资源简介

第二章 《一元二次方程》巩固卷-北师大版数学九上同步分层训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．用配方法解方程 时，方程变形正确的是(　　)
A． B． C． D．
2．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆ 例如： 则方程2☆x=3的根的情况为 (　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 (　　)
A．K>2 B．k<2 C．k≤2且k≠1 D．k<2且k≠1
5．已知方程 的一根为 则方程的另一根为(　　)
A． B． C． D．3
6．若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　)
A．3 B．5 C．-15 D．15
7．关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（　　）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
8．深耕黑土地，守护大粮仓.某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000 kg水稻，到2025年平均每公顷产8470 kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为(　　)
A．7000(1+2x)=8470
B．
C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=8470
D．7000×2(1+x)=8470
9．李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（　　）
李白醇酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
10．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=　 　.
12．中国古代数学家李冶的测圆海镜是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，测圆海镜是高次幂在上，低次幂在下，如图中的天元式表示多项式，则图表示的多项式的二次项系数为　 　．
13． 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为　 　．
14． 关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是　 　．
x … 0 1 3 5 …
… 0 0 16 40 …
15．对于一元二次方程下列说法正确的是　 　．
①若4a+2b+c=0，则
②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 ax+c=0必有两个不相等的实数根；
③若2026是方程的一个根，则 定是 的一个根；
④若x0是一元二次方程 的根，则 ．
16．某种商品平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，每降价1元，每天可多售出5件.若每天要盈利2400元，则该商品每件应降价　 　元.
三、解答题（共6题，共72分）
17．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）。
18．已知关于x的一元二次方程
（1）判断方程根的情况；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积.
19．根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出件，每件盈利元． 每天可售出件，每件盈利元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天均可多售出件现两店每件衬衫同时降价元．
任务解决
（1）任务：降价后，甲店每天的销售量为　 　件用含的代数式表示；
（2）当时，求甲店每天的盈利；
（3）当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为元．
20．某校在一次数学活动中组织学生设计矩形花圃，花圃的一边可利用长为8 米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长 20 米。下面是小高和小周两位同学设计的方案(篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计)。
（1）如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD 的一边AD靠墙(AD≤8米)，另三边用篱笆围成.设AB的长为x米。
①求BC的长(用含x的代数式表示)。
②当花圃ABCD 面积为42平方米时，求x的值。
（2）如图2是小周同学设计的方案，花圃 EFGH的一边 EH 由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成，另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH面积能达到50平方米吗 请通过计算说明。
21．2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格 A款纪念品 B款纪念品
进货价（元/件） 20 15
销售价（元/件） 35 27
（1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
22．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为x1，x2，则
材料2：已知实数m，n满足 且m≠n，则m，n是方程 的两个不相等的实数根.
（1）材料理解：一元二次方程 的两个根为x1，x2，则 　 　，　 　；
（2）应用探究：已知实数a，b满足： 且a≠b，求 的值；
（3）思维拓展：已知实数m，n满足： 求 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方形式解答即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】根据新定义，将转化为一元二次方程的一般式，再计算根的判别式的值，判断根的情况解答．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知方程(k-1)x2-6x+9=0是一元二次方程且有实数根，需同时满足：
∵二次项系数不为0，k-1≠0，
∴k≠1，
=b2-4ac=(-6)2-4(k-1)×9≥0，
36-36(k-1)≥0，
36-36k+36≥0，
72-36k≥0，
-36k≥-72，
k≤2，
综上，k的取值范围是k≤2且k≠1.
故选：C.
【分析】一元二次方程需满足二次项系数不为0，且有实数根则判别式 ≥0，据此列出条件求解.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为C，
故答案为： A.
【分析】设方程的另一个根为C，再根据根与系数的关系即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根，
∴，
∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
故答案为：D.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】根据根与系数的关系可得，，然后根据，整体代入求出m的值，再根据根的判别式求出m≤1，解答即可．
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2023年为初始年份，每公顷产量7000kg，年平均增长率为，
∴2024年每公顷产量为；
2025年在2024年的基础上继续增长，
∴2025年每公顷产量为；
又∵2025年实际每公顷产量为8470kg，
∴可列方程
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用。依据增长率的递推逻辑，先推导2024年的产量表达式，再以此为基础推导2025年的产量表达式，结合2025年的实际产量建立等量关系，得到对应的一元二次方程，其中两年增长对应指数为2，是列方程的核心依据。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗
由题意可得：
解得：x=
故答案为：B
【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设花卉带的宽度为xcm，根据题意得
故答案为：D.
【分析】 设花卉带的宽度为xcm，根据草坪的面积为总面积的，列方程即可
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方
∴设方程的两个根为t，t2
∴t+t2=，
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据题意设方程的两个根为t，t2，根据根与系数的关系可得t+t2=，，解方程可得t值，再代入即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下，
图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项，
图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位，
千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，
该多项式的二次项系数为．
【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，即可得到图2中最上方一行表示二次项系数，根据算筹记数规则写出数值即可．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，得，
解得：；
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】把代入方程得到，根据一元二次方程的定义得到a≠3，求出a的值解答即可.
14．【答案】
【知识点】估算一元二次方程的近似解；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由表格中x=-5和x=1时代数式值为零，
可得方程a(x+p)2+q=0的两个根为x1=-5，x2=-1，
则x+p=-5或-1，
那么在方程 中，
x+p-1=-5或-1，
所以解为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的确定，先根据表格里面函数的两组x值得到到方程a(x+p)2+q=0对应的两个根，最后利用换元法把目标方程a(x+p-1)2+q=0转化为已知根的方程，给根整体加1就能得到目标方程的解.
15．【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若4a+2b+c=0，则b2-4ac≥0，当x=2时，代入方程得a·22+b·2+c=4a+2b+c=0，说明方程有一个根为x=2，因此判别式b2-4ac≥0，①正确；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax+c=0必有两个不相等的实数根，方程 ax+c=0是一元一次方程(a≠0)，只有一个实数根，不可能有两个根，②错误；
③若2026是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定是cx2+bx+a=0 的一个根，把x=2026代入ax2+bx+c=0，得a·20262+b·2026+c=0；当c=0时，方程cx2+bx+a=0变为bx+a=0，不一定是它的根，③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2
∵x0是方程的根，
∴，即，
展开右边：，④正确；
故答案为：①④.
【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断.
16．【答案】4
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44-x）（40+5x）=2400
解方程得 x=4或x=32，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x=32不合题意舍去，
故每件服装应降价4元；
故答案为：4.
【分析】根据每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=2400列出方程式，求解即可.
17．【答案】（1）解：
解得：，
（2）解：
解得：，
（3）解：
解得：，
（4）解：
解得：，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法化为两个一次方程，求出x的值解答即可；
（2）先移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方那个的形式，然后开方解方程即可；
（3）左边写为平方的形式，然后直接开平方解答即可；
（4）得到a，b，c的值，求出b2-4ac的值，然后代入求根公式计算即可.
18．【答案】（1）解：∵在方程中，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：
不妨设AB=k+1，AC=k+2，
①当BC=5为斜边时，有，即
解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4
则直角三角形的面积为：
②当AC=k+2为斜边时，有即
解得：k=11.此时AB=12，AC=13
则直角三角形的面积为：
综上，
k=2时，△ABC面积为6；
k=11时，△ABC面积为30
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】(1)先根据一元二次方程判别式公式代入a，b，c展开化简，算出Δ=1>0，依据判别式判定规则，得到方程有两个不相等实数根；
(2)先因式分解求出方程两根k+1，k+2，作为三角形两条边长；再分两类讨论斜边：第一类BC=5是斜边，列勾股方程求解并舍去负根，算出面积6；第二类较长边k+2是斜边，再次列勾股方程求得k=11，算出面积30．
19．【答案】（1）
（2）当a=5时，甲店每件盈利为40-5=35元，销售量为20+2×5=30件，
∴甲店每天的盈利为35×30=1050（元）.
（3）设每件衬衫降价a元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元．
根据题意列方程得：（40-a）（20+2a）+（30-a）（32+2a）=2244，
整理得：a2-22a+121=0，
即（a-11）2=0，
解得a1=a2=11，
∴ 衬衫降价11元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 （1）每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价a元．
已知甲店原每天售出20件，每件降价1元多售出2件，现降价a元，因此多售出2a件，
∴降价后甲店每天的销售量为（20+2a）件
【分析】 （1）根据原销量加上降价增加的销量，列出含a的代数式；
（2）根据总盈利=每件盈利×销售量，代入a=5计算得到甲店盈利；
（3）根据总盈利为甲乙两店盈利之和，设未知数列出一元二次方程，解方程得到降价金额.
20．【答案】（1）①在矩形ABCD中， AB=CD=x，
所以BC=20-2x.
②因为花圃面积为42平方米，所以x(20-2x) =42，
解得x=3或x=7，
当x=3时，20-2x=20-2×3=14>8，不合题意，舍去.
当x=7时，20-2x=20-2×7=6<8，符合题意.
所以x=7.
（2）不能达到50平方米，理由如下：
设MH=a，则FG=EH=8+a，
假设面积能到50平方米， 则(8+a)(6-a)=50，即
因为根的判别式=4-4×1×2=-4<0
所以不能达到50平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①根据列式解答；
②根据矩形面积公式列方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设MH=a，表示EF长，根据面积公式列方程，整理为一般式后，根据根的判别式判断方程根的情况解答即可．
21．【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元二次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；
（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；
（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.
22．【答案】（1）2；
（2）解：由题意得，实数a，b满足 且a≠b
因此a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系可得a+b=5， ab=1，
所以
（3）解：将方程 变形可得
又
分两种情况讨论：
①当m=2n时，
②当m≠2n时，m和2n是一元二次方程 的两个不相等的实数根根据根与系数的关系可得
由2mn=-3，得
综上， 的值为2或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：对于一元二次方程，
其中，，
根据根与系数的关系，可得，
故答案为：2；；
【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可；
（2）由题可知是方程的两个不相等实根，根据根与系数的关系得到 a+b=5， ab=1，然后提取公因式后整体代入计算即可；
（3）第二个方程变形为，可得m、2n是方程的两个根，分和两种情况，分别计算即可．
1 / 1第二章 《一元二次方程》巩固卷-北师大版数学九上同步分层训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．用配方法解方程 时，方程变形正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方形式解答即可.
2．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆ 例如： 则方程2☆x=3的根的情况为 (　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】根据新定义，将转化为一元二次方程的一般式，再计算根的判别式的值，判断根的情况解答．
3．小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 (　　)
A．K>2 B．k<2 C．k≤2且k≠1 D．k<2且k≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知方程(k-1)x2-6x+9=0是一元二次方程且有实数根，需同时满足：
∵二次项系数不为0，k-1≠0，
∴k≠1，
=b2-4ac=(-6)2-4(k-1)×9≥0，
36-36(k-1)≥0，
36-36k+36≥0，
72-36k≥0，
-36k≥-72，
k≤2，
综上，k的取值范围是k≤2且k≠1.
故选：C.
【分析】一元二次方程需满足二次项系数不为0，且有实数根则判别式 ≥0，据此列出条件求解.
5．已知方程 的一根为 则方程的另一根为(　　)
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为C，
故答案为： A.
【分析】设方程的另一个根为C，再根据根与系数的关系即可得出结论.
6．若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　)
A．3 B．5 C．-15 D．15
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根，
∴，
∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
故答案为：D.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
7．关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（　　）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】根据根与系数的关系可得，，然后根据，整体代入求出m的值，再根据根的判别式求出m≤1，解答即可．
8．深耕黑土地，守护大粮仓.某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000 kg水稻，到2025年平均每公顷产8470 kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为(　　)
A．7000(1+2x)=8470
B．
C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=8470
D．7000×2(1+x)=8470
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2023年为初始年份，每公顷产量7000kg，年平均增长率为，
∴2024年每公顷产量为；
2025年在2024年的基础上继续增长，
∴2025年每公顷产量为；
又∵2025年实际每公顷产量为8470kg，
∴可列方程
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用。依据增长率的递推逻辑，先推导2024年的产量表达式，再以此为基础推导2025年的产量表达式，结合2025年的实际产量建立等量关系，得到对应的一元二次方程，其中两年增长对应指数为2，是列方程的核心依据。
9．李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（　　）
李白醇酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗
由题意可得：
解得：x=
故答案为：B
【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
10．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设花卉带的宽度为xcm，根据题意得
故答案为：D.
【分析】 设花卉带的宽度为xcm，根据草坪的面积为总面积的，列方程即可
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方
∴设方程的两个根为t，t2
∴t+t2=，
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据题意设方程的两个根为t，t2，根据根与系数的关系可得t+t2=，，解方程可得t值，再代入即可求出答案.
12．中国古代数学家李冶的测圆海镜是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，测圆海镜是高次幂在上，低次幂在下，如图中的天元式表示多项式，则图表示的多项式的二次项系数为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下，
图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项，
图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位，
千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，
该多项式的二次项系数为．
【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，即可得到图2中最上方一行表示二次项系数，根据算筹记数规则写出数值即可．
13． 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，得，
解得：；
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】把代入方程得到，根据一元二次方程的定义得到a≠3，求出a的值解答即可.
14． 关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是　 　．
x … 0 1 3 5 …
… 0 0 16 40 …
【答案】
【知识点】估算一元二次方程的近似解；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由表格中x=-5和x=1时代数式值为零，
可得方程a(x+p)2+q=0的两个根为x1=-5，x2=-1，
则x+p=-5或-1，
那么在方程 中，
x+p-1=-5或-1，
所以解为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的确定，先根据表格里面函数的两组x值得到到方程a(x+p)2+q=0对应的两个根，最后利用换元法把目标方程a(x+p-1)2+q=0转化为已知根的方程，给根整体加1就能得到目标方程的解.
15．对于一元二次方程下列说法正确的是　 　．
①若4a+2b+c=0，则
②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 ax+c=0必有两个不相等的实数根；
③若2026是方程的一个根，则 定是 的一个根；
④若x0是一元二次方程 的根，则 ．
【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若4a+2b+c=0，则b2-4ac≥0，当x=2时，代入方程得a·22+b·2+c=4a+2b+c=0，说明方程有一个根为x=2，因此判别式b2-4ac≥0，①正确；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax+c=0必有两个不相等的实数根，方程 ax+c=0是一元一次方程(a≠0)，只有一个实数根，不可能有两个根，②错误；
③若2026是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定是cx2+bx+a=0 的一个根，把x=2026代入ax2+bx+c=0，得a·20262+b·2026+c=0；当c=0时，方程cx2+bx+a=0变为bx+a=0，不一定是它的根，③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2
∵x0是方程的根，
∴，即，
展开右边：，④正确；
故答案为：①④.
【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断.
16．某种商品平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，每降价1元，每天可多售出5件.若每天要盈利2400元，则该商品每件应降价　 　元.
【答案】4
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44-x）（40+5x）=2400
解方程得 x=4或x=32，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x=32不合题意舍去，
故每件服装应降价4元；
故答案为：4.
【分析】根据每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=2400列出方程式，求解即可.
三、解答题（共6题，共72分）
17．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）。
【答案】（1）解：
解得：，
（2）解：
解得：，
（3）解：
解得：，
（4）解：
解得：，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法化为两个一次方程，求出x的值解答即可；
（2）先移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方那个的形式，然后开方解方程即可；
（3）左边写为平方的形式，然后直接开平方解答即可；
（4）得到a，b，c的值，求出b2-4ac的值，然后代入求根公式计算即可.
18．已知关于x的一元二次方程
（1）判断方程根的情况；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积.
【答案】（1）解：∵在方程中，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：
不妨设AB=k+1，AC=k+2，
①当BC=5为斜边时，有，即
解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4
则直角三角形的面积为：
②当AC=k+2为斜边时，有即
解得：k=11.此时AB=12，AC=13
则直角三角形的面积为：
综上，
k=2时，△ABC面积为6；
k=11时，△ABC面积为30
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】(1)先根据一元二次方程判别式公式代入a，b，c展开化简，算出Δ=1>0，依据判别式判定规则，得到方程有两个不相等实数根；
(2)先因式分解求出方程两根k+1，k+2，作为三角形两条边长；再分两类讨论斜边：第一类BC=5是斜边，列勾股方程求解并舍去负根，算出面积6；第二类较长边k+2是斜边，再次列勾股方程求得k=11，算出面积30．
19．根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出件，每件盈利元． 每天可售出件，每件盈利元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天均可多售出件现两店每件衬衫同时降价元．
任务解决
（1）任务：降价后，甲店每天的销售量为　 　件用含的代数式表示；
（2）当时，求甲店每天的盈利；
（3）当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为元．
【答案】（1）
（2）当a=5时，甲店每件盈利为40-5=35元，销售量为20+2×5=30件，
∴甲店每天的盈利为35×30=1050（元）.
（3）设每件衬衫降价a元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元．
根据题意列方程得：（40-a）（20+2a）+（30-a）（32+2a）=2244，
整理得：a2-22a+121=0，
即（a-11）2=0，
解得a1=a2=11，
∴ 衬衫降价11元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 （1）每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价a元．
已知甲店原每天售出20件，每件降价1元多售出2件，现降价a元，因此多售出2a件，
∴降价后甲店每天的销售量为（20+2a）件
【分析】 （1）根据原销量加上降价增加的销量，列出含a的代数式；
（2）根据总盈利=每件盈利×销售量，代入a=5计算得到甲店盈利；
（3）根据总盈利为甲乙两店盈利之和，设未知数列出一元二次方程，解方程得到降价金额.
20．某校在一次数学活动中组织学生设计矩形花圃，花圃的一边可利用长为8 米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长 20 米。下面是小高和小周两位同学设计的方案(篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计)。
（1）如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD 的一边AD靠墙(AD≤8米)，另三边用篱笆围成.设AB的长为x米。
①求BC的长(用含x的代数式表示)。
②当花圃ABCD 面积为42平方米时，求x的值。
（2）如图2是小周同学设计的方案，花圃 EFGH的一边 EH 由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成，另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH面积能达到50平方米吗 请通过计算说明。
【答案】（1）①在矩形ABCD中， AB=CD=x，
所以BC=20-2x.
②因为花圃面积为42平方米，所以x(20-2x) =42，
解得x=3或x=7，
当x=3时，20-2x=20-2×3=14>8，不合题意，舍去.
当x=7时，20-2x=20-2×7=6<8，符合题意.
所以x=7.
（2）不能达到50平方米，理由如下：
设MH=a，则FG=EH=8+a，
假设面积能到50平方米， 则(8+a)(6-a)=50，即
因为根的判别式=4-4×1×2=-4<0
所以不能达到50平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①根据列式解答；
②根据矩形面积公式列方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设MH=a，表示EF长，根据面积公式列方程，整理为一般式后，根据根的判别式判断方程根的情况解答即可．
21．2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格 A款纪念品 B款纪念品
进货价（元/件） 20 15
销售价（元/件） 35 27
（1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元二次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；
（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；
（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.
22．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为x1，x2，则
材料2：已知实数m，n满足 且m≠n，则m，n是方程 的两个不相等的实数根.
（1）材料理解：一元二次方程 的两个根为x1，x2，则 　 　，　 　；
（2）应用探究：已知实数a，b满足： 且a≠b，求 的值；
（3）思维拓展：已知实数m，n满足： 求 的值.
【答案】（1）2；
（2）解：由题意得，实数a，b满足 且a≠b
因此a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系可得a+b=5， ab=1，
所以
（3）解：将方程 变形可得
又
分两种情况讨论：
①当m=2n时，
②当m≠2n时，m和2n是一元二次方程 的两个不相等的实数根根据根与系数的关系可得
由2mn=-3，得
综上， 的值为2或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：对于一元二次方程，
其中，，
根据根与系数的关系，可得，
故答案为：2；；
【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可；
（2）由题可知是方程的两个不相等实根，根据根与系数的关系得到 a+b=5， ab=1，然后提取公因式后整体代入计算即可；
（3）第二个方程变形为，可得m、2n是方程的两个根，分和两种情况，分别计算即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑