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3.2探索三角形相似的条件（4）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD>BD），AB=2，则AD的长是（　　）
A．1 B． C． D．
3．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（　　）
A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点
C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比
4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A． B． C． D．
5．如图是一片叶子，P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，则 (　　)
A． B． C． D．
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝　 　 ．
7．某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是　 　.（结果保留根号）
8．小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧。如图，线段 AB 表示一把小提琴的长度，点 C 为线段 AB 的黄金分割点(BC>AC)。若AB=60cm， 则BC的长为　 　cm。(结果保留根号)
9．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
二、巩固提升
10．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为　 　cm．
11．我们将宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形.如图，矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ， 在其内部作正方形 AEFD， 若矩形 ABCD的边 AB=4，那么 CF的长为 （　　)
A． B． C． D．
12． 2025年 9月 13 日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力. 如图，乐器上的一根弦 AB长为 80cm，两个端点 A，B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点(即 )，则支点 C到端点 B的距离为(　　)
A． B． C． D．
13．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
14．点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，下列说法错误的是(　　)
A． B． C． D．BP≈0.618AP
15．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC=40cm，则AB的长为　 　cm.（结果保留根号）
16．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么　 　．
17． 建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比（黄金分割比）来增强美感。如图，窗户的宽度，B为AC的黄金分割点（），则BC的长为 　 　。（结果保留根号）
18．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点.例如：如题20-1图，点C是线段AB上一点，AC>BC，且，则点C是线段AB的黄金分割点.
（1）如图1中，若线段AB=1，求线段AC的长.
（2）如图2，线段AB=2，C，D是线段AB的黄金分割点.
求证：点D是线段AC的黄金分割点.
三、能力应用
19．综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：在Rt△ECD中，
DE===
由题意EF=DE=，
∵EF=EC+CF，
∴变形得CF=EF EC，
代入数值： CF= 1
故答案为：A.
【分析】由正方形边长与中点定义，得到直角三角形两条直角边EC=1、CD=2；由勾股定理算出圆半径DE，结合同圆半径相等得到EF=DE；由线段和差EF=EC+CF，变形求出CF；利用黄金分割比例验证结果，确认答案正确.
2．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据黄金比计算即可．
3．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵，
∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比，
∴C不正确，A，B，D正确.
故选：C.
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：P为AB的黄金分割点，故AP=.
故答案为： B.
【分析】直接由黄金分割比例可得AP的长.
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，
∴，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割点的定义解答即可.
6．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
所以．
因为AB＝2，
所以AP＝，
所以BP＝AB AP＝2 （ 1）＝．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
7．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：长方形的宽的长为，
故答案为：．
【分析】根据黄金比解答即可．
8．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点 C 为线段 AB 的黄金分割点(BC>AC)，且AB=60cm，
∴，
即。
故答案为：.
【分析】本题结合黄金分割公式，即当C 为线段 AB 的黄金分割点(BC>AC)时，列式，然后将AB=60cm代入计算即可。
9．【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
10．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ，
∴，
∵AB=4，
∴BC=×4=，
∵四边形ADFE是正方形，
∴DF=AD=BC=，
∴CF=DC-DF=4-（）=，
故答案为：C.
【分析】先利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用线段的和差求出CF的长即可.
12．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ AB= 80cm， ，
∴AC=，
∴CB=AB-AC=80-40（-1）=（120-40）（cm）。
故答案为：A.
【分析】首先根据黄金分割的定义可得出AC的长，进而根据CB=AB-AC即可得出答案。
13．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
∴，
∴，
解得，（米），
∴大约是米，
故答案为：B．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，其中较长线段与整个线段的比叫做黄金比，黄金比为，据此列出方程，求解即可.
14．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解： 点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴，
∴A，B，D选项正确，C选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割解答即可.
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由黄金分割可得，
，
故答案为： .
【分析】 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形为黄金矩形，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查黄金矩形的定义、矩形的性质以及正方形的性质.根据黄金比例计算出短边的长度 ，再利用正方形的边长相等求出相关线段差.
17．【答案】36-12√5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割点的意义可得出：
∵，
∴AB=
∴BC=AC-AB=24-12(=（36-12）dm
故答案为：（36-12）.
【分析】首先根据黄金分割点的意义，可得出AB的长，再根据BC=AC-AB即可求得BC的长度。
18．【答案】（1）解：如答题1图，设线段AC的长为x，则BC=1-x.
根据题意，得
即
解方程，得
（舍去）
所以
（2）解：如答题2图，因为C，D是线段AB的黄金分割点，
根据题意，得
∵AB=2，
∴BC=2-AC，BD=2-AD
即
设AC=m，AD=n
可得方程
分别解方程，得（舍去）；
（舍去）；
所以
则
∴AC2=CD·AC
∴点D是线段AC的黄金分割点.
【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；黄金分割；线段的和、差、倍、分的简单计算；列一元二次方程
【解析】【分析】
（1）如图设线段AC的长为x，表示出BC=1-x；根据黄金分割的定义得到，列方程计算即可解答；
（2）由C，D是线段AB的黄金分割点，得再分别表示出BC=2-AC，BD=2-AD，设AC=m，AD=n建立方程计算得到m，n的值即可得到再计算，再计算AD2，再根据黄金分割的定义判断即可解答.
19．【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
1 / 13.2探索三角形相似的条件（4）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1． 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：在Rt△ECD中，
DE===
由题意EF=DE=，
∵EF=EC+CF，
∴变形得CF=EF EC，
代入数值： CF= 1
故答案为：A.
【分析】由正方形边长与中点定义，得到直角三角形两条直角边EC=1、CD=2；由勾股定理算出圆半径DE，结合同圆半径相等得到EF=DE；由线段和差EF=EC+CF，变形求出CF；利用黄金分割比例验证结果，确认答案正确.
2．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD>BD），AB=2，则AD的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据黄金比计算即可．
3．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（　　）
A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点
C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵，
∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比，
∴C不正确，A，B，D正确.
故选：C.
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：P为AB的黄金分割点，故AP=.
故答案为： B.
【分析】直接由黄金分割比例可得AP的长.
5．如图是一片叶子，P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，
∴，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割点的定义解答即可.
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝　 　 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
所以．
因为AB＝2，
所以AP＝，
所以BP＝AB AP＝2 （ 1）＝．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
7．某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是　 　.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：长方形的宽的长为，
故答案为：．
【分析】根据黄金比解答即可．
8．小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧。如图，线段 AB 表示一把小提琴的长度，点 C 为线段 AB 的黄金分割点(BC>AC)。若AB=60cm， 则BC的长为　 　cm。(结果保留根号)
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点 C 为线段 AB 的黄金分割点(BC>AC)，且AB=60cm，
∴，
即。
故答案为：.
【分析】本题结合黄金分割公式，即当C 为线段 AB 的黄金分割点(BC>AC)时，列式，然后将AB=60cm代入计算即可。
9．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
二、巩固提升
10．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为　 　cm．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
11．我们将宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形.如图，矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ， 在其内部作正方形 AEFD， 若矩形 ABCD的边 AB=4，那么 CF的长为 （　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 矩形 ABCD为黄金矩形 （AB>AD) ，
∴，
∵AB=4，
∴BC=×4=，
∵四边形ADFE是正方形，
∴DF=AD=BC=，
∴CF=DC-DF=4-（）=，
故答案为：C.
【分析】先利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用线段的和差求出CF的长即可.
12． 2025年 9月 13 日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力. 如图，乐器上的一根弦 AB长为 80cm，两个端点 A，B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点(即 )，则支点 C到端点 B的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ AB= 80cm， ，
∴AC=，
∴CB=AB-AC=80-40（-1）=（120-40）（cm）。
故答案为：A.
【分析】首先根据黄金分割的定义可得出AC的长，进而根据CB=AB-AC即可得出答案。
13．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
∴，
∴，
解得，（米），
∴大约是米，
故答案为：B．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，其中较长线段与整个线段的比叫做黄金比，黄金比为，据此列出方程，求解即可.
14．点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，下列说法错误的是(　　)
A． B． C． D．BP≈0.618AP
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解： 点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴，
∴A，B，D选项正确，C选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割解答即可.
15．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC=40cm，则AB的长为　 　cm.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由黄金分割可得，
，
故答案为： .
【分析】 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
16．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形为黄金矩形，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查黄金矩形的定义、矩形的性质以及正方形的性质.根据黄金比例计算出短边的长度 ，再利用正方形的边长相等求出相关线段差.
17． 建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比（黄金分割比）来增强美感。如图，窗户的宽度，B为AC的黄金分割点（），则BC的长为 　 　。（结果保留根号）
【答案】36-12√5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割点的意义可得出：
∵，
∴AB=
∴BC=AC-AB=24-12(=（36-12）dm
故答案为：（36-12）.
【分析】首先根据黄金分割点的意义，可得出AB的长，再根据BC=AC-AB即可求得BC的长度。
18．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点.例如：如题20-1图，点C是线段AB上一点，AC>BC，且，则点C是线段AB的黄金分割点.
（1）如图1中，若线段AB=1，求线段AC的长.
（2）如图2，线段AB=2，C，D是线段AB的黄金分割点.
求证：点D是线段AC的黄金分割点.
【答案】（1）解：如答题1图，设线段AC的长为x，则BC=1-x.
根据题意，得
即
解方程，得
（舍去）
所以
（2）解：如答题2图，因为C，D是线段AB的黄金分割点，
根据题意，得
∵AB=2，
∴BC=2-AC，BD=2-AD
即
设AC=m，AD=n
可得方程
分别解方程，得（舍去）；
（舍去）；
所以
则
∴AC2=CD·AC
∴点D是线段AC的黄金分割点.
【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；黄金分割；线段的和、差、倍、分的简单计算；列一元二次方程
【解析】【分析】
（1）如图设线段AC的长为x，表示出BC=1-x；根据黄金分割的定义得到，列方程计算即可解答；
（2）由C，D是线段AB的黄金分割点，得再分别表示出BC=2-AC，BD=2-AD，设AC=m，AD=n建立方程计算得到m，n的值即可得到再计算，再计算AD2，再根据黄金分割的定义判断即可解答.
三、能力应用
19．综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
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