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第二章 《一元二次方程》能力卷-北师大版数学九上同步分层训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程. 有两个相等的实数根，则b的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程： 有两个相等的实数根，
则
解得
故选： B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可.
2．关于的一元二次方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵对于一元二次方程， ，，
∴判别式，
又∵任意实数的平方非负，即，
∴，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式，即可得到方程根的情况，据此解答即可.
3．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+3＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m＜6且m≠3
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数不能为0，即m-3≠0，得m≠3．
∵方程有两个实数根，
∴判别式Δ≥0．
∵该方程中a=m-3，b=6，c=3，
∴Δ=b2-4ac=62-4×(m-3)×3=36-12(m-3)=72-12m≥0，解得m≤6．
又∵m≠3，
∴m的取值范围是m≤6且m≠3．
故答案为：B.
【分析】先根据“一元二次方程”的定义，限制二次项系数不为0，求得m≠3；再根据“有两个实数根”的要求，利用判别式Δ≥0列不等式，求得m≤6；最后结合两个条件，得到m的取值范围m≤6且m≠3．
4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，
根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的应用中的增长率问题，找出变化以前的量8000辆，变化以后的量12000辆，以及变化次数2，即可列出方程。
5．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”.若两个一元二次方程可以写成和的形式（h和p相同，k1≠k2），则称它们是“伙伴方程”.如2（x-3）2-4=0与就是“伙伴方程”.已知2（x-1）2-1=0与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；配方法的应用
【解析】【解答】解：(a+1)x2+(b-2)x-2=0可以变形(a+1)(x-1)2-1=0.
即(a+1)x2+(b-2)x-2=(a+1)(x-1)2-1=(a+1)x2-2(a+1)x+a，
∴b-2=-2(a+1)， -2=a，
解得a=-2，b=4
∴ax2+bx+2026=-2x2+4x+2026=-2(x-1)2+2028
∴代数式ax2+bx+2026能取的最大值是2028.
故答案为：D.
【分析】根据“标准二次方程"的定义可得(a+1)x2+(b-2)x-2=0可以变形(a+1)(x-1)2-1=0，展开成一般式后根据系数相等列方程解得a=-2，b=4，最后根据ax2+bx+2026=-2x2+4x+2026=-2(x-1)2+2028求解即可.
6．已知方程（x2+3x）2+4（x2+3x）﹣45＝0，则该方程所有的实数根之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则原方程化为．
∵，
∴判别式，
∴，
即，．
∴或．
对于，即，判别式，无实数根．
对于，即，有实数根，根之和为．
∴所有实数根之和为．
故选：A．
【分析】设，则原方程化为，然后根据公式法求出y的值，然后把y的值代入先判断方程根的情况，然后再根据根于系数的关系解答即可．
7．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即x（x+2）=35为例，记载的方法如下：
构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：方程x2-5x-6=0，即x(x-5)=6的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为x-(x-5)=5，其面积为25.
大正方形的面积：(x+x-5)2=4x(x-5)+25=4×6+25=49，其边长为7，
因此，A选项所表示的图形符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据题意，画出方程x2-5x-6=0，即x(x-5)=6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案.
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一解为x=2024，则一元二次方程a（x-2）2+bx=2b-2必有一解为（　　）
A．x=2026 B．x=2025 C．x=2024 D．x=2022
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： a（x-2）2+bx=2b-2 ，
移项得a（x-2）2+b(x-2)+2=0，
该方程的解为x-2，且与方程ax2+bx+2=0 同解，
∴x-2=2024，
∴x=2026
故答案为：A .
【分析】 将方程a（x-2）2+bx=2b-2变形，即可得到与ax2+bx+2=0同形式的方程.
9．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有解；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．
④若，则方程必有两个不相等的实数根；
⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数．
其中，正确的有几个（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①将x=-1代入ax2+bx+c=0得a-b+c=0，故x=-1是方程的解，①正确；
②∵是方程的一个根，
∴，
∴，
当时，不一定等于，故②错误；
③∵的两根为x1与x2，且，
∴方程两边同除以，得，
∴和满足方程，故③正确；
④∵，
∴，
∴判别式，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴或a-c=0，
又∵，
∴、异号，
∴，
∴方程cx2+bx+a=0为，
∴，
解得，
∴两根互为相反数，故⑤正确；
综上，正确的结论有4个．
故答案为：C.
【分析】观察方程ax2+bx+c=0变形为a-b+c=0，实质就是将x=-1代入方程变形的结果，即方程有根为x=-1，据此可判断①；根据方程根的定义，将x=c代入ax2+bx+c=0后利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得当c=0时，ac+b+1=0不一定成立，据此可判断②； 方程ax2+bx+c=0两边同除以x2，得，然后根据方程根的定义可判断③；由a+c=0得c=-a，代入ax2+bx+c=0后利用根的判别式结合购书次幂的非负性可判断④；将等式ab-bc=0利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得b=0或a-c=0，结合判断出b=0，从而举哀那个b=0代入ax2+bx+c=0，利用直接开平方法求解即可判断⑤.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
⑤存在实数，使得
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，，
∴判别式，故①正确；
∵方程有两个不等实根，则其判别式，即，
∴方程的判别式，故②正确；
∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误；
∵是方程的根，则，，
，故④正确；
∵存在实数使，整理得(m-n)(am+an+b)=0，由于m≠n，则am+an+b=0，∴m+n=，∴m、n只需要取关于对称的即可，故⑤正确，
综上，正确的是①②④⑤．
故答案为：B．
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；据此对于①，若a+b+c=0，则x=1是方程的根，判别式一定非负；②由方程ax2+c=0有两个不相等实数根，则由根的判别式可推出ac＜0，进而推出原方程根的判别式大于0；③代入c后考虑c=0的特殊情况；④代入x0后，表示出c，进而求根的判别式，再用完全平方公式分解因式可判断；⑤由已知可推出am+an+b=0，则m+n=，故m、n只需要取关于对称的即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
由根与系数的关系得：，，
，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
故答案为：.
【分析】先根据方程根的情况得到，求出t的取值范围；再利用根与系数的关系得到，，将根据完全平方公式变形，整体代入得到关于t的一次函数，根据增减性求出最小值即可．
12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两根，且 则k的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x1，x2是关于x的一元二次方程 的两根，
∴b2-4ac≥0即4-4k≥0
解之：k≤1，
∴x1+x2=2，x1x2=k，
∵，
∴2≤3-2k，
解之：.
∴k的取值范围为，
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=2，x1x2=k，同时可得到b2-4ac≥0，结合已知条件可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴△=0且a-1≠0
∴（a-1）2-4（a-1）×=0且a≠1，
解之：a1=1，a2=-1，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a-1≠0，利用已知方程有两个相等的实数根可得到△=0，据此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
14．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由条件可得，mn=1，
对于任意正整数t有：
由于mn=1，则mtnt=(mn)t=1代入得：
∵，mn=1，
∴m>0，n>0，
∴2+mt+nt>0
∴恒成立，
因此S1+S2+…+St=t×1=t，
∵S1+S2+…+St=t2-90
∴t=t2-90.
整理得t2-t-90=0
解得t=10或t=-9(舍去)
故t=10
故答案为：10.
【分析】由根与系数的关系得，mn=1，计算，通分后恒等于1，故S1+S2+…+St=t，代入方程 t=t2-90求解即可.
15．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
16．有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若AB＝AC＝m，GF＝FE＝n，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n），则图形⑤的面积为　 　 ．
【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为，
∴图形⑤的面积为：，
∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，
∴
．
故答案为：29.
【分析】根据根与系数的关系得出，从图中可以看出，图形⑤边长为的正方形，利用完全平方公式的变形解答即可．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解下列一元二次方程.
（1）
（2） (x-1)(x+3)+5=0.
【答案】（1）解：
（2）解：(x-1)(x+3)+5=0，
将一元二次方程变为一般形式为：
∴原方程无实数解.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；
(2)先将方程变为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可.
18．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x1，x2.
（1）试求k的取值范围；
（2）若 试求k的值；
（3）若 试求 k的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2+k+1)≥0，解得k≤-1
（2）解：∵方程x2-2kx+k2+k+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，
∵+=(x1+x2)2-2x1x2=10，
∴(2k)2-2(k2+k+1)=10，
整理，得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2.
又∵k≤-1，∴k=-2
（3）解：由(2)可知：x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1.
∵k2+k+1=(k+)2+>0，
∴x1x2>0，
∵|x1|+|x2|=2，
∴(|x1|+|x2|)2=4，
∴+2|x1x2|+=4，
∵x1x2>0，
∴+2x1x2+=4，
∴(x1+x2)2=4，
∴(2k)2=4，∴k=±1.
又∵k≤-1，∴k=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程根的判别式列出不等式，进而得出答案；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由+=(x1+x2)2-2x1x2=10，即可得出答案；
（3）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由k2+k+1=(k+)2+>0可得x1x2>0，再由|x1|+|x2|=2得+2|x1x2|+=4，由x1x2>0可得(x1+x2)2=4，进而得出(2k)2=4，解得k值，再判断即可.
19．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
20． 如图，在长方形ABCD中，AB=5cm ，BC=6 cm，点 P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以 1 cm/s的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿边BC 向终点C 以 2cm /s的速度运动.如果点 P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点均停止运动.设运动时间为ts（t>0）.
（1）BQ=　 　 cm，PB=　 　 cm（用含 t的代数式表示）.
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm
（3）是否存在t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2t；(5-t)
（2）解：由题意，得(5-t)2+(2t)2=52，
解得t1=0(不合题意，舍去)，t2=2.
故当t=2时，PQ的长度等于5 cm
（3）解：存在.
由题意，得长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2).
若五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30-26=4(cm2)，
∴×(5-t)×2t=4，
解得t1=4(不合题意，舍去)，t2=1.
综上所述，存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，此时t的值为1
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)∵点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度运动，
∴AP=t cm.
∵AB=5 cm，∴PB=(5-t)cm.
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度运动，
∴BQ=2t cm.
故答案为2t，(5-t).
【分析】(1)根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP.再用AB-AP就可以求出PB的值；
(2)在中由 (1)结论根据勾股定理就可以求出其值；
(3)利用 (1)的结论，根据三角形的面积公式建立方程，解方程求出t的值解答即可.
21．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，若且则称这个方程为“限根方程”.比如：一元二次方程的两根为因所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33=0　 　“限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根x1，x2满足求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
【答案】（1）是
（2）解：根据题意得
整理得
因式分解，得(k-5)(k-6)=0，
解得
当k=5时，原方程化为此方程为“限根方程”；
当k=6时，原方程化为
因式分解，得((x+11)(x+4)=0，
解得
∴一元二次方程不是“限根方程“；
综上所述，k的值为5
（3）解：解方程得
关于x的一元二次方程是“限根方程”，
当m<-1时，
解得-4当-1解得
综上所述，m的取值范围为-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1)x2+14x+33=0
因式分解，得(x+11)(x+3)=0，
解得x1=-11，x2=-3，
∵x1，满足限根方程定义，
∴此方程是“限根方程”．
故答案为：是．
【分析】(1)先根据一元二次方程因式分解法求出两根x1=-11，x2=-3，再根据限根方程定义先验证x1(2)先根据韦达定理写出x1+x2，x1x2含k的代数式，再把变形为，代入韦达式子整理得到关于k的一元二次方程，解出k=5，k=6；最后分别代入k写出对应方程的两根，对照“限根方程”定义检验，舍去不符合的k=6，得到k=5；
(3)先因式分解求出方程固定两根x=-1，x=m，再根据限根方程x122．根据以下素材，探究完成任务：
制作长方体收纳盒
背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为60cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）.
方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD.
方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP.
⑴任务一 请用含x的代数式表示： 方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为 ▲ cm，底面宽AB为 ▲ cm.
⑵任务二 若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为8，求裁去小正方形的边长x的值.
⑶任务三 若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内.
【答案】（1）（60-2x）；（40-2x）；
（2）∵无盖收纳盒的底面长BC＝（60﹣2x）cm；底面宽AB＝（40﹣2x）cm；底面积为800cm2，
∴（60﹣2x）（40﹣2x）＝800，
解得x＝10或x＝40，
∵底面宽40﹣2x＞0，即x＜20，
∴x＝40舍去，
∴x＝10，
答：裁去小正方形的边长x的值为10；
（3）根据题意可知，收纳盒的高为bcm，
则盒子的底面的矩形MNOP中MN＝（40﹣2b）cm，
∵收纳盒的底面积为750cm2，
∴（40﹣2b）（30﹣b）＝750，
解得b＝5或b＝45（不合题意，舍去），
∴收纳盒的高为5cm，MN＝40﹣2×5＝30（cm），NO＝30﹣5＝25（cm），
∵书本为32cm，宽为22cm，厚度为4cm，
∴书本的最大边长32cm大于收纳盒的最大边长30cm，
∴书本不能完全放入该收纳盒内．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意无盖收纳盒的底面长BC＝（60﹣2x）cm；底面宽AB＝（40﹣2x）cm；
故答案为：（60﹣2x）；（40﹣2x）；
【分析】（1）根据题意可知，裁剪了2xcm，据此写出代数式即可；
（2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可；
（3）根据图示得出该收纳盒的高为bcm，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断．
23．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”设其两根为定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中若两个“全整根方程”的特征数对分别为则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①：特征数对M（9，20）；
方程②：特征数对M2（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：
（1）【概念辨析与计算】
已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.
（2）【关联探究与推理】
若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.
（3）【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程”与“全整根方程”且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.
【答案】（1）；x2=2；
②∵其特征数对为，
∴ ， ，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
（2）解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得： ，即 ，
代入得，
整理得．
两根积： ，展开得 ，
代入，得，
因此．
（3）解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对： ， ．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴ （）， ，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴ 是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）①解：①，
∴，
解得：或，
故答案为：；；
【分析】（1）①利用因式分解诶发求出方程的解即可；
②根据方程的特征数对出 ， ， 利用根与系数的关系得到得出，，即可得到，求出k的值解答即可．
（2）根据 方程 的根与系数的关系可得，，再根据方程的根为，可得 ，，然后整体代入表示p和q即可．
（3）解方程求出 ，得出方程B的特征数对．对方程A：可得，，求出特征数对，，根据“关联全整根方程”定义得出，即可得到，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出 是非负完全平方数，求出最大整数n的值即可．
24．【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
．
，
．
．
当，即时，的值最大，最大值是4．
根据上面的方法，求代数式的最大值；
【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元．
（1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示）
（2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量）
【答案】解：【初步思考】，
，
．
．
的最大值是14．
【推广运用】（1），
解：（2）∵，
，
．
．
当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元，
∴每件商品的利润为：元，
∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．
∴涨价后每天的销售量为：件，
故答案为：，；
【分析】【初步思考】所给关于x的二次三项式中，二次项系数为-1，故先利用添加括号法则将含字母的项放到前面带负号的括号内，从而在括号内加上一次项系数一半的平方“9”，为了保证等式值不变，再在括号内减去9，然后将括号内的前三项利用完全平方公式分解因式，第四项利用去括号法则展开后与常数项合并在一起，最后结合偶数次幂的非负性即可求出式子的最大值；
【推广运用】（1）根据涨价后销售一件商品的利润等于原来销售一件商品的利润+上涨的价格即可得出涨价后销售一件商品的利润；用涨价前每天销售的数量减去因为涨价每天少销售的数量即可得出涨价后每天的实际销售数量；
（2）根据每天销售的实际数量乘以每件商品的利润等于每天的总利润列出式子，然后利用多项式乘以多项式法则计算后，再利用那个配方法求出最值即可.
1 / 1第二章 《一元二次方程》能力卷-北师大版数学九上同步分层训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程. 有两个相等的实数根，则b的值为 (　　)
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+3＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m＜6且m≠3
4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”.若两个一元二次方程可以写成和的形式（h和p相同，k1≠k2），则称它们是“伙伴方程”.如2（x-3）2-4=0与就是“伙伴方程”.已知2（x-1）2-1=0与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
6．已知方程（x2+3x）2+4（x2+3x）﹣45＝0，则该方程所有的实数根之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．0
7．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即x（x+2）=35为例，记载的方法如下：
构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（　　）
A． B．
C． D．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一解为x=2024，则一元二次方程a（x-2）2+bx=2b-2必有一解为（　　）
A．x=2026 B．x=2025 C．x=2024 D．x=2022
9．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有解；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．
④若，则方程必有两个不相等的实数根；
⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数．
其中，正确的有几个（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
⑤存在实数，使得
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是　 　.
12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两根，且 则k的取值范围是　 　.
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
14．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
15．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
16．有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若AB＝AC＝m，GF＝FE＝n，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n），则图形⑤的面积为　 　 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解下列一元二次方程.
（1）
（2） (x-1)(x+3)+5=0.
18．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x1，x2.
（1）试求k的取值范围；
（2）若 试求k的值；
（3）若 试求 k的值.
19．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
20． 如图，在长方形ABCD中，AB=5cm ，BC=6 cm，点 P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以 1 cm/s的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿边BC 向终点C 以 2cm /s的速度运动.如果点 P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点均停止运动.设运动时间为ts（t>0）.
（1）BQ=　 　 cm，PB=　 　 cm（用含 t的代数式表示）.
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm
（3）是否存在t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由.
21．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，若且则称这个方程为“限根方程”.比如：一元二次方程的两根为因所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33=0　 　“限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根x1，x2满足求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
22．根据以下素材，探究完成任务：
制作长方体收纳盒
背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为60cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）.
方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD.
方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP.
⑴任务一 请用含x的代数式表示： 方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为 ▲ cm，底面宽AB为 ▲ cm.
⑵任务二 若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为8，求裁去小正方形的边长x的值.
⑶任务三 若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内.
23．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”设其两根为定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中若两个“全整根方程”的特征数对分别为则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①：特征数对M（9，20）；
方程②：特征数对M2（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：
（1）【概念辨析与计算】
已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.
（2）【关联探究与推理】
若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.
（3）【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程”与“全整根方程”且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.
24．【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
．
，
．
．
当，即时，的值最大，最大值是4．
根据上面的方法，求代数式的最大值；
【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元．
（1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示）
（2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程： 有两个相等的实数根，
则
解得
故选： B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵对于一元二次方程， ，，
∴判别式，
又∵任意实数的平方非负，即，
∴，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式，即可得到方程根的情况，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数不能为0，即m-3≠0，得m≠3．
∵方程有两个实数根，
∴判别式Δ≥0．
∵该方程中a=m-3，b=6，c=3，
∴Δ=b2-4ac=62-4×(m-3)×3=36-12(m-3)=72-12m≥0，解得m≤6．
又∵m≠3，
∴m的取值范围是m≤6且m≠3．
故答案为：B.
【分析】先根据“一元二次方程”的定义，限制二次项系数不为0，求得m≠3；再根据“有两个实数根”的要求，利用判别式Δ≥0列不等式，求得m≤6；最后结合两个条件，得到m的取值范围m≤6且m≠3．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，
根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的应用中的增长率问题，找出变化以前的量8000辆，变化以后的量12000辆，以及变化次数2，即可列出方程。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；配方法的应用
【解析】【解答】解：(a+1)x2+(b-2)x-2=0可以变形(a+1)(x-1)2-1=0.
即(a+1)x2+(b-2)x-2=(a+1)(x-1)2-1=(a+1)x2-2(a+1)x+a，
∴b-2=-2(a+1)， -2=a，
解得a=-2，b=4
∴ax2+bx+2026=-2x2+4x+2026=-2(x-1)2+2028
∴代数式ax2+bx+2026能取的最大值是2028.
故答案为：D.
【分析】根据“标准二次方程"的定义可得(a+1)x2+(b-2)x-2=0可以变形(a+1)(x-1)2-1=0，展开成一般式后根据系数相等列方程解得a=-2，b=4，最后根据ax2+bx+2026=-2x2+4x+2026=-2(x-1)2+2028求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则原方程化为．
∵，
∴判别式，
∴，
即，．
∴或．
对于，即，判别式，无实数根．
对于，即，有实数根，根之和为．
∴所有实数根之和为．
故选：A．
【分析】设，则原方程化为，然后根据公式法求出y的值，然后把y的值代入先判断方程根的情况，然后再根据根于系数的关系解答即可．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：方程x2-5x-6=0，即x(x-5)=6的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为x-(x-5)=5，其面积为25.
大正方形的面积：(x+x-5)2=4x(x-5)+25=4×6+25=49，其边长为7，
因此，A选项所表示的图形符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据题意，画出方程x2-5x-6=0，即x(x-5)=6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： a（x-2）2+bx=2b-2 ，
移项得a（x-2）2+b(x-2)+2=0，
该方程的解为x-2，且与方程ax2+bx+2=0 同解，
∴x-2=2024，
∴x=2026
故答案为：A .
【分析】 将方程a（x-2）2+bx=2b-2变形，即可得到与ax2+bx+2=0同形式的方程.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①将x=-1代入ax2+bx+c=0得a-b+c=0，故x=-1是方程的解，①正确；
②∵是方程的一个根，
∴，
∴，
当时，不一定等于，故②错误；
③∵的两根为x1与x2，且，
∴方程两边同除以，得，
∴和满足方程，故③正确；
④∵，
∴，
∴判别式，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴或a-c=0，
又∵，
∴、异号，
∴，
∴方程cx2+bx+a=0为，
∴，
解得，
∴两根互为相反数，故⑤正确；
综上，正确的结论有4个．
故答案为：C.
【分析】观察方程ax2+bx+c=0变形为a-b+c=0，实质就是将x=-1代入方程变形的结果，即方程有根为x=-1，据此可判断①；根据方程根的定义，将x=c代入ax2+bx+c=0后利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得当c=0时，ac+b+1=0不一定成立，据此可判断②； 方程ax2+bx+c=0两边同除以x2，得，然后根据方程根的定义可判断③；由a+c=0得c=-a，代入ax2+bx+c=0后利用根的判别式结合购书次幂的非负性可判断④；将等式ab-bc=0利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得b=0或a-c=0，结合判断出b=0，从而举哀那个b=0代入ax2+bx+c=0，利用直接开平方法求解即可判断⑤.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，，
∴判别式，故①正确；
∵方程有两个不等实根，则其判别式，即，
∴方程的判别式，故②正确；
∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误；
∵是方程的根，则，，
，故④正确；
∵存在实数使，整理得(m-n)(am+an+b)=0，由于m≠n，则am+an+b=0，∴m+n=，∴m、n只需要取关于对称的即可，故⑤正确，
综上，正确的是①②④⑤．
故答案为：B．
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；据此对于①，若a+b+c=0，则x=1是方程的根，判别式一定非负；②由方程ax2+c=0有两个不相等实数根，则由根的判别式可推出ac＜0，进而推出原方程根的判别式大于0；③代入c后考虑c=0的特殊情况；④代入x0后，表示出c，进而求根的判别式，再用完全平方公式分解因式可判断；⑤由已知可推出am+an+b=0，则m+n=，故m、n只需要取关于对称的即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
由根与系数的关系得：，，
，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
故答案为：.
【分析】先根据方程根的情况得到，求出t的取值范围；再利用根与系数的关系得到，，将根据完全平方公式变形，整体代入得到关于t的一次函数，根据增减性求出最小值即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x1，x2是关于x的一元二次方程 的两根，
∴b2-4ac≥0即4-4k≥0
解之：k≤1，
∴x1+x2=2，x1x2=k，
∵，
∴2≤3-2k，
解之：.
∴k的取值范围为，
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=2，x1x2=k，同时可得到b2-4ac≥0，结合已知条件可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴△=0且a-1≠0
∴（a-1）2-4（a-1）×=0且a≠1，
解之：a1=1，a2=-1，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a-1≠0，利用已知方程有两个相等的实数根可得到△=0，据此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
14．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由条件可得，mn=1，
对于任意正整数t有：
由于mn=1，则mtnt=(mn)t=1代入得：
∵，mn=1，
∴m>0，n>0，
∴2+mt+nt>0
∴恒成立，
因此S1+S2+…+St=t×1=t，
∵S1+S2+…+St=t2-90
∴t=t2-90.
整理得t2-t-90=0
解得t=10或t=-9(舍去)
故t=10
故答案为：10.
【分析】由根与系数的关系得，mn=1，计算，通分后恒等于1，故S1+S2+…+St=t，代入方程 t=t2-90求解即可.
15．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
16．【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为，
∴图形⑤的面积为：，
∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，
∴
．
故答案为：29.
【分析】根据根与系数的关系得出，从图中可以看出，图形⑤边长为的正方形，利用完全平方公式的变形解答即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：(x-1)(x+3)+5=0，
将一元二次方程变为一般形式为：
∴原方程无实数解.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；
(2)先将方程变为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可.
18．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2+k+1)≥0，解得k≤-1
（2）解：∵方程x2-2kx+k2+k+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，
∵+=(x1+x2)2-2x1x2=10，
∴(2k)2-2(k2+k+1)=10，
整理，得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2.
又∵k≤-1，∴k=-2
（3）解：由(2)可知：x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1.
∵k2+k+1=(k+)2+>0，
∴x1x2>0，
∵|x1|+|x2|=2，
∴(|x1|+|x2|)2=4，
∴+2|x1x2|+=4，
∵x1x2>0，
∴+2x1x2+=4，
∴(x1+x2)2=4，
∴(2k)2=4，∴k=±1.
又∵k≤-1，∴k=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程根的判别式列出不等式，进而得出答案；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由+=(x1+x2)2-2x1x2=10，即可得出答案；
（3）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由k2+k+1=(k+)2+>0可得x1x2>0，再由|x1|+|x2|=2得+2|x1x2|+=4，由x1x2>0可得(x1+x2)2=4，进而得出(2k)2=4，解得k值，再判断即可.
19．【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
20．【答案】（1）2t；(5-t)
（2）解：由题意，得(5-t)2+(2t)2=52，
解得t1=0(不合题意，舍去)，t2=2.
故当t=2时，PQ的长度等于5 cm
（3）解：存在.
由题意，得长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2).
若五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30-26=4(cm2)，
∴×(5-t)×2t=4，
解得t1=4(不合题意，舍去)，t2=1.
综上所述，存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，此时t的值为1
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)∵点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度运动，
∴AP=t cm.
∵AB=5 cm，∴PB=(5-t)cm.
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度运动，
∴BQ=2t cm.
故答案为2t，(5-t).
【分析】(1)根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP.再用AB-AP就可以求出PB的值；
(2)在中由 (1)结论根据勾股定理就可以求出其值；
(3)利用 (1)的结论，根据三角形的面积公式建立方程，解方程求出t的值解答即可.
21．【答案】（1）是
（2）解：根据题意得
整理得
因式分解，得(k-5)(k-6)=0，
解得
当k=5时，原方程化为此方程为“限根方程”；
当k=6时，原方程化为
因式分解，得((x+11)(x+4)=0，
解得
∴一元二次方程不是“限根方程“；
综上所述，k的值为5
（3）解：解方程得
关于x的一元二次方程是“限根方程”，
当m<-1时，
解得-4当-1解得
综上所述，m的取值范围为-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1)x2+14x+33=0
因式分解，得(x+11)(x+3)=0，
解得x1=-11，x2=-3，
∵x1，满足限根方程定义，
∴此方程是“限根方程”．
故答案为：是．
【分析】(1)先根据一元二次方程因式分解法求出两根x1=-11，x2=-3，再根据限根方程定义先验证x1(2)先根据韦达定理写出x1+x2，x1x2含k的代数式，再把变形为，代入韦达式子整理得到关于k的一元二次方程，解出k=5，k=6；最后分别代入k写出对应方程的两根，对照“限根方程”定义检验，舍去不符合的k=6，得到k=5；
(3)先因式分解求出方程固定两根x=-1，x=m，再根据限根方程x122．【答案】（1）（60-2x）；（40-2x）；
（2）∵无盖收纳盒的底面长BC＝（60﹣2x）cm；底面宽AB＝（40﹣2x）cm；底面积为800cm2，
∴（60﹣2x）（40﹣2x）＝800，
解得x＝10或x＝40，
∵底面宽40﹣2x＞0，即x＜20，
∴x＝40舍去，
∴x＝10，
答：裁去小正方形的边长x的值为10；
（3）根据题意可知，收纳盒的高为bcm，
则盒子的底面的矩形MNOP中MN＝（40﹣2b）cm，
∵收纳盒的底面积为750cm2，
∴（40﹣2b）（30﹣b）＝750，
解得b＝5或b＝45（不合题意，舍去），
∴收纳盒的高为5cm，MN＝40﹣2×5＝30（cm），NO＝30﹣5＝25（cm），
∵书本为32cm，宽为22cm，厚度为4cm，
∴书本的最大边长32cm大于收纳盒的最大边长30cm，
∴书本不能完全放入该收纳盒内．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意无盖收纳盒的底面长BC＝（60﹣2x）cm；底面宽AB＝（40﹣2x）cm；
故答案为：（60﹣2x）；（40﹣2x）；
【分析】（1）根据题意可知，裁剪了2xcm，据此写出代数式即可；
（2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可；
（3）根据图示得出该收纳盒的高为bcm，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断．
23．【答案】（1）；x2=2；
②∵其特征数对为，
∴ ， ，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
（2）解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得： ，即 ，
代入得，
整理得．
两根积： ，展开得 ，
代入，得，
因此．
（3）解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对： ， ．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴ （）， ，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴ 是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）①解：①，
∴，
解得：或，
故答案为：；；
【分析】（1）①利用因式分解诶发求出方程的解即可；
②根据方程的特征数对出 ， ， 利用根与系数的关系得到得出，，即可得到，求出k的值解答即可．
（2）根据 方程 的根与系数的关系可得，，再根据方程的根为，可得 ，，然后整体代入表示p和q即可．
（3）解方程求出 ，得出方程B的特征数对．对方程A：可得，，求出特征数对，，根据“关联全整根方程”定义得出，即可得到，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出 是非负完全平方数，求出最大整数n的值即可．
24．【答案】解：【初步思考】，
，
．
．
的最大值是14．
【推广运用】（1），
解：（2）∵，
，
．
．
当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元，
∴每件商品的利润为：元，
∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．
∴涨价后每天的销售量为：件，
故答案为：，；
【分析】【初步思考】所给关于x的二次三项式中，二次项系数为-1，故先利用添加括号法则将含字母的项放到前面带负号的括号内，从而在括号内加上一次项系数一半的平方“9”，为了保证等式值不变，再在括号内减去9，然后将括号内的前三项利用完全平方公式分解因式，第四项利用去括号法则展开后与常数项合并在一起，最后结合偶数次幂的非负性即可求出式子的最大值；
【推广运用】（1）根据涨价后销售一件商品的利润等于原来销售一件商品的利润+上涨的价格即可得出涨价后销售一件商品的利润；用涨价前每天销售的数量减去因为涨价每天少销售的数量即可得出涨价后每天的实际销售数量；
（2）根据每天销售的实际数量乘以每件商品的利润等于每天的总利润列出式子，然后利用多项式乘以多项式法则计算后，再利用那个配方法求出最值即可.
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