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3.3相似三角形判定定理的证明（1）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，若，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．4 D．3
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4． 某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（　　）
A． B． C． D．
5． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　.
6．如图，，且AB=3，则AC的长为　 　。
7．如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为　 　．
8．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．
9．如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
10．如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且．
（1）如果，求的长；
（2）如果，，求的长．
二、巩固提升
11．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则等于（　　）
A． B． C． D．1
12．如图，如果AD∥BE∥CF，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
13． 如图， 直线l1∥l2∥l3，直线AC， DF分别与l1，l2， l3相交于点A， B， C和点 D， E， F. 若 DE=6， 则EF等于 （　　)
A．6 B．7 C．14 D．15
14．如图，，，，，则的长度是　 　．
15．如图，，为与的交点，点在上，若，，则　 　．
16． 如图， △ABC的两条中线AD和BE相交于点 G， 过点E作EF∥BC交AD于点F， 那么的值是　 　.
17．如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是边BC，AC 上的中线，且相交于点 F，过点 F 作FG∥AC，那么 　 　.
18． 如图，AB∥CD∥EF，AF，BE 相交于点O. 若 AO =OD = DF = 3 cm，BE =10 cm，则BO 的长为　 　.
19． 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点， BD与FC相交于点G，连接EG.
（1）求证：EG∥AC；
（2）求S△BFG ： S△BEG的的值.
20．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
21．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D，E分别是边BC，AC上的点，连结AD与BE交于点F，∠ABE=∠DAC。
（1）如图1，当∠BAC=60°时，求证：AD=BE；
（2）如图2，当BF=kAF时，求的值（用含k的代数式表示）。
三、能力应用
22．请阅读材料，并解答下列问题.
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， 则 下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图②，过点 C 作CE∥DA，交 BA 的延长线于点E……
问题：
（1）请按照上面的证明思路，补全该证明过程的剩余部分.
（2） 如图③，在 Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，AD 平分∠BAC，则△ABD 的周长是　 　.
23．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，由可得，再代入相关数据进行计算即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】
解：∵，，
∴BC：DE=4：3
∵，
∴BC=16
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例得到BC：DE=，再根据DE的值，计算可得BC的值，解答即可.
3．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
即，
∴﹒
故答案为：D.
【分析】根据平行线等分线段定理知一组平行线再一条直线上截出若干等长线段时，这组平行线在其它任何直线上截出得对应线段长度也相等，据此建立方程，求解可得答案.
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】 解：由题意可得：DC∥AB
∴
∵，，
∴
解得：AB=10.5
故答案为：B
【分析】由题意可得：DC∥AB，再根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
5．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得。
又∵DF∥AB，同理可得。
将代入，得。
故答案为：
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。
6．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵
∴
∵AB=3
∴BC=
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴BD＝6，
故答案为：6．
【分析】 平行线分线段成比例定理： 当一组平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例。
利用得到，即可求解．
8．【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∴．

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解．
9．【答案】（1）解：∵，
，
，，，
，
；
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据，可得出，即，进而即可得出；
（2）根据，可得出，可得出，进而得出．
（1）解：∵，
，
，，，
，
；
（2）∵，
，
，
，
，
，
．
10．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到的值，然后设，则，由的长得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为5．
11．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.
12．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】已知 AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理：由定理得（对应选项 B，正确）；由（对应选项 C，正确）；由（对应选项 D，正确）；选项 A 中不符合定理的对应关系，是错误的。故答案选 A。
【分析】 题目给出了三线平行（AD∥BE∥CF）的条件，这意味着它们截两条（或多条）直线所得的线段对应成比例。我们需要逐一检验每个选项的比例式是否符合“对应线段成比例”的原则。
13．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：直线，，，
， 即，
．
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
14．【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即
∴
解之：DF=15.
故答案为：15.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可求出DF的长.
15．【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及比例的综合应用，利用平行线构造相似三角形是解题关键。因为 ，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似”，可判定 ，因此 。同理，由 可判定 ，得出 。将两个比例式相加，根据 ，可得 。代入 、，得到关于 的方程 ，解方程即可求出 的值。
16．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴
∵EF∥BC，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】由三角形的重心定理得出由平行线分线段成比例定理得出从而得到的值．
17．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵AD，BE 分别是边 BC，AC 上的中线，且相交于点F，
∴ 点 F 是△ABC 的重心，，
∴
∵FG//AC，
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用三角形重心将中线分成2：1的比例，结合平行线带来的相似三角形，通过线段的加减得到 DG与BC的长度关系，从而求出比值.
18．【答案】cm
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF， AF， BE相交于O，AO=OD=DF，
∴由平行线等分线段定理得OB=OC=CE，
故答案为：cm .
【分析】由平行线分线段成比例得OB=OC=CE，由此利用BE=10cm，能求出BO.
19．【答案】（1）证明：如图，取AF的中点 H，连接 HD.
∵D是AC的中点，
∴DH∥FC.
∴BF=FH，
∴BG=GD，
∴G是BD 的中点.
∵E是BC的中点，
∴EG∥AC.
（2）解：设
G是BD的中点，
∴S△ABD=2×3×a=6a.
∵D是AC的中点，
设
∵E，G分别是BC，BD的中点，
∵D是AC的中点，
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】(1)取AF的中点 H，连接 HD，可证得G为BD中点，由中位线性质证明EG//AC；
(2)设 ， ，通过设定面积变量来计算三角形的面积，再通过比较两个三角形的面积与整个三角形的面积比例来求解即可.
20．【答案】（1）解：因为，，
所以．
又因为，
所以

（2）解：因为，，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）DE=3，EF=2则DE：EF=3：2，由根据平行线分线段成比例得；
（2）由（1）可知， ，则，由根据平行线分线段成比例得，求得．
（1）解：因为，，
所以．
又因为，
所以．
（2）解：因为，，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以．
21．【答案】（1）证明：
是等边三角形，
在 和 中，
（2）解：如图2，过点D作 交AC于点P，
则
又∵
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据题推出 是等边三角形，结合等边三角形的性质证 根据全等三角形的性质即可证得AD=BE；
(2)过点D作 交AB于点P，则∠BAF=∠ ，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出 根据相似三角形的性质、比例的性质求出 再结合等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理求解即可.
22．【答案】（1）解：∵CE∥DA，
∠E.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2.
∴∠ACE=∠E.
∴AE=AC.
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AB=3，BC= 5.∵ AD平分∠BAC，∴ 易得 即 ∴△ABD 的周长 = BD + AB +
【分析】(1)过点C作 ，交BA的延长线于点E，由CE 可求证 可得AE=AC，即可求解；
(2)根据 (1)中的结论即可求解.
23．【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
1 / 13.3相似三角形判定定理的证明（1）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，由可得，再代入相关数据进行计算即可得到答案．
2．如图，已知，，若，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】
解：∵，，
∴BC：DE=4：3
∵，
∴BC=16
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例得到BC：DE=，再根据DE的值，计算可得BC的值，解答即可.
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
即，
∴﹒
故答案为：D.
【分析】根据平行线等分线段定理知一组平行线再一条直线上截出若干等长线段时，这组平行线在其它任何直线上截出得对应线段长度也相等，据此建立方程，求解可得答案.
4． 某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】 解：由题意可得：DC∥AB
∴
∵，，
∴
解得：AB=10.5
故答案为：B
【分析】由题意可得：DC∥AB，再根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
5． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得。
又∵DF∥AB，同理可得。
将代入，得。
故答案为：
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。
6．如图，，且AB=3，则AC的长为　 　。
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵
∴
∵AB=3
∴BC=
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为　 　．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴BD＝6，
故答案为：6．
【分析】 平行线分线段成比例定理： 当一组平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例。
利用得到，即可求解．
8．如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．
【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∴．

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解．
9．如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
，
，，，
，
；
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据，可得出，即，进而即可得出；
（2）根据，可得出，可得出，进而得出．
（1）解：∵，
，
，，，
，
；
（2）∵，
，
，
，
，
，
．
10．如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且．
（1）如果，求的长；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到的值，然后设，则，由的长得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为5．
二、巩固提升
11．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则等于（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.
12．如图，如果AD∥BE∥CF，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】已知 AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理：由定理得（对应选项 B，正确）；由（对应选项 C，正确）；由（对应选项 D，正确）；选项 A 中不符合定理的对应关系，是错误的。故答案选 A。
【分析】 题目给出了三线平行（AD∥BE∥CF）的条件，这意味着它们截两条（或多条）直线所得的线段对应成比例。我们需要逐一检验每个选项的比例式是否符合“对应线段成比例”的原则。
13． 如图， 直线l1∥l2∥l3，直线AC， DF分别与l1，l2， l3相交于点A， B， C和点 D， E， F. 若 DE=6， 则EF等于 （　　)
A．6 B．7 C．14 D．15
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：直线，，，
， 即，
．
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
14．如图，，，，，则的长度是　 　．
【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即
∴
解之：DF=15.
故答案为：15.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可求出DF的长.
15．如图，，为与的交点，点在上，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及比例的综合应用，利用平行线构造相似三角形是解题关键。因为 ，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似”，可判定 ，因此 。同理，由 可判定 ，得出 。将两个比例式相加，根据 ，可得 。代入 、，得到关于 的方程 ，解方程即可求出 的值。
16． 如图， △ABC的两条中线AD和BE相交于点 G， 过点E作EF∥BC交AD于点F， 那么的值是　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴
∵EF∥BC，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】由三角形的重心定理得出由平行线分线段成比例定理得出从而得到的值．
17．如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是边BC，AC 上的中线，且相交于点 F，过点 F 作FG∥AC，那么 　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵AD，BE 分别是边 BC，AC 上的中线，且相交于点F，
∴ 点 F 是△ABC 的重心，，
∴
∵FG//AC，
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用三角形重心将中线分成2：1的比例，结合平行线带来的相似三角形，通过线段的加减得到 DG与BC的长度关系，从而求出比值.
18． 如图，AB∥CD∥EF，AF，BE 相交于点O. 若 AO =OD = DF = 3 cm，BE =10 cm，则BO 的长为　 　.
【答案】cm
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF， AF， BE相交于O，AO=OD=DF，
∴由平行线等分线段定理得OB=OC=CE，
故答案为：cm .
【分析】由平行线分线段成比例得OB=OC=CE，由此利用BE=10cm，能求出BO.
19． 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点， BD与FC相交于点G，连接EG.
（1）求证：EG∥AC；
（2）求S△BFG ： S△BEG的的值.
【答案】（1）证明：如图，取AF的中点 H，连接 HD.
∵D是AC的中点，
∴DH∥FC.
∴BF=FH，
∴BG=GD，
∴G是BD 的中点.
∵E是BC的中点，
∴EG∥AC.
（2）解：设
G是BD的中点，
∴S△ABD=2×3×a=6a.
∵D是AC的中点，
设
∵E，G分别是BC，BD的中点，
∵D是AC的中点，
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】(1)取AF的中点 H，连接 HD，可证得G为BD中点，由中位线性质证明EG//AC；
(2)设 ， ，通过设定面积变量来计算三角形的面积，再通过比较两个三角形的面积与整个三角形的面积比例来求解即可.
20．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【答案】（1）解：因为，，
所以．
又因为，
所以

（2）解：因为，，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）DE=3，EF=2则DE：EF=3：2，由根据平行线分线段成比例得；
（2）由（1）可知， ，则，由根据平行线分线段成比例得，求得．
（1）解：因为，，
所以．
又因为，
所以．
（2）解：因为，，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以．
21．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D，E分别是边BC，AC上的点，连结AD与BE交于点F，∠ABE=∠DAC。
（1）如图1，当∠BAC=60°时，求证：AD=BE；
（2）如图2，当BF=kAF时，求的值（用含k的代数式表示）。
【答案】（1）证明：
是等边三角形，
在 和 中，
（2）解：如图2，过点D作 交AC于点P，
则
又∵
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据题推出 是等边三角形，结合等边三角形的性质证 根据全等三角形的性质即可证得AD=BE；
(2)过点D作 交AB于点P，则∠BAF=∠ ，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出 根据相似三角形的性质、比例的性质求出 再结合等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理求解即可.
三、能力应用
22．请阅读材料，并解答下列问题.
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， 则 下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图②，过点 C 作CE∥DA，交 BA 的延长线于点E……
问题：
（1）请按照上面的证明思路，补全该证明过程的剩余部分.
（2） 如图③，在 Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，AD 平分∠BAC，则△ABD 的周长是　 　.
【答案】（1）解：∵CE∥DA，
∠E.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2.
∴∠ACE=∠E.
∴AE=AC.
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AB=3，BC= 5.∵ AD平分∠BAC，∴ 易得 即 ∴△ABD 的周长 = BD + AB +
【分析】(1)过点C作 ，交BA的延长线于点E，由CE 可求证 可得AE=AC，即可求解；
(2)根据 (1)中的结论即可求解.
23．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
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