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3.2 探索三角形相似的条件（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AB，AC 上，且DE 与 BC 不平行.下列条件中，能判定△ADE∽△ACB的是(　　)
A． B． C． D．
2． 已知△ABC 如图，则图所示的四个三角形中，与△ABC 相似的是 (　　)
A． B． C． D．
3．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，小正方形的边长均为1．则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是　 　（填序号）
6． 如图， 已知AB∥DC， 点E、F在线段BD上， AB=2DC， BE=2DF.
（1） 求证： △ABE∽△CDF；
（2） 若BD=8， DF=2， 求EF的长.
7．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：．
8． 如图，在△ABC中，点 D 在AB 上，连结CD.已知 求证：△ACD∽△ABC.
二、巩固提升
9． 如图，在△ABC 中，BC=9，∠ABC 的平分线交 AC 于点 F，点 D，E 分别在边AB，AC 上.若 则BD-DE 的值为(　　)
A．3 B． C．4 D．
10．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且 则有如下两个结论：① △AOB∽△COD；② △AOD∽△BOC.下列关于结论①②的判断，正确的是 (　　)
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
11．如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD
C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD
13． 如图，在△ABC中，点M 在边BC上，点 N 在AM 上， 则下列结论正确的是(　　)
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
14．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
15．如图，由边长为 1 的小正方形组成的6×6的网格中，△ABC 的顶点都是网格的格点，点 D 在 BC 边上，且 BD=2CD.
（1）BD 的长为　 　；
（2）请你仅用无刻度的直尺在边 AB 上找点E，使得△BDE 与△ABC 相似.(要求画出两种情形)
16． 如图，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是 F，E，连结EF.求证：
（1）△BAF∽△BCE.
（2）△BEF∽△BCA.
17．已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：．
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若∠BCD＝150°，求∠BAC的度数．
三、能力应用
19．如图，在中，为边上一点，．
（1）求证：．
（2）如果，求的长．
20．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点，连接，使；
（2）在图②中的边上确定一点，连接，使；
（3）在图③中的边上确定一点，连接，使．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在 与 中，
且
故答案为：A .
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=75°，即∠A=30°，
根据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可得符合的选项为D，
故答案为：D .
【分析】根据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定；
当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案．
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，，
观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，如图，
则，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】求出，，，观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，然后求出，，，从而得，，进而由相似三角形的判定证明.
5．【答案】①②或①③
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即．
当或时，．即①②或①③符合题意．
故答案为：①②或①③.
【分析】由角的构成及等量加等量和相等可推出∠DAE=∠BAC，当∠B=∠D时，用有两组角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE；当，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE.
6．【答案】（1）证明：∵ AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴BE＝4，
∵BD＝8，
∴EF＝BD-DF-BE＝8-2-4=2．
【知识点】平行线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质得到∠B=∠D，再根据已知条件得出两边的比例关系AB：DC＝BE：DF＝2，最后根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等），从而证明△ABE～△CDF；
(2) 先利用已知条件BE=2DF求出BE的长度，再根据线段的和差关系EF=BD-BE-DF，最后代入数值计算得到EF的长度．
7．【答案】证明：，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，核心是证明对应角相等和对应边成比例。已知，在等式两边同时加上，根据等式的性质可得到；又已知，将其变形后可得。此时满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，由此可证明与相似。
8．【答案】证明：
∵AC=3 cm，
∴AD：AC=AC： AB= 2：3 ，
∵∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC.
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等得到两三角形相似即可.
9．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长DE，BF交于点G，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC
∴DE//BC
∴∠CBG=∠DGB
∵∠ABC的平分线BF交AC于点F
∴∠DBG=∠CBG
∴∠DBG=∠DGB
∴BD=DG，
∵EG//BC
∴△EFG∽△CFB
∴，
∵，EF+CF=CE，
∴，
则
故选：D.
【分析】延长DE，BF交于点G，根据已知条件知△ADE∽△ABC，得出DE//BC，∠ABC的平分线BF交AC于点F，△DBG是等腰三角形得出BD=DG，可证明△EFG∽△CFB，求出，则BD-DE的值可求.
10．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∠COD，
∴△AOB∽△COD.故①正确.
在△AOD与△BOC 中， 只有∠AOD=∠BOC，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误.
故答案为：B .
【分析】首先由∠AOB、∠COD是对顶角，可得∠AOB=∠COD，接下来结合已知及相似三角形的判定定理即可得到答案.
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：在中，点、分别在的边、上，，
A．，能使与相似，故该选项不符合题意；
B．，能使与相似，故该选项不符合题意；
C．，能使与相似，故该选项符合题意；
D．，不能使与相似，故该选项不符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形判定需满足“两角对应相等”“两边对应成比例且夹角相等”“三边对应成比例”，注意“两边对应成比例但是夹角不相等”不成立，根据以上判定方法逐一判断即可．
12．【答案】C
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AOD与△COB中，
∵OA·OB=OC·OD，即，且∠AOD=∠COB
∴△AOD∽△COB
∴∠OAD=∠OCB
∴BC//AD，C正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据两组边对应成比例，且两边的夹角相等，可以推得△AOD∽△COB，由相似三角形的性质定理可得，相似三角形对应角相等，得到一组内错角∠OAD与∠OCB相等，因此可以推出AD//BC.
13．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵CM=CN，
∴∠CNM=∠CMN．
∴∠CNA=∠AMB．
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形的性质（等边对等角），得出∠CNM=∠CMN；再根据邻补角的性质，得出∠CNA=∠AMB；再根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），得出可得△ANC∽△AMB，即可得出答案．
14．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
15．【答案】（1）2
（2）解：如图，△BDE 即为所求.

【知识点】作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
【分析】(1)利用勾股定理求解即可；
(2)方法一：取格点F，连接AF，则AF∥BC，且BD=2AF，即可得到BE=2AE，连接DF交AB于点E；方法二：取格点E，使得，连接DE即可.
16．【答案】（1）证明：∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B，
∴△BAF∽△BCE
（2）证明：∵△BAF∽△BCE，
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BCA
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)有两组角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题；
(2)两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题.
17．【答案】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，∠DCP=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵AC=1，CD=2，DB=4，
∴，，
∴，
在△ACP和△PDB中，
，
∴△ACP∽△PDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可知PC=PD=CD，∠DCP=∠PDC=60°，根据两边成比例夹角相等即可证明．
18．【答案】（1）证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵△ABC∽△ACD，∠BCD=150°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACB=∠BCD=150°
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=30°，
∴∠BAC的度数是30°
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可；
(2)由相似三角形的性质得∠B =∠ACD，则∠B+∠ACB=150°， 然后根据三角形的内角和定理解题即可.
19．【答案】（1）证明：，
，
∵，
，
，
，
，
（2）解：由（1）可得，
，
∵，，，
，
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例及夹角相等即可说明，再利用相似三角形的性质即可得证；
（2）利用相似三角形的性质对应边成比例，再代入即可．
（1）解：
，
．
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
20．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-SAS；两直线平行，同位角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（）如图，取格点，连接，由网格知，即得，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，交于，由网格知，所以，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，由网格得，，，，即得，因为，所以，即得，故点即为所求；
（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
1 / 13.2 探索三角形相似的条件（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AB，AC 上，且DE 与 BC 不平行.下列条件中，能判定△ADE∽△ACB的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在 与 中，
且
故答案为：A .
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解.
2． 已知△ABC 如图，则图所示的四个三角形中，与△ABC 相似的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=75°，即∠A=30°，
根据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可得符合的选项为D，
故答案为：D .
【分析】根据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似逐项判断解答即可.
3．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定；
当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案．
4．如图所示，小正方形的边长均为1．则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，，
观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，如图，
则，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】求出，，，观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，然后求出，，，从而得，，进而由相似三角形的判定证明.
5．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是　 　（填序号）
【答案】①②或①③
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即．
当或时，．即①②或①③符合题意．
故答案为：①②或①③.
【分析】由角的构成及等量加等量和相等可推出∠DAE=∠BAC，当∠B=∠D时，用有两组角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE；当，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE.
6． 如图， 已知AB∥DC， 点E、F在线段BD上， AB=2DC， BE=2DF.
（1） 求证： △ABE∽△CDF；
（2） 若BD=8， DF=2， 求EF的长.
【答案】（1）证明：∵ AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴BE＝4，
∵BD＝8，
∴EF＝BD-DF-BE＝8-2-4=2．
【知识点】平行线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质得到∠B=∠D，再根据已知条件得出两边的比例关系AB：DC＝BE：DF＝2，最后根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等），从而证明△ABE～△CDF；
(2) 先利用已知条件BE=2DF求出BE的长度，再根据线段的和差关系EF=BD-BE-DF，最后代入数值计算得到EF的长度．
7．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：．
【答案】证明：，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，核心是证明对应角相等和对应边成比例。已知，在等式两边同时加上，根据等式的性质可得到；又已知，将其变形后可得。此时满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，由此可证明与相似。
8． 如图，在△ABC中，点 D 在AB 上，连结CD.已知 求证：△ACD∽△ABC.
【答案】证明：
∵AC=3 cm，
∴AD：AC=AC： AB= 2：3 ，
∵∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC.
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等得到两三角形相似即可.
二、巩固提升
9． 如图，在△ABC 中，BC=9，∠ABC 的平分线交 AC 于点 F，点 D，E 分别在边AB，AC 上.若 则BD-DE 的值为(　　)
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长DE，BF交于点G，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC
∴DE//BC
∴∠CBG=∠DGB
∵∠ABC的平分线BF交AC于点F
∴∠DBG=∠CBG
∴∠DBG=∠DGB
∴BD=DG，
∵EG//BC
∴△EFG∽△CFB
∴，
∵，EF+CF=CE，
∴，
则
故选：D.
【分析】延长DE，BF交于点G，根据已知条件知△ADE∽△ABC，得出DE//BC，∠ABC的平分线BF交AC于点F，△DBG是等腰三角形得出BD=DG，可证明△EFG∽△CFB，求出，则BD-DE的值可求.
10．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且 则有如下两个结论：① △AOB∽△COD；② △AOD∽△BOC.下列关于结论①②的判断，正确的是 (　　)
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∠COD，
∴△AOB∽△COD.故①正确.
在△AOD与△BOC 中， 只有∠AOD=∠BOC，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误.
故答案为：B .
【分析】首先由∠AOB、∠COD是对顶角，可得∠AOB=∠COD，接下来结合已知及相似三角形的判定定理即可得到答案.
11．如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：在中，点、分别在的边、上，，
A．，能使与相似，故该选项不符合题意；
B．，能使与相似，故该选项不符合题意；
C．，能使与相似，故该选项符合题意；
D．，不能使与相似，故该选项不符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形判定需满足“两角对应相等”“两边对应成比例且夹角相等”“三边对应成比例”，注意“两边对应成比例但是夹角不相等”不成立，根据以上判定方法逐一判断即可．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD
C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD
【答案】C
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AOD与△COB中，
∵OA·OB=OC·OD，即，且∠AOD=∠COB
∴△AOD∽△COB
∴∠OAD=∠OCB
∴BC//AD，C正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据两组边对应成比例，且两边的夹角相等，可以推得△AOD∽△COB，由相似三角形的性质定理可得，相似三角形对应角相等，得到一组内错角∠OAD与∠OCB相等，因此可以推出AD//BC.
13． 如图，在△ABC中，点M 在边BC上，点 N 在AM 上， 则下列结论正确的是(　　)
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵CM=CN，
∴∠CNM=∠CMN．
∴∠CNA=∠AMB．
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形的性质（等边对等角），得出∠CNM=∠CMN；再根据邻补角的性质，得出∠CNA=∠AMB；再根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），得出可得△ANC∽△AMB，即可得出答案．
14．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
15．如图，由边长为 1 的小正方形组成的6×6的网格中，△ABC 的顶点都是网格的格点，点 D 在 BC 边上，且 BD=2CD.
（1）BD 的长为　 　；
（2）请你仅用无刻度的直尺在边 AB 上找点E，使得△BDE 与△ABC 相似.(要求画出两种情形)
【答案】（1）2
（2）解：如图，△BDE 即为所求.

【知识点】作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
【分析】(1)利用勾股定理求解即可；
(2)方法一：取格点F，连接AF，则AF∥BC，且BD=2AF，即可得到BE=2AE，连接DF交AB于点E；方法二：取格点E，使得，连接DE即可.
16． 如图，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是 F，E，连结EF.求证：
（1）△BAF∽△BCE.
（2）△BEF∽△BCA.
【答案】（1）证明：∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B，
∴△BAF∽△BCE
（2）证明：∵△BAF∽△BCE，
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BCA
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)有两组角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题；
(2)两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题.
17．已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：．
【答案】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，∠DCP=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵AC=1，CD=2，DB=4，
∴，，
∴，
在△ACP和△PDB中，
，
∴△ACP∽△PDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可知PC=PD=CD，∠DCP=∠PDC=60°，根据两边成比例夹角相等即可证明．
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若∠BCD＝150°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵△ABC∽△ACD，∠BCD=150°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACB=∠BCD=150°
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=30°，
∴∠BAC的度数是30°
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可；
(2)由相似三角形的性质得∠B =∠ACD，则∠B+∠ACB=150°， 然后根据三角形的内角和定理解题即可.
三、能力应用
19．如图，在中，为边上一点，．
（1）求证：．
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
∵，
，
，
，
，
（2）解：由（1）可得，
，
∵，，，
，
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例及夹角相等即可说明，再利用相似三角形的性质即可得证；
（2）利用相似三角形的性质对应边成比例，再代入即可．
（1）解：
，
．
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
20．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点，连接，使；
（2）在图②中的边上确定一点，连接，使；
（3）在图③中的边上确定一点，连接，使．
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-SAS；两直线平行，同位角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（）如图，取格点，连接，由网格知，即得，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，交于，由网格知，所以，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，由网格得，，，，即得，因为，所以，即得，故点即为所求；
（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
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