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3.1探索三角形相似的条件（1）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）.
2．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、由图可知：，
若，则，
∴∽，
∴此选项不符合题意；
B、若，由图可知：，不能判定与相似，
∴此选项符合题意；
C、若，由图可知：，
∴∽，
∴此选项不符合题意；
D、若，由图可知：，
∴∽，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B=∠C，结合已知，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判断求解；
B、由题意，不符合“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”，于是根据条件不能判断两个三角形相似；
C、由题意，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判断求解；
D、由题意，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可断求解．
3．如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为　 　（填一个即可）．
【答案】或（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
【分析】由三角形高线定义得 ∠ADC=∠CDB=90°， 利用有两组角相等的两个三角形相似得，然后由同角得余角相等得，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得，于是得解．
4．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当　 　度时，．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
时，，，
，
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得出，由，，得出答案．
5．如图，若，．求证： ．
【答案】证明：，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】等角相加同角，角相等，得，利用相似三角形的条件AA判定
6．如图，在△ABC中，D，E分别在AC，AB上，连接DE，已知∠ADE＝∠ABC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AB＝8，AD＝CD＝3，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC
又∵∠A＝∠A
∴△EBF∽△DBC(AA)
（2）解：∵AD=CD=3，
∴AC=6，
由(1)可得，
∵△EBF∽△DBC
∴ ，
∵AB＝8，AD＝CD＝3，AC=6，
∴
∴AE=
∴BE=AB-AE=8-=
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由已知∠ADE＝∠ABC和公共角∠A＝∠A可证；
(2)由(1)可得 ，根据线段和差可以算出AC的值，代入计算出AE，再由线段和差即可算出BE.
7．已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：．
【答案】解：∵ ，∠DEC=∠EAD+∠ADE，∠ADB=∠EAD+∠C，
∴∠ADE=∠C，
在△AED和△ADC中，
，
∴△AED∽△ADC（AA）.
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可得∠ADE=∠C，再结合公共角即可证明△AED∽△ADC.
8．如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
【答案】证明∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得，由等量代换得，再由公共角即可证明.
9．如图，在中，，于D．
求证：．
【答案】证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）分析判断即可.
10．如图， 矩形ABCD中， M为BC上一点， F是AM的中点， EF交AD的于点E， 且BM·AE=AF·AM.
（1） 求证： △ABM∽△EFA；
（2） 若AB=8， BM=6， 求 EF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证；
（2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解．
二、巩固提升
11． 如图，在中，点是中点，连结并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连结，若的面积为2，则四边形的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∴△ADE∽△FCE，
∴，即AD=CF=BC，AE=EF，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得到△ADE∽△FCE，即可得到AD=CF=BC，AE=EF，然后根据中线分出的三角形的面积相等求出，，再根据，求出，然后根据计算即可.
12．如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A'BC'的位置，AC与A'C'交于点E，AC与BC'交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．AE=EF B．∠ABA'=∠CBC'
C．△ABC≌△A'BC' D．△BCF∽△EC'F
【答案】A
【知识点】旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，，，
∴选项B与选项C不符合题意，
∵，
∴，
又∵，
∴ ，故选项D不符合题意，
在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据旋转的性质和相似三角形的判定定理逐项判断即可.
13． 如图， 在正方形ABCD 中， △BPC 是等边三角形， BP， CP的延长线分别交AD于点 E， F， 连接BD， DP， BD 与CF相交于点H， 给出下列结论： ①BE=2AE； ②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB； ④DP2=PH·PC.其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH PC，故④正确；
故选C．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得ABE=∠DCF=30°，然后根据30°的直角三角形的性质判断①；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠FDP=∠PBD，再根据∠DFP=∠BPC=60°证明两三角形相似判断②；得到∠PFD≠∠PDB判断③；根据两角对应相等得到△DPH∽△CPD，根据对应边成比例判断④解答即可．
14．如图，AC⊥BD，O为垂足，△AOD 的中线EO 的延长线交BC 于点F，∠C=∠D.若OE=OB=5，OC=12，则OD 的长为 (　　)
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在OB=5，OC=12，
，
在OE=5
，
在中
，
故选：C.
【分析】先在中根据勾股定理求出，再证，最后根据相似比求出结果即可.
15．如图， B、F、C三点共线， AC与BD 相交于点E， AB∥EF∥DC， 若BE：ED=3：5，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵AC与BD相交于点E，
∴
∴，
∵
∴，
故答案为：C .
【分析】由，证明，则，即可作答．
16．如图，在矩形 AB-CD 中，E 为AD 边的中点，连结 BE，过点 C作CF⊥BE，垂足为F.若AB=4，AD=6，则CF 的长为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4， AD=BC=6，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE=3，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
∵∠ABE+∠FBC =∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠ABE=∠FCB，
∴△ABE∽△FCB，
故答案为：
【分析】根据矩形的性质得到，∠A=∠D=90°，然后根据勾股定理求出BE长，然后再根据两角对应相等证明△ABE∽△FCB， 根据对应边成比例解答即可.
17． 如图， 已知△ABC∽△ACD， 若AB=9， AD=4， 则AC的长为　 　.
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△ACD，
∴，
∵ AB=9， AD=4，
∴AC2=AB×AD=36，
∴AC=6，
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形性质 (对应边成比例)建立方程求解AC的长度.
18．如图，在正方形 ABCD 中，点 是边 BC上的一点(不与B，C 重合)，将线段 AM 绕点 顺时针旋转得到 AN，连接 DN，MN，AC.MN 与边 AD 交于点 ，与 AC 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）当 AM 平分 时，求证：
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠CAD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CDA=∠B=90°，
∴∠BAM+∠MAD=90°，
∵将线段AM绕点A 顺时针旋转90°得到AN，
∴∠MAN=90°，AM=AN，
∴∠MAD+∠DAN=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∵AD=AB，AM=AN，
∴△ABM≌△ADN(SAS).
（2）证明：∵AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠MNA=45°，
∴∠BCA=∠MNA，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM=∠BAM=22.5°，
∵∠DAN=∠BAM=22.5°，
∴∠CAM=∠NAD，
∴△AMC∽△AEN，
∴AM·AN=AC·AE，
∴AM2=AC·AE.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据旋转可得，，即可得到出，利用SAS得到两三角形全等即可；
（2）先根据等边对等角得到，再根据角平分线的定义和全等三角形的性质得到，即可证明，然后根据对应边成比例得到结论即可．
19． 如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， D为AB上一点， 且. ，E为CD上一点，连接AE 并延长交BC于点 F.
（1） 求证： △ADC∽△EDA；
（2） 若CD⊥AB于点D， E为CD的中点， 求EF的长.
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB， ∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠CAD+∠B=90°， ∠CAD+∠ACD=90°
∴∠B=∠ACD
∵AF=BF
∴∠B=∠BAC
∴∠ACD=∠BAC
∵∠ADC=∠EDA
∴△ADC∽△EDA
（2）解：∵△ADC∽△EDA
∵点 E为CD的中点，
∴DE=1
在Rt△ADE 中，
过点D作DG∥BC， 交AE 于点G，则G为AE 中点
，∠GDE＝∠FCE，
∵点E为CD的中点，∠DEG＝∠CEF，
∴△GED≌△FEC
∴EF=GE
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明∠ACD＝∠BAC，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）求出，过点D作DG∥BC，交AE于点G，则G为AE中点，则，∠GDE＝∠FCE，证明△GED≌△FEC（ASA），得出EF＝GE，则可得出答案．
20．如图，在等边中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明：如图
，
又在等边中，
（ASA），
（2）解：，
又
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明BD＝CE，可证明这两条边所在的三角形全等，即；由于等边三角形的三边相等，三个内角相等且都是60度，即，还缺少一个条件，此时可借助三角形外角的性质结合已知条件得出，则利用ASA即可证明全等；
（2）求值，观察图形知这两条边分别在和中，由于可证，由相似的性质知化比例式为等积式得，由前面全等的性质可计算.
三、能力应用
21．综合与实践
问题情境：
在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N，
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
【答案】（1）
解：四边形为矩形，理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）
解：连接．
在中，，
∴， ．
∵点为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即：，
∴．
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理，得到：，得到，结合已知，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可求解；
（2）连接，在中，用勾股定理求得BC的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=BC求得CD=AD的值，由等边对等角可得∠2=∠C，由等角的余角想到可得∠1=∠2，结合图形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
22．如图，在四边形ACBD中，AB⊥CD且AB平分 CD，∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F，使CF＝2AF.
（1）求证：E是BD的中点.
（2）若∠CAF的平分线AG交BC于点G，交 CB于点 H， 求证： BD·AH＝AG·AF.
【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即
故．
（2）证明：据（1）可知，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；菱形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用菱形根据菱形的性质得到，再根据等角对等边得到，即可得到，然后根据平行线得到，即可得到，根据两角相等证明，根据对应边成比求出，证明结论即可；
（2）先根据三角形的外角和角的和差得到，利用角平分线可得，进而得到，根据对应边成比例证明即可．
1 / 13.1探索三角形相似的条件（1）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为　 　（填一个即可）．
4．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当　 　度时，．
5．如图，若，．求证： ．
6．如图，在△ABC中，D，E分别在AC，AB上，连接DE，已知∠ADE＝∠ABC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AB＝8，AD＝CD＝3，求BE的长．
7．已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：．
8．如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
9．如图，在中，，于D．
求证：．
10．如图， 矩形ABCD中， M为BC上一点， F是AM的中点， EF交AD的于点E， 且BM·AE=AF·AM.
（1） 求证： △ABM∽△EFA；
（2） 若AB=8， BM=6， 求 EF的长.
二、巩固提升
11． 如图，在中，点是中点，连结并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连结，若的面积为2，则四边形的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
12．如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A'BC'的位置，AC与A'C'交于点E，AC与BC'交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．AE=EF B．∠ABA'=∠CBC'
C．△ABC≌△A'BC' D．△BCF∽△EC'F
13． 如图， 在正方形ABCD 中， △BPC 是等边三角形， BP， CP的延长线分别交AD于点 E， F， 连接BD， DP， BD 与CF相交于点H， 给出下列结论： ①BE=2AE； ②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB； ④DP2=PH·PC.其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
14．如图，AC⊥BD，O为垂足，△AOD 的中线EO 的延长线交BC 于点F，∠C=∠D.若OE=OB=5，OC=12，则OD 的长为 (　　)
A．8 B． C． D．
15．如图， B、F、C三点共线， AC与BD 相交于点E， AB∥EF∥DC， 若BE：ED=3：5，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
16．如图，在矩形 AB-CD 中，E 为AD 边的中点，连结 BE，过点 C作CF⊥BE，垂足为F.若AB=4，AD=6，则CF 的长为　 　.
17． 如图， 已知△ABC∽△ACD， 若AB=9， AD=4， 则AC的长为　 　.
18．如图，在正方形 ABCD 中，点 是边 BC上的一点(不与B，C 重合)，将线段 AM 绕点 顺时针旋转得到 AN，连接 DN，MN，AC.MN 与边 AD 交于点 ，与 AC 相交于点 .
（1）求证： ；
（2）当 AM 平分 时，求证：
19． 如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， D为AB上一点， 且. ，E为CD上一点，连接AE 并延长交BC于点 F.
（1） 求证： △ADC∽△EDA；
（2） 若CD⊥AB于点D， E为CD的中点， 求EF的长.
20．如图，在等边中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点.
（1）求证：；
（2）求的值.
三、能力应用
21．综合与实践
问题情境：
在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N，
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
22．如图，在四边形ACBD中，AB⊥CD且AB平分 CD，∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F，使CF＝2AF.
（1）求证：E是BD的中点.
（2）若∠CAF的平分线AG交BC于点G，交 CB于点 H， 求证： BD·AH＝AG·AF.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、由图可知：，
若，则，
∴∽，
∴此选项不符合题意；
B、若，由图可知：，不能判定与相似，
∴此选项符合题意；
C、若，由图可知：，
∴∽，
∴此选项不符合题意；
D、若，由图可知：，
∴∽，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B=∠C，结合已知，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判断求解；
B、由题意，不符合“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”，于是根据条件不能判断两个三角形相似；
C、由题意，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判断求解；
D、由题意，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可断求解．
3．【答案】或（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
【分析】由三角形高线定义得 ∠ADC=∠CDB=90°， 利用有两组角相等的两个三角形相似得，然后由同角得余角相等得，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得，于是得解．
4．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
时，，，
，
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得出，由，，得出答案．
5．【答案】证明：，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】等角相加同角，角相等，得，利用相似三角形的条件AA判定
6．【答案】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC
又∵∠A＝∠A
∴△EBF∽△DBC(AA)
（2）解：∵AD=CD=3，
∴AC=6，
由(1)可得，
∵△EBF∽△DBC
∴ ，
∵AB＝8，AD＝CD＝3，AC=6，
∴
∴AE=
∴BE=AB-AE=8-=
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由已知∠ADE＝∠ABC和公共角∠A＝∠A可证；
(2)由(1)可得 ，根据线段和差可以算出AC的值，代入计算出AE，再由线段和差即可算出BE.
7．【答案】解：∵ ，∠DEC=∠EAD+∠ADE，∠ADB=∠EAD+∠C，
∴∠ADE=∠C，
在△AED和△ADC中，
，
∴△AED∽△ADC（AA）.
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可得∠ADE=∠C，再结合公共角即可证明△AED∽△ADC.
8．【答案】证明∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得，由等量代换得，再由公共角即可证明.
9．【答案】证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）分析判断即可.
10．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证；
（2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解．
11．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∴△ADE∽△FCE，
∴，即AD=CF=BC，AE=EF，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得到△ADE∽△FCE，即可得到AD=CF=BC，AE=EF，然后根据中线分出的三角形的面积相等求出，，再根据，求出，然后根据计算即可.
12．【答案】A
【知识点】旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，，，
∴选项B与选项C不符合题意，
∵，
∴，
又∵，
∴ ，故选项D不符合题意，
在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据旋转的性质和相似三角形的判定定理逐项判断即可.
13．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH PC，故④正确；
故选C．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得ABE=∠DCF=30°，然后根据30°的直角三角形的性质判断①；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠FDP=∠PBD，再根据∠DFP=∠BPC=60°证明两三角形相似判断②；得到∠PFD≠∠PDB判断③；根据两角对应相等得到△DPH∽△CPD，根据对应边成比例判断④解答即可．
14．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在OB=5，OC=12，
，
在OE=5
，
在中
，
故选：C.
【分析】先在中根据勾股定理求出，再证，最后根据相似比求出结果即可.
15．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵AC与BD相交于点E，
∴
∴，
∵
∴，
故答案为：C .
【分析】由，证明，则，即可作答．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4， AD=BC=6，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE=3，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
∵∠ABE+∠FBC =∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠ABE=∠FCB，
∴△ABE∽△FCB，
故答案为：
【分析】根据矩形的性质得到，∠A=∠D=90°，然后根据勾股定理求出BE长，然后再根据两角对应相等证明△ABE∽△FCB， 根据对应边成比例解答即可.
17．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△ACD，
∴，
∵ AB=9， AD=4，
∴AC2=AB×AD=36，
∴AC=6，
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形性质 (对应边成比例)建立方程求解AC的长度.
18．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠CAD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CDA=∠B=90°，
∴∠BAM+∠MAD=90°，
∵将线段AM绕点A 顺时针旋转90°得到AN，
∴∠MAN=90°，AM=AN，
∴∠MAD+∠DAN=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∵AD=AB，AM=AN，
∴△ABM≌△ADN(SAS).
（2）证明：∵AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠MNA=45°，
∴∠BCA=∠MNA，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM=∠BAM=22.5°，
∵∠DAN=∠BAM=22.5°，
∴∠CAM=∠NAD，
∴△AMC∽△AEN，
∴AM·AN=AC·AE，
∴AM2=AC·AE.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据旋转可得，，即可得到出，利用SAS得到两三角形全等即可；
（2）先根据等边对等角得到，再根据角平分线的定义和全等三角形的性质得到，即可证明，然后根据对应边成比例得到结论即可．
19．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB， ∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠CAD+∠B=90°， ∠CAD+∠ACD=90°
∴∠B=∠ACD
∵AF=BF
∴∠B=∠BAC
∴∠ACD=∠BAC
∵∠ADC=∠EDA
∴△ADC∽△EDA
（2）解：∵△ADC∽△EDA
∵点 E为CD的中点，
∴DE=1
在Rt△ADE 中，
过点D作DG∥BC， 交AE 于点G，则G为AE 中点
，∠GDE＝∠FCE，
∵点E为CD的中点，∠DEG＝∠CEF，
∴△GED≌△FEC
∴EF=GE
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明∠ACD＝∠BAC，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）求出，过点D作DG∥BC，交AE于点G，则G为AE中点，则，∠GDE＝∠FCE，证明△GED≌△FEC（ASA），得出EF＝GE，则可得出答案．
20．【答案】（1）证明：如图
，
又在等边中，
（ASA），
（2）解：，
又
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明BD＝CE，可证明这两条边所在的三角形全等，即；由于等边三角形的三边相等，三个内角相等且都是60度，即，还缺少一个条件，此时可借助三角形外角的性质结合已知条件得出，则利用ASA即可证明全等；
（2）求值，观察图形知这两条边分别在和中，由于可证，由相似的性质知化比例式为等积式得，由前面全等的性质可计算.
21．【答案】（1）
解：四边形为矩形，理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）
解：连接．
在中，，
∴， ．
∵点为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即：，
∴．
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理，得到：，得到，结合已知，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可求解；
（2）连接，在中，用勾股定理求得BC的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=BC求得CD=AD的值，由等边对等角可得∠2=∠C，由等角的余角想到可得∠1=∠2，结合图形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
22．【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即
故．
（2）证明：据（1）可知，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；菱形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用菱形根据菱形的性质得到，再根据等角对等边得到，即可得到，然后根据平行线得到，即可得到，根据两角相等证明，根据对应边成比求出，证明结论即可；
（2）先根据三角形的外角和角的和差得到，利用角平分线可得，进而得到，根据对应边成比例证明即可．
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