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2.3一元二次方程的根与系数的关系-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．4050 B．4054 C． D．
2．若方程的两个根是和，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
3．，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ）
A． B． C． D．
4．若是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根是（　　）
A．－5 B． C．5 D．
5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x1，x2，且 则m=　 　.
7．已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是　 　．
8． 设x1，x2分别是一元二次方程的两个根，填空：
（1）　 　，　 　.
（2）　 　，　 　.
9．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2，若 求m的值．
10．已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
二、巩固提升
11．一元二次方程 两根之积为(　　)
A．- 2 B．- 1 C．2 D．
12．关于x的方程的两实数根为x1，x2，若则m的（　　）
A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3
13．已知x1，x2是一元二次方程的两个根，则 的值为(　　)
A．13 B．-13 C．3 D．-3
14．已知一元二次方程 的两根为 一元二次方程 的两根为 则t值是(　　)
A．1 B． C．5 D．
15．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为 小范有以下两种说法：①b=-2a；②关于x的方程(a(x+4)(x-6)+4=0和 的解相同，下列判断正确的是 (　　)
A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确
16．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足，则k的值为　 　.
18．若m，n是方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则m2﹣3m+2n的值为　 　．
19．若x1，x2是方程 的两个实数根，则代数式 的值为 　 　
20．已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根.
（1）求实数k的取值范围：
（2）若其两根 满足 求k的值.
21．已知关于x的方程
（1）当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；
（2）当该方程是一元二次方程时，
①求证：该方程有两个不相等的实数根；
②已知x1和x2是该方程的两个根，求出的值.（用含m的代数式表示）
22．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
三、能力应用
23． 定义：对于一元二次方程。 设其两个实数根为 x1，X2。若存在正实数 k，使得|x1|+|x2|=k|x1+x2|，则称该方程为“和谐方程”，k称为“和谐系数”。
（1）已知关于 x的方程 是“和谐方程”，其中 m为实数，设两个实数根为 X1，X2。
①当m=2时，则 k= ▲ 。
②若 k=1，记 求S的最小值，并求此时m的值。
③以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有 ▲ 。（多选题)
A. 若 则 m=0. B. 当k=1时， 则.
C. 当k>1时， 则.
D. 存在一个实数 m，使得该方程和谐系数 k=1和 同时满足.
E. 对于任意实数 m，总存在正实数 k，使方程是“和谐方程”.
（2）设关于 x的一元二次方程（ 是“和谐方程”，k为“和谐系数”，且k>1。试探究 a，b，c，k之间的关系式，并予以证明。
24．阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则　 　；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵、是方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
【分析】
先根据根与系数的关系得出，再利用整体代入的方法计算求值即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
若方程两根为，则两根之积，
∵原方程为，可得，
∴．
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积公式为；对比方程标准形式，确定a=1，常数项c= 5；代入计算得x1x2= 5.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的一个根，设另一个根为，
∴，解得：，
∴该方程的另一个根是5．
故答案为：C.
【分析】根据是关于的方程的一个根，结合一元二次方程根与系数的关系列方程，解出即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程标准形式x2 4x+k=0，得 a=1，b= 4，c=k.
两根和：x1+x2= =4；
两根积：x1x2==k.
所以4=3k
解得：k=.
Δ=b2 4ac=( 4)2 4×1×=16 =>0，满足有两个实数根，符合题意。
故答案为：D .
【分析】先用一元二次方程韦达定理写出两根之和、两根之积，代入题干等式建立关于k的一元一次方程求解；最后检验判别式，保证方程存在两个实数根。由根与系数关系表示两根和、积，再根据等量条件列方程求参数.
6．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵
∴2m+1=9
∴m=4
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系的公式是解答.
7．【答案】（答案不唯一，合理即可）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】设一元二次方程的两根为，，
根据根与系数的关系可得：，，
当二次项系数为时，一元二次方程的形式为，
即．
故填：（答案不唯一，合理即可）。
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，先算出待求方程两个根的和与积，再以此为依据构造出符合要求的一元二次方程。
8．【答案】（1）；
（2）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1)由题意可知：
(2)原方程可化为：
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知，对于一元二次方程 两根之和等于 ，两根之积等于 据此解答即可.
9．【答案】（1）解：根的判别式
解得m<1．
（2）解：根据韦达定理，得 所以
解得
因为m<1，所以舍去
即m的值是-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得b2-4ac＞0，即可得解；
（2）根据韦达定理，可得x1+x2和x1，x2的代数式，将其代入题目所给等式中，即可得解.
10．【答案】（1）证明：
，
∵，
∴方程总有实数根；
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理原式，最后整体代入即可.
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a=2，c=-2，
∴
故答案为：B.
【分析】利用韦达定理求一元二次方程两根之积.
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程，
a=1，b=-(2m-1)，c=m2，
由韦达定理：
x1+x2=2m-1，x1x2=m2，
代入x1x2+x1+x2=2，得
m2+2m-1=2，
m2+2m-3=0，
(m+3)(m-1)=0，
解得m=-3或m=1．
方程有两个实数根，判别式△≥0：
△=[-(2m-1)]2-4×1×m2
=4m2-4m+1-4m2
=-4m+1≥0
-4m+1≥0
．
，舍去；
，符合条件．
∴m=-3．
故答案为：A．
【分析】先根据韦达定理写出两根和与两根积的代数式x1+x2=2m-1，x1x2=m2，代入等式x1x2+x1+x2=2，整理得到关于m的一元二次方程m2+2m-1=2，解出m=-3或m=1；再根据方程有实数根的条件，计算判别式△=-4m+1，令△≥0得到；最后检验两个解，舍去m=1，保留符合范围的m=-3．
13．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：13.
【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，然后整体代入计算即可．
14．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 n，
∵一元二次方程 的两根为
即
故选： D.
【分析】利用根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法可求得t的值.
15．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为，，，
∴方程 的两根为，，，
∴，
，
∴，因此①正确；
∵，
∴，
∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．
故答案为：A.
【分析】根据方程的解的定义得到，将等式右边按多项式乘以多项式展开合并，根据对应系数相等求出b与a的关系判断①；通过整理得到 与 是一个方程判断②解答即可．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：淫威m，n是一元二次方程x2-4x-7=0的两个实数根
∴m+n=4， mn=-7，
∴
故答案为：.
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n=4，mn=-7，再将其代入中，即可求出结论.
17．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=-2k+1，x1x2=k2-1，
∵x1x2+x1+x2=0，
∴k2-1-2k+1=0，
解得k=0或k=2；
∵原方程有两个实数根，
∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)≥0
解得，
∴k=0，
故答案为：0.
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=-2k+1，x1x2=k2-1，则可得到k2-1-2k+1=0，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案.
18．【答案】7
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-5x+3=0的实数根，
∴m2-5m+3=0，移项得m2=5m-3．
由韦达定理，方程两根m，n满足m+n=5．
将m2=5m-3代入代数式，得
m2-3m+2n=(5m-3)-3m+2n
=2m+2n-3
=2(m+n)-3
把m+n=5代入，得2×5-3=10-3=7．
故答案为：7．
【分析】先根据方程根的定义，把m代回方程变形得到m2=5m-3，实现降次；再利用韦达定理得到两根和m+n=5；将m2=5m-3代入所求代数式化简，提取公因式2构造m+n，最后整体代入m+n=5计算出结果为7．
19．【答案】4046
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：整理得：，
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故答案为：4046．
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得，，将代数式变形为，然后整体代入计算即可．
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程. 有两个实数根，
解得k≤4，
即k的取值范围是k≤4
（2）解：∵方程 的两个实数根分别为x1，x2，
=-2k+10，
即， - 2k+10=18，
解得， k=-4，
故k的值为： - 4.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到进而结合完全平方公式代入计算即可求解。
21．【答案】（1）解：由题知，
因为方程 是一元一次方程，
所以m+1=0且-2m≠0，
解得m=-1，
所以方程为2x-2=0，
解得x=1，
所以方程的解为x=1；
（2）①证明：由题知，
因为方程 是一元二次方程，
所以 4>0，
所以该方程有两个不相等的实数根；
②解：因为 和： v2是该方程的两个解，
所以 ，
所以(x1- ，
所以
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)根据一元一次方程的定义及解一元一次方程的步骤即可解决问题；
(2)利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式进行计算即可.
22．【答案】（1）证明：由题意得，
，
，
，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根
（2）解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式定理出发：写出一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0中a、b、c；代入判别式公式Δ=b2 4ac展开化简；根据平方非负性判断Δ恒大于 0；依据判别式结论：Δ>0时方程总有两个不相等实数根，完成证明.
（2）由一元二次方程韦达定理（根与系数关系）解题：由a、b、c写出两根和x1+x2= 、两根积x1x2=；把和、积代入等式x1+x2 3x1x2=9，得到关于m的一元一次方程；解一元一次方程求出m.
23．【答案】（1）解：①k=1，
当k=1时， 与x2同号或其中一个为0；
即
∴当m=±1时， S的最小值是
③ACE
（2）解：a， b， c， k之间的关系式： 其他变形也给分。
证明： ∵k>1，
∴x1，x2异号。
不妨设
整理得
由韦达定理：
代入得：
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】(1)①当m=2时，方程为：，两根为x1，x2，
则一元二次方程根与系数关系得：x1+x2=5>0，x1x2=3>0，故两根同为正数，
根据"和谐方程"的定义， |x1|+|x2|=k|x1+x2| ，即x1+x2=k(x1+x2)，得k=1；
③对每个选项进行分析；
A：若k=，则 |x1|+|x2|=|x1+x2|，此时两根异号，平方得(x1-x2)2=5(x1+x2)2，代入韦达定理可解得m=0，正确；
B：当k=1时，两根同号，故x1x2=m2-1≥0，但当m=0时，x1x2=-1<0，矛盾，错误。
C：当k>1时，x1+x2>x1+x2，故两根异号，x1x2<0，正确。
D：若k=1和k=同时满足，则需两根既同号又异号，矛盾，错误。
E：对任意m，总能找到k满足定义（如两根同号时k=1，异号时可由k=得正实数k)，正确。
故正确的为：ACE.
【分析】(1)①当m=2时，先求出方程的两根，再根据"和谐方程”定义计算k；
②当k=1时，由定义可知两根同号，结合韦达定理确定m的范围，再用配方法求S的最小值；
③逐一分析选项，结合韦达定理和“和谐方程”定义判断正误。
(2)由k>1可知两根异号，设x1>0，x2<0，根据定义式|x1|+|x2|=k|x1+x2|推导，结合韦达定理x1+x2=，x1x2=，化简得到a，b，c，k的关系式。
24．【答案】（1）
（2）解：由已知可得，，
.
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
即或，
当时，
；
当时，
.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得 .
故答案为：.
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出答案；
（2）利用根与系数的关系及完全平方公式，即可求解；
（3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解；
1 / 12.3一元二次方程的根与系数的关系-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．4050 B．4054 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵、是方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
【分析】
先根据根与系数的关系得出，再利用整体代入的方法计算求值即可．
2．若方程的两个根是和，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可.
3．，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
若方程两根为，则两根之积，
∵原方程为，可得，
∴．
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积公式为；对比方程标准形式，确定a=1，常数项c= 5；代入计算得x1x2= 5.
4．若是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根是（　　）
A．－5 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的一个根，设另一个根为，
∴，解得：，
∴该方程的另一个根是5．
故答案为：C.
【分析】根据是关于的方程的一个根，结合一元二次方程根与系数的关系列方程，解出即可得答案.
5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程标准形式x2 4x+k=0，得 a=1，b= 4，c=k.
两根和：x1+x2= =4；
两根积：x1x2==k.
所以4=3k
解得：k=.
Δ=b2 4ac=( 4)2 4×1×=16 =>0，满足有两个实数根，符合题意。
故答案为：D .
【分析】先用一元二次方程韦达定理写出两根之和、两根之积，代入题干等式建立关于k的一元一次方程求解；最后检验判别式，保证方程存在两个实数根。由根与系数关系表示两根和、积，再根据等量条件列方程求参数.
6．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x1，x2，且 则m=　 　.
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵
∴2m+1=9
∴m=4
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系的公式是解答.
7．已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是　 　．
【答案】（答案不唯一，合理即可）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】设一元二次方程的两根为，，
根据根与系数的关系可得：，，
当二次项系数为时，一元二次方程的形式为，
即．
故填：（答案不唯一，合理即可）。
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，先算出待求方程两个根的和与积，再以此为依据构造出符合要求的一元二次方程。
8． 设x1，x2分别是一元二次方程的两个根，填空：
（1）　 　，　 　.
（2）　 　，　 　.
【答案】（1）；
（2）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1)由题意可知：
(2)原方程可化为：
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知，对于一元二次方程 两根之和等于 ，两根之积等于 据此解答即可.
9．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2，若 求m的值．
【答案】（1）解：根的判别式
解得m<1．
（2）解：根据韦达定理，得 所以
解得
因为m<1，所以舍去
即m的值是-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得b2-4ac＞0，即可得解；
（2）根据韦达定理，可得x1+x2和x1，x2的代数式，将其代入题目所给等式中，即可得解.
10．已知关于的方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
【答案】（1）证明：
，
∵，
∴方程总有实数根；
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理原式，最后整体代入即可.
二、巩固提升
11．一元二次方程 两根之积为(　　)
A．- 2 B．- 1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a=2，c=-2，
∴
故答案为：B.
【分析】利用韦达定理求一元二次方程两根之积.
12．关于x的方程的两实数根为x1，x2，若则m的（　　）
A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程，
a=1，b=-(2m-1)，c=m2，
由韦达定理：
x1+x2=2m-1，x1x2=m2，
代入x1x2+x1+x2=2，得
m2+2m-1=2，
m2+2m-3=0，
(m+3)(m-1)=0，
解得m=-3或m=1．
方程有两个实数根，判别式△≥0：
△=[-(2m-1)]2-4×1×m2
=4m2-4m+1-4m2
=-4m+1≥0
-4m+1≥0
．
，舍去；
，符合条件．
∴m=-3．
故答案为：A．
【分析】先根据韦达定理写出两根和与两根积的代数式x1+x2=2m-1，x1x2=m2，代入等式x1x2+x1+x2=2，整理得到关于m的一元二次方程m2+2m-1=2，解出m=-3或m=1；再根据方程有实数根的条件，计算判别式△=-4m+1，令△≥0得到；最后检验两个解，舍去m=1，保留符合范围的m=-3．
13．已知x1，x2是一元二次方程的两个根，则 的值为(　　)
A．13 B．-13 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：13.
【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，然后整体代入计算即可．
14．已知一元二次方程 的两根为 一元二次方程 的两根为 则t值是(　　)
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 n，
∵一元二次方程 的两根为
即
故选： D.
【分析】利用根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法可求得t的值.
15．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为 小范有以下两种说法：①b=-2a；②关于x的方程(a(x+4)(x-6)+4=0和 的解相同，下列判断正确的是 (　　)
A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为，，，
∴方程 的两根为，，，
∴，
，
∴，因此①正确；
∵，
∴，
∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．
故答案为：A.
【分析】根据方程的解的定义得到，将等式右边按多项式乘以多项式展开合并，根据对应系数相等求出b与a的关系判断①；通过整理得到 与 是一个方程判断②解答即可．
16．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：淫威m，n是一元二次方程x2-4x-7=0的两个实数根
∴m+n=4， mn=-7，
∴
故答案为：.
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n=4，mn=-7，再将其代入中，即可求出结论.
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足，则k的值为　 　.
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=-2k+1，x1x2=k2-1，
∵x1x2+x1+x2=0，
∴k2-1-2k+1=0，
解得k=0或k=2；
∵原方程有两个实数根，
∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)≥0
解得，
∴k=0，
故答案为：0.
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=-2k+1，x1x2=k2-1，则可得到k2-1-2k+1=0，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案.
18．若m，n是方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则m2﹣3m+2n的值为　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-5x+3=0的实数根，
∴m2-5m+3=0，移项得m2=5m-3．
由韦达定理，方程两根m，n满足m+n=5．
将m2=5m-3代入代数式，得
m2-3m+2n=(5m-3)-3m+2n
=2m+2n-3
=2(m+n)-3
把m+n=5代入，得2×5-3=10-3=7．
故答案为：7．
【分析】先根据方程根的定义，把m代回方程变形得到m2=5m-3，实现降次；再利用韦达定理得到两根和m+n=5；将m2=5m-3代入所求代数式化简，提取公因式2构造m+n，最后整体代入m+n=5计算出结果为7．
19．若x1，x2是方程 的两个实数根，则代数式 的值为 　 　
【答案】4046
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：整理得：，
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故答案为：4046．
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得，，将代数式变形为，然后整体代入计算即可．
20．已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根.
（1）求实数k的取值范围：
（2）若其两根 满足 求k的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程. 有两个实数根，
解得k≤4，
即k的取值范围是k≤4
（2）解：∵方程 的两个实数根分别为x1，x2，
=-2k+10，
即， - 2k+10=18，
解得， k=-4，
故k的值为： - 4.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到进而结合完全平方公式代入计算即可求解。
21．已知关于x的方程
（1）当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；
（2）当该方程是一元二次方程时，
①求证：该方程有两个不相等的实数根；
②已知x1和x2是该方程的两个根，求出的值.（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：由题知，
因为方程 是一元一次方程，
所以m+1=0且-2m≠0，
解得m=-1，
所以方程为2x-2=0，
解得x=1，
所以方程的解为x=1；
（2）①证明：由题知，
因为方程 是一元二次方程，
所以 4>0，
所以该方程有两个不相等的实数根；
②解：因为 和： v2是该方程的两个解，
所以 ，
所以(x1- ，
所以
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)根据一元一次方程的定义及解一元一次方程的步骤即可解决问题；
(2)利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式进行计算即可.
22．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）证明：由题意得，
，
，
，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根
（2）解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式定理出发：写出一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0中a、b、c；代入判别式公式Δ=b2 4ac展开化简；根据平方非负性判断Δ恒大于 0；依据判别式结论：Δ>0时方程总有两个不相等实数根，完成证明.
（2）由一元二次方程韦达定理（根与系数关系）解题：由a、b、c写出两根和x1+x2= 、两根积x1x2=；把和、积代入等式x1+x2 3x1x2=9，得到关于m的一元一次方程；解一元一次方程求出m.
三、能力应用
23． 定义：对于一元二次方程。 设其两个实数根为 x1，X2。若存在正实数 k，使得|x1|+|x2|=k|x1+x2|，则称该方程为“和谐方程”，k称为“和谐系数”。
（1）已知关于 x的方程 是“和谐方程”，其中 m为实数，设两个实数根为 X1，X2。
①当m=2时，则 k= ▲ 。
②若 k=1，记 求S的最小值，并求此时m的值。
③以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有 ▲ 。（多选题)
A. 若 则 m=0. B. 当k=1时， 则.
C. 当k>1时， 则.
D. 存在一个实数 m，使得该方程和谐系数 k=1和 同时满足.
E. 对于任意实数 m，总存在正实数 k，使方程是“和谐方程”.
（2）设关于 x的一元二次方程（ 是“和谐方程”，k为“和谐系数”，且k>1。试探究 a，b，c，k之间的关系式，并予以证明。
【答案】（1）解：①k=1，
当k=1时， 与x2同号或其中一个为0；
即
∴当m=±1时， S的最小值是
③ACE
（2）解：a， b， c， k之间的关系式： 其他变形也给分。
证明： ∵k>1，
∴x1，x2异号。
不妨设
整理得
由韦达定理：
代入得：
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】(1)①当m=2时，方程为：，两根为x1，x2，
则一元二次方程根与系数关系得：x1+x2=5>0，x1x2=3>0，故两根同为正数，
根据"和谐方程"的定义， |x1|+|x2|=k|x1+x2| ，即x1+x2=k(x1+x2)，得k=1；
③对每个选项进行分析；
A：若k=，则 |x1|+|x2|=|x1+x2|，此时两根异号，平方得(x1-x2)2=5(x1+x2)2，代入韦达定理可解得m=0，正确；
B：当k=1时，两根同号，故x1x2=m2-1≥0，但当m=0时，x1x2=-1<0，矛盾，错误。
C：当k>1时，x1+x2>x1+x2，故两根异号，x1x2<0，正确。
D：若k=1和k=同时满足，则需两根既同号又异号，矛盾，错误。
E：对任意m，总能找到k满足定义（如两根同号时k=1，异号时可由k=得正实数k)，正确。
故正确的为：ACE.
【分析】(1)①当m=2时，先求出方程的两根，再根据"和谐方程”定义计算k；
②当k=1时，由定义可知两根同号，结合韦达定理确定m的范围，再用配方法求S的最小值；
③逐一分析选项，结合韦达定理和“和谐方程”定义判断正误。
(2)由k>1可知两根异号，设x1>0，x2<0，根据定义式|x1|+|x2|=k|x1+x2|推导，结合韦达定理x1+x2=，x1x2=，化简得到a，b，c，k的关系式。
24．阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则　 　；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足，且，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由已知可得，，
.
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
即或，
当时，
；
当时，
.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得 .
故答案为：.
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出答案；
（2）利用根与系数的关系及完全平方公式，即可求解；
（3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解；
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