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2.4 应用一元二次方程（1）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】宽：x
两条宽的总长度：2x
平行于墙的长：24 2x
矩形面积：x(24 2x)=40
故答案为：A.
【分析】由矩形的宽为x m，围栏总长 24m，有一面靠墙不需要围栏，可得矩形的长 = 总围栏长度 2 倍的宽，即长为(24 2x) m；根据矩形面积公式：面积=长×宽；把长、宽、面积代入公式列出方程.
2．若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为，依题意得
展开左边得
化简得
解得，即
∴这个正方形的边长为．
故答案为：D
【分析】设原正方形的边长为x，根据面积增加则列方程为 ，解得x=10.
3．如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
根据题意得，
故答案为：C．
【分析】本题从图形发现，可以将道路进行平移，这样剩下的草坪就是一个长为（33-x）m、宽为（22-x）m的长方形，然后利用矩形面积公式列方程即可．
4．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设x人参加聚会，则每人送出（x-1）件礼物
由题意可得：x（x-1）=56
故答案为B
【分析】发礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数。
5．某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：有一人患了流感，每一轮传染中平均每人传染了人，
第一轮传染中有人被传染，第一轮结束后有人患流感，
第二轮传染中，人每人又传染了人，即，加上第二轮开始的人，
根据题意列式：，
整理得：，
故答案为：．
【分析】由每一轮传染中平均每人传染了人，可以得到第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意建立方程即可求出答案.
6．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设共有位同学聚会，则由题意可列方程为：．
故选：B．
【分析】本题以握手问题为背景，考查了组合数与一元二次方程的应用。设共有 x 位同学，每两人握手一次，总握手次数为组合数，代入已知次数列方程。
7．如图所示，在△ABC中，点P从点A出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以1cm/s的速度移动.若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为ts，当四边形APQB的面积是时，t的值为　 　.
【答案】2
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴.
当运动时间为t秒时，AP=2tcm，PC=(8-2t)cm，BQ=tcm，CQ=(6-t)cm，
根据题意得t)=16，
整理得t2-10t+16=0，解得
∵8-2t≥0，
∴t≤4，
∴t=2.
故答案为：2.
【分析】先根据勾股定理求出BC的长度，再分别表示出ts后CQ和PC的长度，然后根据四边形APQB的面积与△ABC面积的关系得出S△PCQ与S△ABC的关系，最后根据三角形面积公式列出方程求解.
8．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是　 　．
【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原数的个位数字是，则十位数字是．
根据题意得：，
解得：或，
则或．
则这个两位数是23或32．
故答案为：23或32．
【分析】设原数的个位数字是，则十位数字是，则原数字是，对调后的数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得的数与原数相乘，得736”列一元二次方程求解即可．
9．如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
【答案】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用， 涉及矩形面积公式以及通过平移转化图形来简化问题的思想，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．设道路的宽为，将种植草坪的部分通过评平移，可以拼成一个新的矩形，这个新矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合“草坪的面积为570”可列出方程：，解得：，因为矩形的宽为20米，35＞20，不符合实际情况，所以舍去x=35，故道路的宽为1米，由此可得出答案.
二、巩固提升
10．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：当运动时，，，，
∵，
∴，
即．
故答案为：D
【分析】当运动时，，，，进而根据三角形的面积结合题意即可列出一元二次方程。
11．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
12．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据题意，由矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，即可解答．
13．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s．
A．2 B．4 C．10 D．2或10
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
故选：A．
【分析】设运动时间为，表示出，根据三角形面积公式可得，求解方程，结合题意，求解即可．
14．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是　 　．
【答案】4或5
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：丙的长为，丙的宽为，
∵丙地的面积为，列方程得：，即，
解得：，，
所以x的值为4或5 ．
故答案为：4或5.
【分析】由题意，得乙的边长为(x-3)km，则丙的宽为(6-x)km，所以(6-x)(x-3)=2，解方程求出x的值解答即可.
15．如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快　 　后，四边形成为矩形．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴当时，四边形 为矩形
由题意得
∴
∴，解得：
故答案为：4
【分析】先根据矩形的性质得到，，，进而即可得到当时，四边形 为矩形，从而解一元一次方程即可求解。
16．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为　 　.
【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为（2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为（-2t，3)，C点坐标为（-3，0)，A点坐标为（0，3)，
∴Q点坐标为（t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t，0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A 点坐标为(0，3)， Q 点坐标为(t-2，0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得017． 如图，在△ABC中，∠B=90°.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2
【答案】解：设经过 xs，△PBQ 的面积等于8cm2.
由题意得 x) ·2x=8，
解得
答：经过2 s或4s，△PBQ的面积等于8cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】设经过 xs，△PBQ 的面积等于8cm2.根据三角形的面积公式列方程求出x的值解答即可.
18． 如图， 中， 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）t为何值时，PQ的长度等于．
（2）线段 PQ能否将 分成面积3：5的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
∴AP=t cm， BQ=2t cm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当时，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2
∴，
整理得：5t2-12t+4=0，
解得：，t2=2；
∴当，t2=2时，PQ的长度等于.
（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；
理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
依题意得：△ABC的面积，BP=AB-AP=(6-y)cm， BQ=2ycm，
①当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：，
整理得：y2-6y+9=0，
解得：y=3；
②当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：
整理得：y2-6y+15=0，
∵Δ=36-60<0，
∴方程无实数根
∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的和△BPQ的面积为△ABC面积的，列出方程进行求解即可.
三、能力应用
19．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为 ▲ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
【答案】解：（1）40；
（2）将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，设裁剪小长方形的宽为2n，长为n，
则折成储物盒底面长=原纸板长-4n，底面宽=原纸板宽-2n，
由（1）知a=40cm，
故折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n，
当储物盒的底面积是时 ，有（60-4n）（40-2n）=832，化简得，
解得n=7或n=28，
当n=28时，折成储物盒底面长=60-4n=60-4x28=-52<0不符合题意，故n=28舍去，即n=7，
分析图5可知， 储物盒的高即为n，即h=n=7，
故体积；
（3）（70-40）=10，
∴40×30=1200.
∴ 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为1200cm2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；一元二次方程的应用-动态几何问题；长方体纸盒的制作
【解析】【解答】解：（1）根据素材1图2，储物区底面为长方形，尺寸为长40cm，宽30cm，
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，则设裁剪小长方形的宽为2m，长为m，则折成储物盒底面长=原纸板长-4m，底面宽=原纸板宽-2m，
因按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，
则，
解得m=5，，符合题意，
故a=40；
故答案为：40.
【分析】（1）根据“折成储物盒底面长=原纸板长-4m，底面宽=原纸板宽-2m”列方程组求出a的值解答即可；
（2）根据（1）的结果可得a=40cm，即可得到折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n，然后根据储物盒底面积列方程求出n的值即可；
（3）根据长方形的面积公式求出储物盒的底面积即可.
1 / 12.4 应用一元二次方程（1）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
2．若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（　　）
A． B． C． D．
6．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　)
A． B． C． D．
7．如图所示，在△ABC中，点P从点A出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以1cm/s的速度移动.若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为ts，当四边形APQB的面积是时，t的值为　 　.
8．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是　 　．
9．如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
二、巩固提升
10．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
13．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s．
A．2 B．4 C．10 D．2或10
14．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是　 　．
15．如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快　 　后，四边形成为矩形．
16．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为　 　.
17． 如图，在△ABC中，∠B=90°.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2
18． 如图， 中， 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）t为何值时，PQ的长度等于．
（2）线段 PQ能否将 分成面积3：5的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由．
三、能力应用
19．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为 ▲ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】宽：x
两条宽的总长度：2x
平行于墙的长：24 2x
矩形面积：x(24 2x)=40
故答案为：A.
【分析】由矩形的宽为x m，围栏总长 24m，有一面靠墙不需要围栏，可得矩形的长 = 总围栏长度 2 倍的宽，即长为(24 2x) m；根据矩形面积公式：面积=长×宽；把长、宽、面积代入公式列出方程.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为，依题意得
展开左边得
化简得
解得，即
∴这个正方形的边长为．
故答案为：D
【分析】设原正方形的边长为x，根据面积增加则列方程为 ，解得x=10.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
根据题意得，
故答案为：C．
【分析】本题从图形发现，可以将道路进行平移，这样剩下的草坪就是一个长为（33-x）m、宽为（22-x）m的长方形，然后利用矩形面积公式列方程即可．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设x人参加聚会，则每人送出（x-1）件礼物
由题意可得：x（x-1）=56
故答案为B
【分析】发礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：有一人患了流感，每一轮传染中平均每人传染了人，
第一轮传染中有人被传染，第一轮结束后有人患流感，
第二轮传染中，人每人又传染了人，即，加上第二轮开始的人，
根据题意列式：，
整理得：，
故答案为：．
【分析】由每一轮传染中平均每人传染了人，可以得到第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意建立方程即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设共有位同学聚会，则由题意可列方程为：．
故选：B．
【分析】本题以握手问题为背景，考查了组合数与一元二次方程的应用。设共有 x 位同学，每两人握手一次，总握手次数为组合数，代入已知次数列方程。
7．【答案】2
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴.
当运动时间为t秒时，AP=2tcm，PC=(8-2t)cm，BQ=tcm，CQ=(6-t)cm，
根据题意得t)=16，
整理得t2-10t+16=0，解得
∵8-2t≥0，
∴t≤4，
∴t=2.
故答案为：2.
【分析】先根据勾股定理求出BC的长度，再分别表示出ts后CQ和PC的长度，然后根据四边形APQB的面积与△ABC面积的关系得出S△PCQ与S△ABC的关系，最后根据三角形面积公式列出方程求解.
8．【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原数的个位数字是，则十位数字是．
根据题意得：，
解得：或，
则或．
则这个两位数是23或32．
故答案为：23或32．
【分析】设原数的个位数字是，则十位数字是，则原数字是，对调后的数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得的数与原数相乘，得736”列一元二次方程求解即可．
9．【答案】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用， 涉及矩形面积公式以及通过平移转化图形来简化问题的思想，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．设道路的宽为，将种植草坪的部分通过评平移，可以拼成一个新的矩形，这个新矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合“草坪的面积为570”可列出方程：，解得：，因为矩形的宽为20米，35＞20，不符合实际情况，所以舍去x=35，故道路的宽为1米，由此可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：当运动时，，，，
∵，
∴，
即．
故答案为：D
【分析】当运动时，，，，进而根据三角形的面积结合题意即可列出一元二次方程。
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据题意，由矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，即可解答．
13．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
故选：A．
【分析】设运动时间为，表示出，根据三角形面积公式可得，求解方程，结合题意，求解即可．
14．【答案】4或5
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：丙的长为，丙的宽为，
∵丙地的面积为，列方程得：，即，
解得：，，
所以x的值为4或5 ．
故答案为：4或5.
【分析】由题意，得乙的边长为(x-3)km，则丙的宽为(6-x)km，所以(6-x)(x-3)=2，解方程求出x的值解答即可.
15．【答案】4
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴当时，四边形 为矩形
由题意得
∴
∴，解得：
故答案为：4
【分析】先根据矩形的性质得到，，，进而即可得到当时，四边形 为矩形，从而解一元一次方程即可求解。
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为（2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为（-2t，3)，C点坐标为（-3，0)，A点坐标为（0，3)，
∴Q点坐标为（t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t，0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A 点坐标为(0，3)， Q 点坐标为(t-2，0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得017．【答案】解：设经过 xs，△PBQ 的面积等于8cm2.
由题意得 x) ·2x=8，
解得
答：经过2 s或4s，△PBQ的面积等于8cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】设经过 xs，△PBQ 的面积等于8cm2.根据三角形的面积公式列方程求出x的值解答即可.
18．【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
∴AP=t cm， BQ=2t cm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当时，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2
∴，
整理得：5t2-12t+4=0，
解得：，t2=2；
∴当，t2=2时，PQ的长度等于.
（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；
理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
依题意得：△ABC的面积，BP=AB-AP=(6-y)cm， BQ=2ycm，
①当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：，
整理得：y2-6y+9=0，
解得：y=3；
②当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：
整理得：y2-6y+15=0，
∵Δ=36-60<0，
∴方程无实数根
∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的和△BPQ的面积为△ABC面积的，列出方程进行求解即可.
19．【答案】解：（1）40；
（2）将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，设裁剪小长方形的宽为2n，长为n，
则折成储物盒底面长=原纸板长-4n，底面宽=原纸板宽-2n，
由（1）知a=40cm，
故折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n，
当储物盒的底面积是时 ，有（60-4n）（40-2n）=832，化简得，
解得n=7或n=28，
当n=28时，折成储物盒底面长=60-4n=60-4x28=-52<0不符合题意，故n=28舍去，即n=7，
分析图5可知， 储物盒的高即为n，即h=n=7，
故体积；
（3）（70-40）=10，
∴40×30=1200.
∴ 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为1200cm2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；一元二次方程的应用-动态几何问题；长方体纸盒的制作
【解析】【解答】解：（1）根据素材1图2，储物区底面为长方形，尺寸为长40cm，宽30cm，
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，则设裁剪小长方形的宽为2m，长为m，则折成储物盒底面长=原纸板长-4m，底面宽=原纸板宽-2m，
因按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，
则，
解得m=5，，符合题意，
故a=40；
故答案为：40.
【分析】（1）根据“折成储物盒底面长=原纸板长-4m，底面宽=原纸板宽-2m”列方程组求出a的值解答即可；
（2）根据（1）的结果可得a=40cm，即可得到折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n，然后根据储物盒底面积列方程求出n的值即可；
（3）根据长方形的面积公式求出储物盒的底面积即可.
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