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3.3相似三角形判定定理的证明（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
2． 如图1是一款热销花架， 其侧面示意图如图2所示， 若 AB∥CD∥EF，AC=30cm， BD= 则CE的长为(　　) .
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
3． 如图，BD 是△ABC 的角平分线，ED∥BC交AB 于点 E，若△ABC 的重心G 在 DE 上，则AB： BC 的值是 (　　)
A． B． C．2 D．
4．如图，在 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点E，交 AD 于点 F，交 CD的延长线于点 G.若 AF=2FD，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
5．如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则　 　．
6． 如图，在 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连结DE 并延长，交AB 的延长线于点F.若 则△BEF 与△ADF 的周长之比为　 　.
7．如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长．
8．如图，在 中，AD 平分 交BC于点D，E 为边AB 上一点，AE=DE.
（1）求证：
（2）若 求 BC 的长.
9． 如图， 在 中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F.
（1） 求证：
（2） 若 求 的值.
二、巩固提升
10．如图，在菱形ABCD 中，AB= ，对角线 BD 的长为16，E 是 AD 的中点，F是 BD 上一点，连结EF.若BF=3，则EF 的长为　 　.
11．已知正方形的边长为，为延长线上一点，且，连接，与交于点，连接并延长与线段交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，若 AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形有 ( )
A．1对 B．2 对 C．3对 D．4 对
13．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
14．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（　　）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
15．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连结并延长，交的延长线于点F，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有　 　．
16．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，交的延长线于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线点在边上，且，连接并延长，交于点，连结，交于点，则的长为　 　．
17．如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为　 　．
18．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
19．如图①，△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，DE 与AC 交于点H，连结AD，AB=3，BE=3，CE=1.
（1）四边形 ABFD 的周长为　 　，△ECH 的面积为　 　；
（2）探究 AD，BC，BF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若图①中的△ABC 按图②所示方式放置，将△DEF 沿CA方向平移，连结 BD，AE.当四边形 ABDE 为菱形时，求CF的长.
三、能力应用
20．小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值．
（1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
（2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：．
【拓展提高】
（3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积．
21．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用“三角形相似”；
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，利用“等面积法”；
请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明.
（2）【理解应用】填空：如图（b），平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　 　；
（3）【深度思考】如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处.若AB=3，BC=4，求EF的长；
（4）【拓展升华】如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过点G的直线折叠，使点D的对应点D'落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E.若求CE的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】首现根据比的性质可得出，然后根据，即可得出，进而根据相似三角形的性质即可得出的面积与的面积之比。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
，即，
解得：，
故答案为：B .
【分析】根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可．
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 连接AG， 并延长AG交BC于点H，
∵G是 的重心，
∴AH是 中线，且
∵ED∥BC，
∵BD是 的角平分线，
设EB=ED=a，
则AE=2a.
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
，
解得：
故选： C.
【分析】连接AG，并延长AG交BC于点H，根据重心性质得 由 得 再证明EB=ED，设EB=ED=a，则AE=2a，根据平行线分线段成比例，求出 即可求解.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵BG是的平分线，
G.
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到BC=CG，然后根据平行得到根据对应边成比例解答即可.
5．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可求得DE的值，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠F=∠DBF，由等角对等边可得DB=DF，然后根据线段的和差EF=DF-DE即可求解.
6．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
与 的周长之比为3：7，
故答案为： .
【分析】根据平行四边形的性质得到即可得到△CDE∽△BFE，根据对应边成比例求出，然后证明根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
7．【答案】解：∵点D、E分别是边的中点，
∴，．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】根据三角形中位线定理。可得出DE∥BC，且BC=2DE，进而可得出，根据相似三角形的性质得出CE=2BM=4，从而得出BC=8.
8．【答案】（1）证明：∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAE.
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AC∥DE
（2）解：∵DE=AE=2，AC∥DE，
∴△BED∽△BAC，
∴BD=2CD=3，
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据AD平分∠BAC， 得∠CAD=∠DAE， 再由AE=DE， 得出∠DAE=∠ADE， 再由平行线的判定解答即可；
(2)由平行线可得△BED∽△BAC，根据对应边成比例解答即可.
9．【答案】（1）证明：∵，
∴ ∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB
（2）解：∵，
∴AB∥CD，
∴△DEF∽△AEB，
设，
∵，
∴，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得∠A=∠C，AD∥BC，再根据平行可得∠CBE=∠E，两角相等可得到相似；
(2)由平行四边形的性质得△DEF∽△AEB，和，再根据相似得到，再等量代换求解即可.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于O， 过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形 是菱形，对角线
BD的长为16，
∴AC⊥BD， AO=CO， BO= DO=8， AB
∵ E是AD的中点，
∴AD=2DE，
∵EG⊥BD，
∴EG∥AC，
∴△EGD∽△AOD，
∵BF=3，
∴FG=BD-GD-BF=9，
故答案为：
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD， AO=CO， BO=DO=8， AB=AD=4 由勾股定理可求AO的长， 通过证明△EGD∽△AOD， 可求EG = 由勾股定理可求解.
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，连接，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，由四边形是正方形，则，，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，用勾股定理计算可得DE=BD，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，即，同理可得，在Rt BGD中，用勾股定理即可求解．
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵CD//EF，
∴△COD∽△EOF，
∵CD//AB，
∴△COD∽△BOA，
∴△BOA∽△EOF，
故答案为：C.
【分析】根据由平行线得到相似三角形的方法解答.
13．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴此选项符合题意；
B、∵，
∴≠，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∴≠，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴≠，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、B：根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式求解；
C、D：根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比可得比例式求解.
14．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据， 可得出，进而得出，进而通过计算，即可得出x的值。
15．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，．
在和中
．
，故正确；
，
．
，
．
，故正确；
当时，．
，即．
，
．
．
点E为对角线上的一点，未说，
不一定等于，故不一定正确；
四边形是正方形，
，．
，．
．
．
，
，，．
．
．
．
，，
．
在和中
．
．
，故正确．
故答案为：①②④.
【分析】根据正方形的性质，利用SAS得到，即可得到判断①；根据全等三角形的对应角相等和平行线的性质得到，判断②；当时，可证等于，判断；根据平行线得到，即可得到．同理得到，可得．然后推理得到，可得．进而得到，判断解答即可．
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意可知 平分 ，
四边形 是正方形，
，
点 在 的延长线上，
，
，
过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形，
平分 ，
，
∴四边形 为正方形，
在 中， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，．
故答案为：.
【分析】根据作图得到 是 的角平分线，即可得到 ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ， 即可得到FHBP是正方形，设 ，根据两直线平行得到，，根据对应边成比例求出x和HG的长，再根据勾股定理求出DG长即可．
17．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：如图，延长EF， CB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=4， AD||BC
∵E为AD的中点
∴AE =DE=AD=2
设AF =x，则BF =AB - AF =6-x
∴EF=
∵AD||BC
∴△AEF△BGF，
∴
∴
∴
∴EG=EF+FG=
CG=BC+BG=4+=
∵EG=EC
∴=
解得x=或0(舍)
∴BF=6-x=，
故答案为：.
【分析】 如图，延长EF， CB交于点G，首先求出AE =DE=AD=2 ，设AF=x，则BF =AB - AF =6-x，勾股定理表示出EF然后证明出△AEF△BGF，得到，再用含x的式子表示出BG，FG，然后表示出EG，CG，然后利用BCE=CEF得到EG=CG，然后列方程求解即可，计算即可解答.
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
19．【答案】（1）18；
（2）解：BF=BC+AD.理由如下：
由(1)知 AD=CF，
∴BF= BC+CF=BC+AD
（3）解：如图，连结BE，设BE 与AD 交于点 O.
∵四边形ABDE为菱形，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：(1) ∵BE=3，CE=1，∴BC=4.
∵∠ABC=90°，AB=3，
∵将 △ABC 沿 BC 方 向 平 移 得到△DEF，
∴AC∥DF，DF=AC=5，
∴四边形 ACFD 是平行四边形，
∴AD=CF=BE=3，
∴四边形ABFD 的周长=3+4+3+5+3=18.
∵将 △ABC 沿 BC 方 向 平 移 得到△DEF，
∴DE∥AB，
∴△CHE∽△CAB，
即
【分析】(1)由勾股定理可求AC的长，由平移的性质可得D 可证 可求HE的长，由三角形的面积公式可求解，由平移的性质可证四边形ACFD是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；
(2)由平行四边形的性质可得AD=CF，可得结论；
(3)由菱形的性质可得. 根据余弦的定义可求AO的长，即可求解.
20．【答案】（1）解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
是的中点
．
又
（2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点．
为的中点，根据（1）问可得
．
同理可得
点为的中点
．
（3）由第（1）问可知
，
同理可得，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质及三角形面积的综合计算。
（1）要完成的求解，已知D是BC中点，，由平行线分线段成比例定理得；又因为E是AC中点，所以，进而推出；由于，再次应用平行线分线段成比例定理，可得；
（2）要证明，连接BD交AC于O，平行四边形中对角线互相平分，所以O是BD和AC的中点；E是AB中点，结合（1）的结论，在△ABD中，DE交AC于M，有；同理F是CD中点，BF交AC于N，有；因为，所以，，进而推出，故；
（3）要求四边形CDFE的面积，由（1）可知，已知，所以，；同理可得，已知，所以，；因为，所以△ABE的面积；E是AC中点，所以△BEC的面积=△ABE的面积=18，且△ADC的面积△ABC的面积=18；△AEF的面积；四边形CDFE的面积=△ADC的面积 - △AEF的面积=18 - 6=12。
21．【答案】（1）解：小明思路：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，
∴∠ACE=∠DAC，∠E=∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
小红思路：过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，过点A作AG⊥BC交BC于点G，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=(×AB×DE)：(×AC×DF)=AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD=(×BD×AG)：(×CD×AG)=BD：CD，
∴
（2）4
（3）解：∵将△ABE沿BE所在直线折叠
∴∠ABE=∠EBC，AE=EF，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∴，
∴AE=，
∴EF=AE=，
（4）方法1：连接CD'，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵BG=4，BC=8，
∴GC=4.
∴GD=DC﹣GC=8﹣4=4.
∵将DG沿过点G的直线折叠，
∴GD'=GD，∠DGH=∠HGD'=∠DGD'，
∴GD'=GC=4，
∴∠GD'C=∠GCD'，
∵∠GD'C+∠GCD'=∠DGD'，
∴∠GD'C=∠DGD'，
∴∠GD'C=∠HGD'
∴CD'∥GE，
∴，
∴，
∴CE=2+2.
方法2：过点E作EC'⊥BG，交BG的延长线于点C'，
∵将DG沿过点G的直线折叠，
∴∠CGE=∠C'GE，
.∴EC=EC'，
∴S△GBE：S△GCE= (×GB×EC')：(×GC×EC)=GB：GC，
∵S△GBE：S△GCE= (×BE×GC)：(×CE×GC)=BE：CE，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵BG=4，BC=8，
∴GC=4，∴，
∴CE=2+2.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）解：如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于点F，
∴∠BCF=∠EBC，∠F=∠EBA，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBA=∠EBC，
∴∠BCF=∠F，
∴BF=BC，
∵CF∥AD，
∴，
∴，
∵AB=6，BC=8，AC=7
∴
CE=4
，
故填：4
【分析】（1）小明思路：做平行线CE∥AD，构造等腰三角形ACE，由等腰三角形的性质得∠ACE=∠DAC，∠E=∠BAD，由角平分线的定义得∠BAD=∠DAC，等量代换得∠ACE=∠E，则AE=AC，则，等量代换得；小红思路：添加辅助线，由角平分线的性质得DE=DF，由三角形的面积之比表示得等量关系：；
（2）类比（1）做辅助线平行做平行线CF∥AD，构造等腰三角形BCF，由等腰三角形的性质得 ∠BCF=∠EBC，∠F=∠EBA， ，由角平分线的定义得 ∠EBA=∠EBC， 等量代换得 ∠BCF=∠F， ，则BF=BC，则BF=BC，等量代换得，代值求得AE=4；
（3）根据折叠的性质得∠ABE=∠EBC，AE=EF，，四边形ABCD为矩形，勾股定理得AC=5，代值得，AE=，EF=AE=；
（4）方法1连接CD'，由正方形的性质得∠BCD=90°，由BC=8，则GC=4=GD，折叠性质得GD'=GD，∠DGH=∠HGD'=∠DGD'，∠GD'C=∠GCD'，∠GD'C=∠DGD'，等量代换得∠GD'C=∠HGD'，则CD'∥GE，由，代值求得CE=2+2.
方法2：过点E作EC'⊥BG，交BG的延长线于点C'，折叠性质得∠CGE=∠C'GE，则EC=EC'
由三角形的面积之比表示得等量关系：，由正方形的性质得∠BCD=90°，由BC=8，则GC=4=GD，由，代值求得CE=2+2.
1 / 13.3相似三角形判定定理的证明（2）-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】首现根据比的性质可得出，然后根据，即可得出，进而根据相似三角形的性质即可得出的面积与的面积之比。
2． 如图1是一款热销花架， 其侧面示意图如图2所示， 若 AB∥CD∥EF，AC=30cm， BD= 则CE的长为(　　) .
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
，即，
解得：，
故答案为：B .
【分析】根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可．
3． 如图，BD 是△ABC 的角平分线，ED∥BC交AB 于点 E，若△ABC 的重心G 在 DE 上，则AB： BC 的值是 (　　)
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 连接AG， 并延长AG交BC于点H，
∵G是 的重心，
∴AH是 中线，且
∵ED∥BC，
∵BD是 的角平分线，
设EB=ED=a，
则AE=2a.
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
，
解得：
故选： C.
【分析】连接AG，并延长AG交BC于点H，根据重心性质得 由 得 再证明EB=ED，设EB=ED=a，则AE=2a，根据平行线分线段成比例，求出 即可求解.
4．如图，在 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点E，交 AD 于点 F，交 CD的延长线于点 G.若 AF=2FD，则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵BG是的平分线，
G.
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到BC=CG，然后根据平行得到根据对应边成比例解答即可.
5．如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可求得DE的值，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠F=∠DBF，由等角对等边可得DB=DF，然后根据线段的和差EF=DF-DE即可求解.
6． 如图，在 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连结DE 并延长，交AB 的延长线于点F.若 则△BEF 与△ADF 的周长之比为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
与 的周长之比为3：7，
故答案为： .
【分析】根据平行四边形的性质得到即可得到△CDE∽△BFE，根据对应边成比例求出，然后证明根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
7．如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长．
【答案】解：∵点D、E分别是边的中点，
∴，．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】根据三角形中位线定理。可得出DE∥BC，且BC=2DE，进而可得出，根据相似三角形的性质得出CE=2BM=4，从而得出BC=8.
8．如图，在 中，AD 平分 交BC于点D，E 为边AB 上一点，AE=DE.
（1）求证：
（2）若 求 BC 的长.
【答案】（1）证明：∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAE.
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AC∥DE
（2）解：∵DE=AE=2，AC∥DE，
∴△BED∽△BAC，
∴BD=2CD=3，
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据AD平分∠BAC， 得∠CAD=∠DAE， 再由AE=DE， 得出∠DAE=∠ADE， 再由平行线的判定解答即可；
(2)由平行线可得△BED∽△BAC，根据对应边成比例解答即可.
9． 如图， 在 中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F.
（1） 求证：
（2） 若 求 的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴ ∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB
（2）解：∵，
∴AB∥CD，
∴△DEF∽△AEB，
设，
∵，
∴，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得∠A=∠C，AD∥BC，再根据平行可得∠CBE=∠E，两角相等可得到相似；
(2)由平行四边形的性质得△DEF∽△AEB，和，再根据相似得到，再等量代换求解即可.
二、巩固提升
10．如图，在菱形ABCD 中，AB= ，对角线 BD 的长为16，E 是 AD 的中点，F是 BD 上一点，连结EF.若BF=3，则EF 的长为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于O， 过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形 是菱形，对角线
BD的长为16，
∴AC⊥BD， AO=CO， BO= DO=8， AB
∵ E是AD的中点，
∴AD=2DE，
∵EG⊥BD，
∴EG∥AC，
∴△EGD∽△AOD，
∵BF=3，
∴FG=BD-GD-BF=9，
故答案为：
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD， AO=CO， BO=DO=8， AB=AD=4 由勾股定理可求AO的长， 通过证明△EGD∽△AOD， 可求EG = 由勾股定理可求解.
11．已知正方形的边长为，为延长线上一点，且，连接，与交于点，连接并延长与线段交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，连接，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，由四边形是正方形，则，，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，用勾股定理计算可得DE=BD，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，即，同理可得，在Rt BGD中，用勾股定理即可求解．
12．如图，若 AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形有 ( )
A．1对 B．2 对 C．3对 D．4 对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵CD//EF，
∴△COD∽△EOF，
∵CD//AB，
∴△COD∽△BOA，
∴△BOA∽△EOF，
故答案为：C.
【分析】根据由平行线得到相似三角形的方法解答.
13．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴此选项符合题意；
B、∵，
∴≠，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∴≠，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴≠，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、B：根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式求解；
C、D：根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比可得比例式求解.
14．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（　　）
A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据， 可得出，进而得出，进而通过计算，即可得出x的值。
15．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连结并延长，交的延长线于点F，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，．
在和中
．
，故正确；
，
．
，
．
，故正确；
当时，．
，即．
，
．
．
点E为对角线上的一点，未说，
不一定等于，故不一定正确；
四边形是正方形，
，．
，．
．
．
，
，，．
．
．
．
，，
．
在和中
．
．
，故正确．
故答案为：①②④.
【分析】根据正方形的性质，利用SAS得到，即可得到判断①；根据全等三角形的对应角相等和平行线的性质得到，判断②；当时，可证等于，判断；根据平行线得到，即可得到．同理得到，可得．然后推理得到，可得．进而得到，判断解答即可．
16．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，交的延长线于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线点在边上，且，连接并延长，交于点，连结，交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意可知 平分 ，
四边形 是正方形，
，
点 在 的延长线上，
，
，
过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形，
平分 ，
，
∴四边形 为正方形，
在 中， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，．
故答案为：.
【分析】根据作图得到 是 的角平分线，即可得到 ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ， 即可得到FHBP是正方形，设 ，根据两直线平行得到，，根据对应边成比例求出x和HG的长，再根据勾股定理求出DG长即可．
17．如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：如图，延长EF， CB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=4， AD||BC
∵E为AD的中点
∴AE =DE=AD=2
设AF =x，则BF =AB - AF =6-x
∴EF=
∵AD||BC
∴△AEF△BGF，
∴
∴
∴
∴EG=EF+FG=
CG=BC+BG=4+=
∵EG=EC
∴=
解得x=或0(舍)
∴BF=6-x=，
故答案为：.
【分析】 如图，延长EF， CB交于点G，首先求出AE =DE=AD=2 ，设AF=x，则BF =AB - AF =6-x，勾股定理表示出EF然后证明出△AEF△BGF，得到，再用含x的式子表示出BG，FG，然后表示出EG，CG，然后利用BCE=CEF得到EG=CG，然后列方程求解即可，计算即可解答.
18．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
19．如图①，△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，DE 与AC 交于点H，连结AD，AB=3，BE=3，CE=1.
（1）四边形 ABFD 的周长为　 　，△ECH 的面积为　 　；
（2）探究 AD，BC，BF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若图①中的△ABC 按图②所示方式放置，将△DEF 沿CA方向平移，连结 BD，AE.当四边形 ABDE 为菱形时，求CF的长.
【答案】（1）18；
（2）解：BF=BC+AD.理由如下：
由(1)知 AD=CF，
∴BF= BC+CF=BC+AD
（3）解：如图，连结BE，设BE 与AD 交于点 O.
∵四边形ABDE为菱形，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：(1) ∵BE=3，CE=1，∴BC=4.
∵∠ABC=90°，AB=3，
∵将 △ABC 沿 BC 方 向 平 移 得到△DEF，
∴AC∥DF，DF=AC=5，
∴四边形 ACFD 是平行四边形，
∴AD=CF=BE=3，
∴四边形ABFD 的周长=3+4+3+5+3=18.
∵将 △ABC 沿 BC 方 向 平 移 得到△DEF，
∴DE∥AB，
∴△CHE∽△CAB，
即
【分析】(1)由勾股定理可求AC的长，由平移的性质可得D 可证 可求HE的长，由三角形的面积公式可求解，由平移的性质可证四边形ACFD是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；
(2)由平行四边形的性质可得AD=CF，可得结论；
(3)由菱形的性质可得. 根据余弦的定义可求AO的长，即可求解.
三、能力应用
20．小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值．
（1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
（2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：．
【拓展提高】
（3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
是的中点
．
又
（2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点．
为的中点，根据（1）问可得
．
同理可得
点为的中点
．
（3）由第（1）问可知
，
同理可得，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质及三角形面积的综合计算。
（1）要完成的求解，已知D是BC中点，，由平行线分线段成比例定理得；又因为E是AC中点，所以，进而推出；由于，再次应用平行线分线段成比例定理，可得；
（2）要证明，连接BD交AC于O，平行四边形中对角线互相平分，所以O是BD和AC的中点；E是AB中点，结合（1）的结论，在△ABD中，DE交AC于M，有；同理F是CD中点，BF交AC于N，有；因为，所以，，进而推出，故；
（3）要求四边形CDFE的面积，由（1）可知，已知，所以，；同理可得，已知，所以，；因为，所以△ABE的面积；E是AC中点，所以△BEC的面积=△ABE的面积=18，且△ADC的面积△ABC的面积=18；△AEF的面积；四边形CDFE的面积=△ADC的面积 - △AEF的面积=18 - 6=12。
21．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用“三角形相似”；
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，利用“等面积法”；
请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明.
（2）【理解应用】填空：如图（b），平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　 　；
（3）【深度思考】如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处.若AB=3，BC=4，求EF的长；
（4）【拓展升华】如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过点G的直线折叠，使点D的对应点D'落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E.若求CE的长.
【答案】（1）解：小明思路：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，
∴∠ACE=∠DAC，∠E=∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
小红思路：过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，过点A作AG⊥BC交BC于点G，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=(×AB×DE)：(×AC×DF)=AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD=(×BD×AG)：(×CD×AG)=BD：CD，
∴
（2）4
（3）解：∵将△ABE沿BE所在直线折叠
∴∠ABE=∠EBC，AE=EF，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∴，
∴AE=，
∴EF=AE=，
（4）方法1：连接CD'，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵BG=4，BC=8，
∴GC=4.
∴GD=DC﹣GC=8﹣4=4.
∵将DG沿过点G的直线折叠，
∴GD'=GD，∠DGH=∠HGD'=∠DGD'，
∴GD'=GC=4，
∴∠GD'C=∠GCD'，
∵∠GD'C+∠GCD'=∠DGD'，
∴∠GD'C=∠DGD'，
∴∠GD'C=∠HGD'
∴CD'∥GE，
∴，
∴，
∴CE=2+2.
方法2：过点E作EC'⊥BG，交BG的延长线于点C'，
∵将DG沿过点G的直线折叠，
∴∠CGE=∠C'GE，
.∴EC=EC'，
∴S△GBE：S△GCE= (×GB×EC')：(×GC×EC)=GB：GC，
∵S△GBE：S△GCE= (×BE×GC)：(×CE×GC)=BE：CE，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵BG=4，BC=8，
∴GC=4，∴，
∴CE=2+2.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）解：如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于点F，
∴∠BCF=∠EBC，∠F=∠EBA，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBA=∠EBC，
∴∠BCF=∠F，
∴BF=BC，
∵CF∥AD，
∴，
∴，
∵AB=6，BC=8，AC=7
∴
CE=4
，
故填：4
【分析】（1）小明思路：做平行线CE∥AD，构造等腰三角形ACE，由等腰三角形的性质得∠ACE=∠DAC，∠E=∠BAD，由角平分线的定义得∠BAD=∠DAC，等量代换得∠ACE=∠E，则AE=AC，则，等量代换得；小红思路：添加辅助线，由角平分线的性质得DE=DF，由三角形的面积之比表示得等量关系：；
（2）类比（1）做辅助线平行做平行线CF∥AD，构造等腰三角形BCF，由等腰三角形的性质得 ∠BCF=∠EBC，∠F=∠EBA， ，由角平分线的定义得 ∠EBA=∠EBC， 等量代换得 ∠BCF=∠F， ，则BF=BC，则BF=BC，等量代换得，代值求得AE=4；
（3）根据折叠的性质得∠ABE=∠EBC，AE=EF，，四边形ABCD为矩形，勾股定理得AC=5，代值得，AE=，EF=AE=；
（4）方法1连接CD'，由正方形的性质得∠BCD=90°，由BC=8，则GC=4=GD，折叠性质得GD'=GD，∠DGH=∠HGD'=∠DGD'，∠GD'C=∠GCD'，∠GD'C=∠DGD'，等量代换得∠GD'C=∠HGD'，则CD'∥GE，由，代值求得CE=2+2.
方法2：过点E作EC'⊥BG，交BG的延长线于点C'，折叠性质得∠CGE=∠C'GE，则EC=EC'
由三角形的面积之比表示得等量关系：，由正方形的性质得∠BCD=90°，由BC=8，则GC=4=GD，由，代值求得CE=2+2.
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