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3.1相似多边形（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 已知2x=3y (y≠0)， 则下列结论成立的是 (　　)
A． B． C． D．
2．如果，那么下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
4．若，则代数式的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知实数a，b满足 则 的值为　 　.
7．已知 若a+c=5，且b+d≠0，则b+d=　 　.
8．若（a+b）：b=3：2，则a：b=　 　.
9．若，则的值是　 　．
10．已知实数 满足 ，
（1）求出 的值
（2）若2a+4b=11，求出a，b的值.
11．已知，，是的三边长，且，，求的周长．
12．按要求进行计算.
（1）已知，求的值.
（2）已知，且，求的值.
二、巩固提升
13．已知=，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
14．已知 则n：m等于(　　)
A．7：1 B．1：7 C．4：5 D．5：4
15． 已知，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．-2
16．已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
17．若则　 　.
18．如图，已知甲、乙两张长方形纸条等宽，且它们的长分别为，，若将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，会形成一张长为的纸条，则　 　．
19．已知，且，则　 　．
20．若，则　 　.
21．（1）已知，求；
（2）已知，求证：．
22．已知线段a，b，c满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值．
三、能力应用
23．已知，，，是的三边，且，，求的面积.
24．已知，，，，，六个数，如果，那么．
理由如下：
，
，，第一步，
第二步．
（1）解题过程中第一步应用了　 　的基本性质；在第二步解题过程中，应用了　 　的基本性质；
（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
如果，则 _▲_；
已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y(y≠0)，
∴
故选：D.
【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可.
2．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，，，不一定等于10；
∴A，C，D都不符合题意，B符合题意；
故答案为：B .
【分析】利用比例的基本性质逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：原式
∵
∴原式
故选：C.
【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可.
4．【答案】D
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】根据得，代入代数式求值即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】已知 ，我们可以用两种方法求解：
方法一：等比性质
因为 ，且 ，根据等比性质可得：
方法二：代入消元
由 ，得 ；
由 ，得 。
将和代入：
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是等比性质的应用：当两个比相等时，它们的前项之和与后项之和的比，仍等于原来的比值（后项之和不为0）。
也可以通过“设比例系数”的方法，把和都用和表示出来，再代入分式化简求值。
6．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a=，
∴==，
故答案为：.
【分析】利用可得a=，再将其代入计算即可.
7．【答案】15
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∵a+c=5，
∴，即
∴b+d=15
故答案为：15
【分析】根据等式性质可得，再代入等式，化简即可求出答案.
8．【答案】1：2（表示为亦可）
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】比例式转化为乘积式，可得结论.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
设，
，
故答案为：．
【分析】设，再代入分式，化简即可求出答案.
10．【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设a=5k，b=3k(k≠0)，
2a+4b=11
2×5k+4×3k=11
解得
∴，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)由可得，将其代入即可求解；
(2)设比例系数为k，则a=5k，b=3k，代入方程2a+4b=11，得到关于k的一元一次方程，求出，再代入即可求解.
11．【答案】解：设，则，，．
∵，
，解得．
的周长为．
答：的周长为18.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】求三角形的周长，实质是求三角形的三条边长，由比例的基本性质可设这一组比例式的值为k，则a、b、c三边都可用含k的代数式表示，再借助a、b、c的数量关系即可。
12．【答案】（1）解：
（2）解：
设
解得：
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)把 代入式子中进行计算，即可解答；
(2)利用设k法进行计算，即可解答.
13．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式= ．
故选B．
【分析】根据=，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．　
14．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出7m=n，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案.
15．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴2x-2y=3x，即-2y=x
∴
故答案为：D.
【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可.
16．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：令a，b分别等于13和5，
∵ ，
∴a=13，b=5
∴ = = ；
故选D．
【分析】先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．
17．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设(k≠0)，则x=2k，y=3k，z=4k，
∴
故答案为：.
【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值.
18．【答案】66
【知识点】比例的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可知，重叠部分为：，
设重叠部分的长度为，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得，
．
故答案为：．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是利用重叠部分长度相等建立关系。由题意可知，甲纸条的与乙纸条的长度相等，设重叠部分长度为k，则、；重叠后纸条的总长度为，化简得；将、代入该等式，解方程求出k的值，再代入计算即可。
19．【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】设，则，进而得到关于k的方程：，则，进而计算即可.
20．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=2a，d=2c，f=2e，
∴.
故答案为：.
【分析】由等比的性质得b=2a，d=2c，f=2e，从而整体代入待求式子，分母利用提取公因式法分解因式后，约分化简即可.
21．【答案】解：（1）设，且，
∴；
（2）证明：设，则，，
∴，
∴．
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【分析】（1）设，且，然后代入计算即可．
（2）设，则，，然后代入计算即可得证．
22．【答案】（1）解：设.(k≠0)
则a=3k，b=4k，c=5k
∵a+2b+c=32
∴3k+8k+5k=32
∴k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵线段a，b，c，d成比例比例线段
∴.
∵a=6，b=8，c=10
∴.
∴d=，
∵，
∴d=
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】(1)根据，设出a=3k，b=4k，c=5k，代入求解即可；
(2)由(1)可知a=6，b=8，c=10，根据线段a，b，c，d成比例比例线段得 ，代入求值，最后根据线段长度大于零即可得到结果.
23．【答案】解：设，
∴，，，
又∵，∴，
∴，∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为6.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质
【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
24．【答案】（1）等比；合比
（2）解：②设 ，
则 ，
【知识点】等式的基本性质；比例的性质
【解析】【解答】解：（1） 根据题意得：解题过程中第一步应用了等比的基本性质；在第二步解题过程中，应用了合比的基本性质；
故答案为：等比，合比.
（2）①∵，
∴2a=10，b=12，c=14，
∴=2；
故答案为：2.
【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可；
（2）①由可得2a=10，b=12，c=14，然后直接代入求值即可；
②可设，可得，再代入计算即可.
1 / 13.1相似多边形（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 已知2x=3y (y≠0)， 则下列结论成立的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y(y≠0)，
∴
故选：D.
【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可.
2．如果，那么下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，，，不一定等于10；
∴A，C，D都不符合题意，B符合题意；
故答案为：B .
【分析】利用比例的基本性质逐项判断解答即可．
3．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：原式
∵
∴原式
故选：C.
【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可.
4．若，则代数式的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】根据得，代入代数式求值即可得答案.
5．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】已知 ，我们可以用两种方法求解：
方法一：等比性质
因为 ，且 ，根据等比性质可得：
方法二：代入消元
由 ，得 ；
由 ，得 。
将和代入：
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是等比性质的应用：当两个比相等时，它们的前项之和与后项之和的比，仍等于原来的比值（后项之和不为0）。
也可以通过“设比例系数”的方法，把和都用和表示出来，再代入分式化简求值。
6．已知实数a，b满足 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a=，
∴==，
故答案为：.
【分析】利用可得a=，再将其代入计算即可.
7．已知 若a+c=5，且b+d≠0，则b+d=　 　.
【答案】15
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∵a+c=5，
∴，即
∴b+d=15
故答案为：15
【分析】根据等式性质可得，再代入等式，化简即可求出答案.
8．若（a+b）：b=3：2，则a：b=　 　.
【答案】1：2（表示为亦可）
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】比例式转化为乘积式，可得结论.
9．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
设，
，
故答案为：．
【分析】设，再代入分式，化简即可求出答案.
10．已知实数 满足 ，
（1）求出 的值
（2）若2a+4b=11，求出a，b的值.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设a=5k，b=3k(k≠0)，
2a+4b=11
2×5k+4×3k=11
解得
∴，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)由可得，将其代入即可求解；
(2)设比例系数为k，则a=5k，b=3k，代入方程2a+4b=11，得到关于k的一元一次方程，求出，再代入即可求解.
11．已知，，是的三边长，且，，求的周长．
【答案】解：设，则，，．
∵，
，解得．
的周长为．
答：的周长为18.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】求三角形的周长，实质是求三角形的三条边长，由比例的基本性质可设这一组比例式的值为k，则a、b、c三边都可用含k的代数式表示，再借助a、b、c的数量关系即可。
12．按要求进行计算.
（1）已知，求的值.
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：
设
解得：
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)把 代入式子中进行计算，即可解答；
(2)利用设k法进行计算，即可解答.
二、巩固提升
13．已知=，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式= ．
故选B．
【分析】根据=，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．　
14．已知 则n：m等于(　　)
A．7：1 B．1：7 C．4：5 D．5：4
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出7m=n，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案.
15． 已知，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴2x-2y=3x，即-2y=x
∴
故答案为：D.
【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可.
16．已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：令a，b分别等于13和5，
∵ ，
∴a=13，b=5
∴ = = ；
故选D．
【分析】先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．
17．若则　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设(k≠0)，则x=2k，y=3k，z=4k，
∴
故答案为：.
【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值.
18．如图，已知甲、乙两张长方形纸条等宽，且它们的长分别为，，若将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，会形成一张长为的纸条，则　 　．
【答案】66
【知识点】比例的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可知，重叠部分为：，
设重叠部分的长度为，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得，
．
故答案为：．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是利用重叠部分长度相等建立关系。由题意可知，甲纸条的与乙纸条的长度相等，设重叠部分长度为k，则、；重叠后纸条的总长度为，化简得；将、代入该等式，解方程求出k的值，再代入计算即可。
19．已知，且，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】设，则，进而得到关于k的方程：，则，进而计算即可.
20．若，则　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=2a，d=2c，f=2e，
∴.
故答案为：.
【分析】由等比的性质得b=2a，d=2c，f=2e，从而整体代入待求式子，分母利用提取公因式法分解因式后，约分化简即可.
21．（1）已知，求；
（2）已知，求证：．
【答案】解：（1）设，且，
∴；
（2）证明：设，则，，
∴，
∴．
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【分析】（1）设，且，然后代入计算即可．
（2）设，则，，然后代入计算即可得证．
22．已知线段a，b，c满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值．
【答案】（1）解：设.(k≠0)
则a=3k，b=4k，c=5k
∵a+2b+c=32
∴3k+8k+5k=32
∴k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵线段a，b，c，d成比例比例线段
∴.
∵a=6，b=8，c=10
∴.
∴d=，
∵，
∴d=
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】(1)根据，设出a=3k，b=4k，c=5k，代入求解即可；
(2)由(1)可知a=6，b=8，c=10，根据线段a，b，c，d成比例比例线段得 ，代入求值，最后根据线段长度大于零即可得到结果.
三、能力应用
23．已知，，，是的三边，且，，求的面积.
【答案】解：设，
∴，，，
又∵，∴，
∴，∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为6.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质
【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
24．已知，，，，，六个数，如果，那么．
理由如下：
，
，，第一步，
第二步．
（1）解题过程中第一步应用了　 　的基本性质；在第二步解题过程中，应用了　 　的基本性质；
（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
如果，则 _▲_；
已知，求的值．
【答案】（1）等比；合比
（2）解：②设 ，
则 ，
【知识点】等式的基本性质；比例的性质
【解析】【解答】解：（1） 根据题意得：解题过程中第一步应用了等比的基本性质；在第二步解题过程中，应用了合比的基本性质；
故答案为：等比，合比.
（2）①∵，
∴2a=10，b=12，c=14，
∴=2；
故答案为：2.
【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可；
（2）①由可得2a=10，b=12，c=14，然后直接代入求值即可；
②可设，可得，再代入计算即可.
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