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3.2 探索三角形相似的条件（3）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 已知△ABC 的三边长为2，5，6，若△DEF∽△ABC，则△DEF 的三边长可能为 (　　)
A．3，6，7 B．6，15，18 C．3，8，9 D．8，10，12
2．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知△ABC三边的比是1：2：，根据下列四个三角形的三边的比，能判定与△ABC相似的是(　　）
A． B． C． D．
4．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　）
A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF=
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1
C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6
D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3
5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5个格点.
（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似 并说明理由；
（2）在图中画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似.
6． 如图 ，已知O 为△ABC内一点，A'，B'，C'分别为 OA，OB，OC 的中点.求证：△A'B'C'∽△ABC.
7．如图，△ABC三边长分别为AB=3cm，BC=3.5cm，CA=2.5cm，ODEF三边长分别为DE=3.6cm，EF=4.2cm，FD=3cm．△ABC与△DEF是否相似 为什么
二、巩固提升
8．如图，标号分别为①，②，③，④的四个三角形的顶点都在方格纸的格点上，下列选项中，两个三角形相似的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
9．如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，下列4×4 的正方形网格中的三角形，是相似三角形的是(　　)
A．①和②· B．②和③ C．①和③ D．②和④
11．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为(　　)
A． B． C． D．
12．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B．
C． D．
13．如图，已知△ABC和点A'.
（1）以点 A'为顶点作△A'B'C'，使 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
（2）设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D'，E'，F'分别是你所作的 三边A'B'，B'C'，A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
14． 已知△ABC 与点O，连结OA，OB，OC，分别取OA，OB，OC 的中点D，E，F，连结DE，EF，FD.
（1） 如图①，如果点 O 在△ABC 内，求证：△DEF∽△ABC.
（2）如果点O 在AB 上，请画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
（3） 如图②，如果点 O 在△ABC 外，请在图②中按题中的叙述画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
15．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点 C作 CD⊥x轴，垂足为 D.求证：△ABC∽△ACD.
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：不写作法与证明)．
17．如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，
（1）求证：∠BAD=∠CAE．
（2）连结EC，求证：△ABD∽△ACE．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：△ABC的三边的比为2：5：6，
A：因为3：6：7≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
B：因为6：15：18=2：5：6，所以△DEF与△ABC相似；
C：因为3：8：9≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
D：因为 8：10：12=4：5：6≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
故答案为：B.
【分析】根据三边对应成比例的两三角形相似判断解答即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．
【分析】本题考查相似三角形的性质.令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，根据△ABC∽△PQR，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，据此可找到点R对应的位置
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵△ABC三边的比是1：2：，
∴将每一项都除以得1：2：，
故当三角形的三边比为时，可以判定与△ABC相似，
其余选项化简均不等于1：2：，
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解解：A、不能推出三组对应边的比相等，这两个三角形不相似，A不符合题意；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB：DF=1，AC：EF=1：6，BC：DE=1：6，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，B不符合题意；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB：DF=AC：EF=BC：DE=1：2，
∴△ABC和△DEF相似，C符合题意；
D、AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3，
∴ AB：DE=：3，AC：EF=：3，BC：DF=：3，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．【答案】（1）解：△ABC 和△DEF 相似.理由如下：
由勾股定理可得
（2）解：如图，△P4P5P2即为所求.
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据勾股定理分别求出， 与 各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断；
(2)根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解.
6．【答案】证明：∵A'，B'分别为OA，OB 的中点，
∴A'B'是△OAB 的中位线，
同理，
∴△A'B'C'∽△ABC.
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得，根据三边对应成比例的两三角形相似证明即可.
7．【答案】解：△ABC△DEF．理由如下：
∵，，
∴
∴△ABC∽△DEF．
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：第一个三角形的边长分别为：
第二个三角形的边长分别为：
第三个三角形的边长分别为：
第四个三角形的边长分别为：3， ；
对应边成比例的是①和③.
故答案为：B.
【分析】可分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴．
A、∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
B、在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
C、对应的夹角是和，因为由已知条件无法得出，所以此项不能判定和相似，符合题意；
D、在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了相似三角形的判定（两角分别相等，两边成比例且夹角相等）、等边三角形的性质（各角为60°），先根据等边三角形的性质可得，再结合相似判定定理，分析各选项即可推出答案.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：①三边的长为，2，，即三边的比为；
②三边的长为，，3；即三边的比为；
③三边的长为2，，；即三边的比为；
④ 三边的长为3，，；即三边的比为；
∴①和③相似，
故答案为：C .
【分析】分别利用网格求出三角形三边的比，然后逐项判断解答即可.
11．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设网格的边长是1，
则
A.三边之比是= 故本选项正确；
B.三边之比是 故本选项错误；
C.三边之比是 故本选项错误；
D.三边之比是 故本选项错误.
故答案为：A .
【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故答案为：B．
【分析】根据网格的特点及勾股定理求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的三角形相似”即可求解．
13．【答案】（1）解：如图， 即为所求作.
（2）解：∵D、E、F分别是 三边AB、BC、AC的中点，
分别是你所作的三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，
C'，
【知识点】作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】(1)作 分别在AM，AN上截取A'B'=2AB，A'C'=2AC，连接 即为所求作.
(2)利用三边成比例两三角形相似证明即可.
14．【答案】（1）证明：∵ 在△AOB 中，D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ DE 是△AOB 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
（2）解：如果点O在AB上，(1)中的结论仍然成立.如图①，
∵在△AOC中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
又∵D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ 易得
∴△DEF∽△ABC.
（3）解：如果点O 在△ABC 外，(1)中的结论仍然成立.如图②，
∵ 在△AOC 中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线得到三边对应成比例，进而得到两三角形相似；
（2）根据（1）的解答过程证明即可；
（3）根据（1）的解答过程证明即可.
15．【答案】解：∵点A，B，C 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，(4，2)，
∴ 易得
∵CD⊥x轴，
∴AD=4-3=1，CD=2.
∴△ABC∽△ACD.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出AB=5，BC=2 再得到AD=1，CD=2，然后得到： 则可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论.
16．【答案】（1）解：∵AB2=20，AC2=5，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2．
根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．
（2）解：△ABC和△DEF相似．
由(1)中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
∴△ABC∽△DEF．
（3）解：如图，连结P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴
∴△ABC∽△P4P5P2．
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】(1)由勾股定理求得AB2=20，AC2=5，BC2=25，即AB2+AC2=BC2，根据勾股定理逆定理可得 △ABC为直角三角形；
（2）根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；
（3）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可得到答案.
17．【答案】（1）证明：∵
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF，
即∠BAD=∠CAE．
（2）解：如图，连结CE．
由(1)知∠BAD=∠CAE．
∵
∴
∴△ABD∽△ACE．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三边成比例的两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质可得答案；
（2）连结CE，由(1)知∠BAD=∠CAE，然后根据相似三角形的判定即可得到答案.
1 / 13.2 探索三角形相似的条件（3）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 已知△ABC 的三边长为2，5，6，若△DEF∽△ABC，则△DEF 的三边长可能为 (　　)
A．3，6，7 B．6，15，18 C．3，8，9 D．8，10，12
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：△ABC的三边的比为2：5：6，
A：因为3：6：7≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
B：因为6：15：18=2：5：6，所以△DEF与△ABC相似；
C：因为3：8：9≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
D：因为 8：10：12=4：5：6≠2：5：6，所以△DEF与△ABC不相似；
故答案为：B.
【分析】根据三边对应成比例的两三角形相似判断解答即可.
2．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．
【分析】本题考查相似三角形的性质.令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，根据△ABC∽△PQR，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，据此可找到点R对应的位置
3．已知△ABC三边的比是1：2：，根据下列四个三角形的三边的比，能判定与△ABC相似的是(　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵△ABC三边的比是1：2：，
∴将每一项都除以得1：2：，
故当三角形的三边比为时，可以判定与△ABC相似，
其余选项化简均不等于1：2：，
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　）
A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF=
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1
C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6
D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解解：A、不能推出三组对应边的比相等，这两个三角形不相似，A不符合题意；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB：DF=1，AC：EF=1：6，BC：DE=1：6，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，B不符合题意；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB：DF=AC：EF=BC：DE=1：2，
∴△ABC和△DEF相似，C符合题意；
D、AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3，
∴ AB：DE=：3，AC：EF=：3，BC：DF=：3，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5个格点.
（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似 并说明理由；
（2）在图中画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似.
【答案】（1）解：△ABC 和△DEF 相似.理由如下：
由勾股定理可得
（2）解：如图，△P4P5P2即为所求.
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据勾股定理分别求出， 与 各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断；
(2)根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解.
6． 如图 ，已知O 为△ABC内一点，A'，B'，C'分别为 OA，OB，OC 的中点.求证：△A'B'C'∽△ABC.
【答案】证明：∵A'，B'分别为OA，OB 的中点，
∴A'B'是△OAB 的中位线，
同理，
∴△A'B'C'∽△ABC.
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得，根据三边对应成比例的两三角形相似证明即可.
7．如图，△ABC三边长分别为AB=3cm，BC=3.5cm，CA=2.5cm，ODEF三边长分别为DE=3.6cm，EF=4.2cm，FD=3cm．△ABC与△DEF是否相似 为什么
【答案】解：△ABC△DEF．理由如下：
∵，，
∴
∴△ABC∽△DEF．
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似.
二、巩固提升
8．如图，标号分别为①，②，③，④的四个三角形的顶点都在方格纸的格点上，下列选项中，两个三角形相似的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：第一个三角形的边长分别为：
第二个三角形的边长分别为：
第三个三角形的边长分别为：
第四个三角形的边长分别为：3， ；
对应边成比例的是①和③.
故答案为：B.
【分析】可分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可.
9．如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴．
A、∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
B、在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
C、对应的夹角是和，因为由已知条件无法得出，所以此项不能判定和相似，符合题意；
D、在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了相似三角形的判定（两角分别相等，两边成比例且夹角相等）、等边三角形的性质（各角为60°），先根据等边三角形的性质可得，再结合相似判定定理，分析各选项即可推出答案.
10．如图，下列4×4 的正方形网格中的三角形，是相似三角形的是(　　)
A．①和②· B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：①三边的长为，2，，即三边的比为；
②三边的长为，，3；即三边的比为；
③三边的长为2，，；即三边的比为；
④ 三边的长为3，，；即三边的比为；
∴①和③相似，
故答案为：C .
【分析】分别利用网格求出三角形三边的比，然后逐项判断解答即可.
11．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设网格的边长是1，
则
A.三边之比是= 故本选项正确；
B.三边之比是 故本选项错误；
C.三边之比是 故本选项错误；
D.三边之比是 故本选项错误.
故答案为：A .
【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可.
12．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故答案为：B．
【分析】根据网格的特点及勾股定理求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的三角形相似”即可求解．
13．如图，已知△ABC和点A'.
（1）以点 A'为顶点作△A'B'C'，使 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
（2）设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D'，E'，F'分别是你所作的 三边A'B'，B'C'，A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
【答案】（1）解：如图， 即为所求作.
（2）解：∵D、E、F分别是 三边AB、BC、AC的中点，
分别是你所作的三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，
C'，
【知识点】作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】(1)作 分别在AM，AN上截取A'B'=2AB，A'C'=2AC，连接 即为所求作.
(2)利用三边成比例两三角形相似证明即可.
14． 已知△ABC 与点O，连结OA，OB，OC，分别取OA，OB，OC 的中点D，E，F，连结DE，EF，FD.
（1） 如图①，如果点 O 在△ABC 内，求证：△DEF∽△ABC.
（2）如果点O 在AB 上，请画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
（3） 如图②，如果点 O 在△ABC 外，请在图②中按题中的叙述画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
【答案】（1）证明：∵ 在△AOB 中，D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ DE 是△AOB 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
（2）解：如果点O在AB上，(1)中的结论仍然成立.如图①，
∵在△AOC中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
又∵D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ 易得
∴△DEF∽△ABC.
（3）解：如果点O 在△ABC 外，(1)中的结论仍然成立.如图②，
∵ 在△AOC 中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线得到三边对应成比例，进而得到两三角形相似；
（2）根据（1）的解答过程证明即可；
（3）根据（1）的解答过程证明即可.
15．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点 C作 CD⊥x轴，垂足为 D.求证：△ABC∽△ACD.
【答案】解：∵点A，B，C 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，(4，2)，
∴ 易得
∵CD⊥x轴，
∴AD=4-3=1，CD=2.
∴△ABC∽△ACD.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出AB=5，BC=2 再得到AD=1，CD=2，然后得到： 则可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论.
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：不写作法与证明)．
【答案】（1）解：∵AB2=20，AC2=5，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2．
根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．
（2）解：△ABC和△DEF相似．
由(1)中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
∴△ABC∽△DEF．
（3）解：如图，连结P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴
∴△ABC∽△P4P5P2．
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】(1)由勾股定理求得AB2=20，AC2=5，BC2=25，即AB2+AC2=BC2，根据勾股定理逆定理可得 △ABC为直角三角形；
（2）根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；
（3）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可得到答案.
17．如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，
（1）求证：∠BAD=∠CAE．
（2）连结EC，求证：△ABD∽△ACE．
【答案】（1）证明：∵
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF，
即∠BAD=∠CAE．
（2）解：如图，连结CE．
由(1)知∠BAD=∠CAE．
∵
∴
∴△ABD∽△ACE．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三边成比例的两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质可得答案；
（2）连结CE，由(1)知∠BAD=∠CAE，然后根据相似三角形的判定即可得到答案.
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