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3.4 相似三角形的性质-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长与的延长线交于点．已知，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．10
2． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
3． 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置， 已知AB=6，HD=2，CF=3，则CE的长度为(　　)
A．9 B．8 C．6 D．5
4．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（　　）
A． B．6 C．5 D．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝9，交点为O，点F在OC上，且CF＝2OF，过点F作EF∥BC交AB于点E．则△AEF的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．8
6．若，面积比为，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若CD=2AB，AE=3，则DE的长为　 　.
8．如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为　 　.
9．如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，．
（1）求证：；
（2）直接写出的长为　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，点 D 在 AC上，连结 BD，过点 A 作 AF⊥BD 于点E，交 BC 于点 F.
（1）求证：△AED∽△BAD；
（2）过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，若 AD = ，求AG 的长.
二、巩固提升
11．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在菱形ABCD中，AB=6，点E是AD的中点，EF交 CD 于点 G、交 BC的延长线于点 F.若DG=3CG，则BF的长为（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H.当点G是OA 的中点时， 的值为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．在菱形ABCD中， AD=5， AE⊥BC于点E， EC=2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　 　.
16．如图，在△ABC中，已知DE∥BC， DE=2， BC=6， △ADE的面积为2，则△ABC的面积为　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E是BC的中点，连接DE交AC于点F，连接OE.若AB=6， BC= ，则△OEF的周长为　 　.
18． 如图，在△ABC中， D为AC边上一点，
（1）求证： △CBD∽△CAB.
（2）若 BD=AC=3，求AB的长.
19． 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
20．如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，
（1）求证：．
（2）若，求的值．
三、能力应用
21．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究.如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n>1)，点D在AC边上，延长ED交AB 于点 F.
（1）【初步感知】求证：
（2）【深入探究】如图1，当n=2，AD=1时，求BF的长；
（3）【拓展延伸】如图2，将△EAD 绕点 E 按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F，A'，D'三点共线，且点A的对应点A'满足A'A⊥A'B，求n的值.
22．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长. 参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；线段的比；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】
先根据比列线段计算出，再由平行四边形的性质得到，，然后即可得到，根据相似三角形的性质得到，带入已知数据，即可计算出的长，从而得到CD的长，解答即可．
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90 ，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△ACO∽△BDO。
根据相似三角形对应边成比例：
已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
代入：，
，
AC=60cm .
故答案为：B .
【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角 + 对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度.
3．【答案】C
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，平移前后对应线段平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离，因此 ，，且 。
，，又 为公共角，故 。
由 ，可得 。
设 ，则 。
根据相似三角形对应边成比例，得 ，即 ，
解得 ，即
故答案为：C
【分析】本题考查平移的性质与相似三角形的判定及性质，解题时先根据平移的特征得到对应边的长度与平行关系，再由平行判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，代入已知边长求解即可得到CE的长度。
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：A
【分析】由角平分 ， 四边形为平行四边形 ，得，，证明，，即，BG=．
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且菱形面积等于对角线乘积的一半
∴菱形的面积
∵对角线将菱形分成两个面积相等的三角形
∴
∵，∴
∵，∴
∴
∵，∴
∵相似三角形面积比等于相似比的平方
∴
∴
故答案为：B
【分析】本题考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质。先根据菱形对角线的性质求出菱形及的面积，再由线段比例关系求出的长度，利用平行线判定与相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算的面积。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，面积比为，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，
∴与的周长比为3：4，
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
7．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴ ∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又 ∵ ∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴ △ABE∽△DCE（AA 相似），
∴.
已知 CD=2AB，即且 AE=3，
∴.
∴DE=3×2=6.
故答案为：6 .
【分析】由 AB∥CD，利用平行线的性质得到两组内错角相等，结合对顶角相等，证明 △ABE∽△DCE，由相似三角形的性质，对应边成比例，即。由已知条件 CD=2AB，得到相似比为 1：2，再代入 AE=3，解得 DE=6。
8．【答案】
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明对应边成比例且夹角相等，得出△ADE∽△ACB，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，求出 AG 与 AF 的比值，进而推得 AG 与 GF 的比值
9．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）2
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵等边△ABC的边长为4，
∴AB=AC=BC=4，
∵△ABD~△ECA，
∴，即
∴BD=2
故答案为：2.
【分析】(1)根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，从而得到∠ABD=∠ACE，即可求证；
(2)根据△ABD~△ECA，可得，即可求解.
10．【答案】（1）证明：∵AF⊥BD，
∴∠AED=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAD.
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BAD.
（2）解：∠FGC=∠BAC=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠GAF，
∴△AGF~△AED，
∴
∵△AED~△BAD，
∴
∴
∵∠C=∠C， ∠FGC=∠BAC=90°， AB=5，AC=12，
∴
设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，
∴AC=AG+GC=22x=12，
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用两角对应相等证明△AED~△BAD；
(2)先证△AGF~△AED~△BAD，推出，再证△CGF~△CAB，推出，设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，根据AC=AG+GC=22x=12求出x值，即可求解.
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵点E为OC的中点，
∴，
∵EF//AB.
∴△CEF∽△CAB
∴，即
∴EF=1
故选：B.
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可.
12．【答案】A
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=6，AD//BF
∴△EDH∽△FCG
∴
∵DG=3CG
∴
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
解得：CF=1，
∴BF=BC+CF=6+1=7，
故答案为：A.
【分析】利用菱形的性质得到AB=AD=BC=6，AD//BF，即可推出△EDH∽△FCG，得到，接着运算出CF的长即可解答.
13．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由平移得，
∴，
∵点是的中点，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
故答案为：A
【分析】本题综合考查正方形的性质、平移的性质与相似三角形的判定及性质，求解线段比例。解题时先根据平移的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质结合中点证明得到，再根据正方形的性质结合题意等量代换即可求解。
14．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ，AD∥BC，
∵EM⊥AF ，
∴∠ANE=∠ANM=∠ENF=90° ，
∴∠ABC=∠ANE ，
∵AE 平分∠BAF，
∴∠BAE=∠NAE，
在△ABE和△ANE中，
∴△ABE≌△ANE（AAS）
∴AB=AN=6，BE=NE=2，
设EF=x ，
∴BF=BE+EF=x+2，
∵∠ENF=∠ABC=90° ，∠EFN=∠AFB ，
∴△EFN∽△AFB ，
∴，
∴AF=3EF=3x，NF=BF=，
∵AF=AN+NF，
∴
解之：；
∴，
∵AD∥BC，
∴△EFN∽△MAN ，
∴即
解之：MN=8 ，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质和角平分线的概念易证∠ABC=∠ANE，∠BAE=∠NAE，利用AAS可证得△ABE≌△ANE，利用全等三角形的性质可求出AN、EN的长；设EF=x ，可表示出BF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似易证△EFN∽△AFB ，利用相似三角形的性质可表示出AF、NF的长，根据AF=AN+NF，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到NF的长；由AD∥BC可证得△EFN∽△MAN ，利用相似三角形的性质可求出MN的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AMN的面积.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
∴，
，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出，然后根据平行线得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
16．【答案】18
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故答案为：18.
【分析】根据平行得到△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，，，
在中，根据勾股定理，得，
，
是的中点，
，，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的周长为．
故答案为： .
【分析】本题先利用矩形的性质得到边长与角度关系，结合E是BC中点、O是对角线中点，求出BE、OE的长度，再利用勾股定理依次求出对角线AC和线段DE的长，最后根据平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质求出∠OEF各边的长度，进而算出周长。
18．【答案】（1）证明：∵BC2=CDAC，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB
（2）解：∵△CBD∽△CAB，
∴.
∵BC2=6，
∴.
又∵AC=3，BD=3，
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先将条件BC2=CDAC转化为比值的形式，再结合条件∠C为公共角，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形为相似三角形，即可得证；
（2）利用（1）中所证得的相似三角形，可得对应边成比例，可得到关于AB的等式，求出方程的解即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定，首先利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，由推出内错角，再结合已知的，根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，即可证明两个三角形相似；
（2）本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方。先由平行四边形对边平行判定，再根据已知的与的比例，结合推出与的长度比，即两个三角形的相似比；将相似比平方得到面积比，代入的面积，即可计算出的面积。
20．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）首先BD是角平分线，因此可以得到；再根据平行四边形的性质，可得，由平行线内错角相等可推得。等量代换后得到，根据等角对等边，即可证得。
（2）结合角平分线的定义与平行线的性质，可推得；再根据相似三角形的判定与性质，可得，整理后得到，，结合进一步推得，最后代入关系即可计算得到结果.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
即的长为；
（3）解：如图，连接，
设，
由（2）中的结论可得，
由旋转的性质得，，，
∴，
设，
∵F，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴n的值为．
【知识点】旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，即可得到，结合可以得到，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据全等可得，，根据相似三角形的对应边成比例得到可得，，然后根据DE长求出AF，再根据线段的和差解答即可；
（3）连接，设，即可得到，根据旋转可得，设，进而可得，推理得到，根据等角对等边得到，利用三线合一得到，即可得哦大，然后根据可得，，再利用线段的和差求出n的值解答即可．
22．【答案】解：6； ②
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：第二步，∵，，周长为，
∴，
第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步，通过测量发现，所以②不符合；
故答案为：6；②；
【分析】第二步、根据三角形周长得到，解答即可；
第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步、先得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比例解答即可.
1 / 13.4 相似三角形的性质-北师大版数学九上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长与的延长线交于点．已知，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；线段的比；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】
先根据比列线段计算出，再由平行四边形的性质得到，，然后即可得到，根据相似三角形的性质得到，带入已知数据，即可计算出的长，从而得到CD的长，解答即可．
2． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90 ，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△ACO∽△BDO。
根据相似三角形对应边成比例：
已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
代入：，
，
AC=60cm .
故答案为：B .
【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角 + 对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度.
3． 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置， 已知AB=6，HD=2，CF=3，则CE的长度为(　　)
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，平移前后对应线段平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离，因此 ，，且 。
，，又 为公共角，故 。
由 ，可得 。
设 ，则 。
根据相似三角形对应边成比例，得 ，即 ，
解得 ，即
故答案为：C
【分析】本题考查平移的性质与相似三角形的判定及性质，解题时先根据平移的特征得到对应边的长度与平行关系，再由平行判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，代入已知边长求解即可得到CE的长度。
4．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（　　）
A． B．6 C．5 D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：A
【分析】由角平分 ， 四边形为平行四边形 ，得，，证明，，即，BG=．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝9，交点为O，点F在OC上，且CF＝2OF，过点F作EF∥BC交AB于点E．则△AEF的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且菱形面积等于对角线乘积的一半
∴菱形的面积
∵对角线将菱形分成两个面积相等的三角形
∴
∵，∴
∵，∴
∴
∵，∴
∵相似三角形面积比等于相似比的平方
∴
∴
故答案为：B
【分析】本题考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质。先根据菱形对角线的性质求出菱形及的面积，再由线段比例关系求出的长度，利用平行线判定与相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算的面积。
6．若，面积比为，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，面积比为，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，
∴与的周长比为3：4，
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
7．如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若CD=2AB，AE=3，则DE的长为　 　.
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴ ∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又 ∵ ∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴ △ABE∽△DCE（AA 相似），
∴.
已知 CD=2AB，即且 AE=3，
∴.
∴DE=3×2=6.
故答案为：6 .
【分析】由 AB∥CD，利用平行线的性质得到两组内错角相等，结合对顶角相等，证明 △ABE∽△DCE，由相似三角形的性质，对应边成比例，即。由已知条件 CD=2AB，得到相似比为 1：2，再代入 AE=3，解得 DE=6。
8．如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明对应边成比例且夹角相等，得出△ADE∽△ACB，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，求出 AG 与 AF 的比值，进而推得 AG 与 GF 的比值
9．如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，．
（1）求证：；
（2）直接写出的长为　 　．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）2
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵等边△ABC的边长为4，
∴AB=AC=BC=4，
∵△ABD~△ECA，
∴，即
∴BD=2
故答案为：2.
【分析】(1)根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，从而得到∠ABD=∠ACE，即可求证；
(2)根据△ABD~△ECA，可得，即可求解.
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，点 D 在 AC上，连结 BD，过点 A 作 AF⊥BD 于点E，交 BC 于点 F.
（1）求证：△AED∽△BAD；
（2）过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，若 AD = ，求AG 的长.
【答案】（1）证明：∵AF⊥BD，
∴∠AED=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAD.
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BAD.
（2）解：∠FGC=∠BAC=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠GAF，
∴△AGF~△AED，
∴
∵△AED~△BAD，
∴
∴
∵∠C=∠C， ∠FGC=∠BAC=90°， AB=5，AC=12，
∴
设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，
∴AC=AG+GC=22x=12，
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用两角对应相等证明△AED~△BAD；
(2)先证△AGF~△AED~△BAD，推出，再证△CGF~△CAB，推出，设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，根据AC=AG+GC=22x=12求出x值，即可求解.
二、巩固提升
11．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵点E为OC的中点，
∴，
∵EF//AB.
∴△CEF∽△CAB
∴，即
∴EF=1
故选：B.
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可.
12．如图，在菱形ABCD中，AB=6，点E是AD的中点，EF交 CD 于点 G、交 BC的延长线于点 F.若DG=3CG，则BF的长为（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=6，AD//BF
∴△EDH∽△FCG
∴
∵DG=3CG
∴
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
解得：CF=1，
∴BF=BC+CF=6+1=7，
故答案为：A.
【分析】利用菱形的性质得到AB=AD=BC=6，AD//BF，即可推出△EDH∽△FCG，得到，接着运算出CF的长即可解答.
13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H.当点G是OA 的中点时， 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由平移得，
∴，
∵点是的中点，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
故答案为：A
【分析】本题综合考查正方形的性质、平移的性质与相似三角形的判定及性质，求解线段比例。解题时先根据平移的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质结合中点证明得到，再根据正方形的性质结合题意等量代换即可求解。
14．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ，AD∥BC，
∵EM⊥AF ，
∴∠ANE=∠ANM=∠ENF=90° ，
∴∠ABC=∠ANE ，
∵AE 平分∠BAF，
∴∠BAE=∠NAE，
在△ABE和△ANE中，
∴△ABE≌△ANE（AAS）
∴AB=AN=6，BE=NE=2，
设EF=x ，
∴BF=BE+EF=x+2，
∵∠ENF=∠ABC=90° ，∠EFN=∠AFB ，
∴△EFN∽△AFB ，
∴，
∴AF=3EF=3x，NF=BF=，
∵AF=AN+NF，
∴
解之：；
∴，
∵AD∥BC，
∴△EFN∽△MAN ，
∴即
解之：MN=8 ，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质和角平分线的概念易证∠ABC=∠ANE，∠BAE=∠NAE，利用AAS可证得△ABE≌△ANE，利用全等三角形的性质可求出AN、EN的长；设EF=x ，可表示出BF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似易证△EFN∽△AFB ，利用相似三角形的性质可表示出AF、NF的长，根据AF=AN+NF，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到NF的长；由AD∥BC可证得△EFN∽△MAN ，利用相似三角形的性质可求出MN的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AMN的面积.
15．在菱形ABCD中， AD=5， AE⊥BC于点E， EC=2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
∴，
，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出，然后根据平行线得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
16．如图，在△ABC中，已知DE∥BC， DE=2， BC=6， △ADE的面积为2，则△ABC的面积为　 　．
【答案】18
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故答案为：18.
【分析】根据平行得到△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E是BC的中点，连接DE交AC于点F，连接OE.若AB=6， BC= ，则△OEF的周长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，，，
在中，根据勾股定理，得，
，
是的中点，
，，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的周长为．
故答案为： .
【分析】本题先利用矩形的性质得到边长与角度关系，结合E是BC中点、O是对角线中点，求出BE、OE的长度，再利用勾股定理依次求出对角线AC和线段DE的长，最后根据平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质求出∠OEF各边的长度，进而算出周长。
18． 如图，在△ABC中， D为AC边上一点，
（1）求证： △CBD∽△CAB.
（2）若 BD=AC=3，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵BC2=CDAC，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB
（2）解：∵△CBD∽△CAB，
∴.
∵BC2=6，
∴.
又∵AC=3，BD=3，
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先将条件BC2=CDAC转化为比值的形式，再结合条件∠C为公共角，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形为相似三角形，即可得证；
（2）利用（1）中所证得的相似三角形，可得对应边成比例，可得到关于AB的等式，求出方程的解即可.
19． 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定，首先利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，由推出内错角，再结合已知的，根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，即可证明两个三角形相似；
（2）本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方。先由平行四边形对边平行判定，再根据已知的与的比例，结合推出与的长度比，即两个三角形的相似比；将相似比平方得到面积比，代入的面积，即可计算出的面积。
20．如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，
（1）求证：．
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）首先BD是角平分线，因此可以得到；再根据平行四边形的性质，可得，由平行线内错角相等可推得。等量代换后得到，根据等角对等边，即可证得。
（2）结合角平分线的定义与平行线的性质，可推得；再根据相似三角形的判定与性质，可得，整理后得到，，结合进一步推得，最后代入关系即可计算得到结果.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
三、能力应用
21．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究.如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n>1)，点D在AC边上，延长ED交AB 于点 F.
（1）【初步感知】求证：
（2）【深入探究】如图1，当n=2，AD=1时，求BF的长；
（3）【拓展延伸】如图2，将△EAD 绕点 E 按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F，A'，D'三点共线，且点A的对应点A'满足A'A⊥A'B，求n的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
即的长为；
（3）解：如图，连接，
设，
由（2）中的结论可得，
由旋转的性质得，，，
∴，
设，
∵F，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴n的值为．
【知识点】旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，即可得到，结合可以得到，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据全等可得，，根据相似三角形的对应边成比例得到可得，，然后根据DE长求出AF，再根据线段的和差解答即可；
（3）连接，设，即可得到，根据旋转可得，设，进而可得，推理得到，根据等角对等边得到，利用三线合一得到，即可得哦大，然后根据可得，，再利用线段的和差求出n的值解答即可．
22．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长. 参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.
【答案】解：6； ②
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：第二步，∵，，周长为，
∴，
第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步，通过测量发现，所以②不符合；
故答案为：6；②；
【分析】第二步、根据三角形周长得到，解答即可；
第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步、先得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比例解答即可.
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