析】设，则原方程换元为，解方程可得：或（舍去）；进一步即可得出．
12．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：设，则新方程化为，
∵方程的解为，，
∴或，
解得或，
∴新方程的解为，．
故答案为：B．
【分析】本题通过设进行整体代换，将新方程转化为与原方程形式相同的方程。由原方程的解可知，，代回得到或，从而求出新方程的解。
13．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
∴或，
解得：，
当时，
∵，
∴不能构成三角形，
∴不合题意，舍去，
当时，
∵，
∴能构成三角形，
此时该三角形的三边长为：，
∵，
∴该三角形是直角三角，直角边为和，
∴该三角形的面积是，
故答案为：B．
【分析】先求出一元二次方程的根，再利用三角形三边的关系判断求出第三边的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
14．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
（x+5）(x-5)=0，
解得：，，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法（平方差公式）进行解方程即可.
15．【答案】0或-4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】
解：∵
∴
∵x=2是这个方程的一个根
∴解得m=0或-4
故答案为：0或-4
【分析】先根据新定义计算将转化为，再根据方程根的定义把x=2代入方程计算可得m的值，解答即可.
16．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程变形为，
∴此方程可看作关于的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于的一元二次方程有一个根为，
解得．
故答案为：2023．
【分析】移项，把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，由题意可得，解方程即可求出答案.
17．【答案】7或8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
解得，，
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为；
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为．
故答案为：7或8.
【分析】先求出方程的解，再分类讨论：①当腰长为，底边长为时，②当腰长为，底边长为时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
或，
，.
（2）解：，
，
，
或，
或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）把移项得，进一步整理得或，求解即可.
（）把两边除以得，再直接开平方得或，进一步求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
，
∴，
即或，
∴或．
19．【答案】（1）x2-4x=-2，
x2-4x+4=-2+4，
，
x-2=± ，
∴；
（2）中，
>0，
∴，∴，；
（3）方程变形为 ，
，
.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）根据题意先配方，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意得到>0，再根据求根公式即可求解；
（3）根据题意运用提公因式法因式分解，进而即可求解。
20．【答案】（1）y2 y 2＝0
（2）解：设所求方程的根是y，则，所以，
把代入方程，得，
化简得：.
（3）解：一元二次方程整理后可得：，
∵令y-1=x，
∴y=x+1，
∴方程的两根比两根大1，
∴方程的两根分别是4、-1.
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：设所求方程的根是y，则y＝ x，
所以：x＝ y，
由条件可得：y2 y 2＝0，
故答案为：y2 y 2＝0.
【分析】（1）设所求方程的根是y，则y＝ x，再将其代入原方程即可；
（2）设所求方程的根是y，则，所以，再将代入方程化简即可；
（3）令y-1=x，可得方程的两根比两根大1，再求解即可.
21．【答案】②；x+；（x+x+）2=4×1+（）2；；±2；3；1或3
【知识点】完全平方公式及运用；解一元二次方程的其他方法
【解析】 【解答】解：【理解应用】∵x2-4x-12=0
∴x(x-4)=12
∴很容易观察出构图是②
故答案为：②
【类比迁移】由题意可得：
第一步：将原方程变形为，即
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程
解得解得原方程的一个根为x=
故答案为：x+；（x+x+）2=4×1+（）2；
【拓展应用】∵x2+ax=b
∴x(x+a)=b
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是(x+x+a)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×4×b+a2
∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4
∴b=3，a2=4
解得：b=2，a=±2
当a=2时，(x+x+2)2=4×3+4，2x+2=4，x=1，方程的一个正根为1
当a=-2时，(x+x-2)2=4×3+4，2x-2=4，x=3，方程的一个正根为3
综上所述，方程的一个正根为1或3
故答案为：±2，3，1或3
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（3）根据题意即可求出答案.
1 / 12.2求解一元二次方程（4）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．下列是一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
即或，
∴方程的解为．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
2．一元二次方程(x-1)(x-3)=0的两个实数根分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 两个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0，
∴ 由 可得 或 ，
分别求解得 或 ，
即方程的两个实数根为 ，。
故答案为：A
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，核心是利用“若两个整式的乘积为0，则每个整式都可能为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过求解一元一次方程得到原方程的根。
3．方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为：C．
【分析】考查一元二次方程的求解方法，重点是因式分解法的灵活运用。观察方程结构可知，等式两边均含有因式，因此首先通过移项将所有项移到等式左边，得到，再提取公因式进行因式分解，转化为。根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别令两个因式等于0，即可求出方程的两个根。
4．方程的根是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
故选：C．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
5．一元二次方程的解为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴，，
故选：D．
【分析】移项，再用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．
6．一元二次方程 的根为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
7．一元二次方程的解为 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用因式分解法求解可得。
8．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：【法1】(x-4)(x-2)=0
x-4=0或x-2=0
【法2】a=1，b=-6，c=8
【法3】x2-6x+9=1
(x-3)2=1
x-3=±1
x=3±1
x1=4， x2=2
（2）解：【法1】(x+1)(x+3)=0
x+1=0或x+3=0
x1=-1， x2=-3
【法2】x2+4x+3=0
a=1，b=4，c=3
【法3】x2+4x+3=0
(x+2)2=1
x+2=±1
x=-2±1
x1=-1， x2=-3
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法或公式法解方程，即可求出方程的解；
（2）可以根据提取公因式把方程左边进行因式分解，解方程或者首先把原方程化为一般形式，然后用公式法解方程。
9．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
开平方，得，
解得，；
（2）解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程，直接开平方法即可解一元二次方程；
（2）先移项，然后因式分解将原式变形得到，此时即可得出答案。
（1）解：，
开平方，得，
即，；
（2），
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
二、巩固提升
10．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 m=　 　.
【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件；同类二次根式；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由题意可得：
m2-3=5m+3，且m2-3>0，5m+3>0
解得：m=6或m=-1，且或，
∴m=6
故答案为：6
【分析】根据最简二次根式定义，结合二次根式有意义的条件即可求出答案.
11．已知，则　 　．
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
则或，
∴或（舍去）；
∴．
故答案为：5．
【分析】设，则原方程换元为，解方程可得：或（舍去）；进一步即可得出．
12．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：设，则新方程化为，
∵方程的解为，，
∴或，
解得或，
∴新方程的解为，．
故答案为：B．
【分析】本题通过设进行整体代换，将新方程转化为与原方程形式相同的方程。由原方程的解可知，，代回得到或，从而求出新方程的解。
13．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24或 B．24 C． D．或24
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
∴或，
解得：，
当时，
∵，
∴不能构成三角形，
∴不合题意，舍去，
当时，
∵，
∴能构成三角形，
此时该三角形的三边长为：，
∵，
∴该三角形是直角三角，直角边为和，
∴该三角形的面积是，
故答案为：B．
【分析】先求出一元二次方程的根，再利用三角形三边的关系判断求出第三边的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
14．方程：的解是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
（x+5）(x-5)=0，
解得：，，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法（平方差公式）进行解方程即可.
15．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有 如 25-4=21. 若 (m为实数)是关于x的方程，且x=2是这个方程的一个根，则m的值是　 　.
【答案】0或-4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】
解：∵
∴
∵x=2是这个方程的一个根
∴解得m=0或-4
故答案为：0或-4
【分析】先根据新定义计算将转化为，再根据方程根的定义把x=2代入方程计算可得m的值，解答即可.
16．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 　 　．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程变形为，
∴此方程可看作关于的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于的一元二次方程有一个根为，
解得．
故答案为：2023．
【分析】移项，把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，由题意可得，解方程即可求出答案.
17．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是　 　．
【答案】7或8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
解得，，
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为；
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为．
故答案为：7或8.
【分析】先求出方程的解，再分类讨论：①当腰长为，底边长为时，②当腰长为，底边长为时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可.
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
或，
，.
（2）解：，
，
，
或，
或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）把移项得，进一步整理得或，求解即可.
（）把两边除以得，再直接开平方得或，进一步求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
，
∴，
即或，
∴或．
19．解下列方程：
（1）（配方法解）；
（2）（公式法）；
（3）.
【答案】（1）x2-4x=-2，
x2-4x+4=-2+4，
，
x-2=± ，
∴；
（2）中，
>0，
∴，∴，；
（3）方程变形为 ，
，
.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）根据题意先配方，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意得到>0，再根据求根公式即可求解；
（3）根据题意运用提公因式法因式分解，进而即可求解。
三、能力应用
20．请阅读下列材料：
已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以，
把代入已知方程，得
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
（1）已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　；
（2）已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程的两根.
【答案】（1）y2 y 2＝0
（2）解：设所求方程的根是y，则，所以，
把代入方程，得，
化简得：.
（3）解：一元二次方程整理后可得：，
∵令y-1=x，
∴y=x+1，
∴方程的两根比两根大1，
∴方程的两根分别是4、-1.
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：设所求方程的根是y，则y＝ x，
所以：x＝ y，
由条件可得：y2 y 2＝0，
故答案为：y2 y 2＝0.
【分析】（1）设所求方程的根是y，则y＝ x，再将其代入原方程即可；
（2）设所求方程的根是y，则，所以，再将代入方程化简即可；
（3）令y-1=x，可得方程的两根比两根大1，再求解即可.
21．阅读材料，并解决问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x-35=0变形为x（x+2）=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22=4×35+4.因此，可得新方程（x+x+2）2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2-4x-12=0（x＞0）的正确构图是　 　.（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（　 　）=1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程　 　，解得原方程的一个根为　 　；
【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a= 　 　，b= 　 　，求得方程的正根为　 　.
【答案】②；x+；（x+x+）2=4×1+（）2；；±2；3；1或3
【知识点】完全平方公式及运用；解一元二次方程的其他方法
【解析】 【解答】解：【理解应用】∵x2-4x-12=0
∴x(x-4)=12
∴很容易观察出构图是②
故答案为：②
【类比迁移】由题意可得：
第一步：将原方程变形为，即
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程
解得解得原方程的一个根为x=
故答案为：x+；（x+x+）2=4×1+（）2；
【拓展应用】∵x2+ax=b
∴x(x+a)=b
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是(x+x+a)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×4×b+a2
∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4
∴b=3，a2=4
解得：b=2，a=±2
当a=2时，(x+x+2)2=4×3+4，2x+2=4，x=1，方程的一个正根为1
当a=-2时，(x+x-2)2=4×3+4，2x-2=4，x=3，方程的一个正根为3
综上所述，方程的一个正根为1或3
故答案为：±2，3，1或3
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（3）根据题意即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑