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北师大版（2024）九年级上 第五章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A． B．x2-y+2=0 C．y=2x+1 D．y2=x2-1
2．已知二次函数y=x2+mx+n（m,n是常数）的图象与x轴的交点横坐标为1和t,若2＜t＜4，则m的取值范围是（　　）
A．-3＜m＜0 B．-5＜m＜-3 C．3＜m＜5 D．-5＜m＜3
3．对于二次函数y=4（x-1）（x-5），下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．对称轴是直线x=3
C．与x轴的交点是（-1，0）和（-3，0）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如所示，那么下列判断不正确的是（　　）
A．ac＜0 B．a-b+c＞0 C．b=-4a D．a+b+c＞0
5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c均为常数，且a≠0）的顶点坐标为（1，-2），且抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＜0 C．a-c=1 D．4a+2b+c＞0
6．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度y（m）与距水管的水平距离x（m）之间满足，则AB的长为（　　）
A．2m B．3m C．4m D．6m
7．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+c（c＞0）上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），则下列结论中正确的是（　　）
A．m-n=1 B．m+n=1 C．m=1 D．
8．已知二次函数y=ax2-4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m-3＜x1＜m-1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　）
A．当m=1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5
C．当y1＜y2时，m＞-1 D．当m＜-1时，y1＜y2
9．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y=-x2+3x+c（c为常数）有两个不相等且都小于3的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＞3 B．-1＜c＜3 C． D．
10．若二次函数y=-x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　）
A．-4或5 B．-1或5 C．-1或7 D．-4或7
11．如图，点P是抛物线y=x2+bx+c的顶点，点B、点D在抛物线上，PA∥BC∥x轴，AB⊥PA，BC⊥CD，若PA=BC=m,则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为（4，0），与y轴的交点在（0，1）和（0，2）之间，以下结论：①abc＜0；②a+c＜0；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，y1＞y2；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．若y=（a+2）x|a|+3x-1是二次函数，则a的值为______．
14．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ______．
15．抛物线y=（x+2m）2-1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．
16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点；抛物线与x轴交于C，D两点．
（1）若n=6，则抛物线C2的对称轴是直线x=______；
（2）若，且C是线段AB的中点，则n的值为______．
17．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）经过（-1，-2），（1，0），（m,0）三点，其中m≠1．下列结论：①b=1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则-1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b-1）x+c+1＞0的解集是-1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h,k），则k＞0或k≤-2；⑤抛物线y=ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜-1．其中正确的是______（填写序号）．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=-9x2-6ax-a2+2a.
（1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围；
（2）若该二次函数的顶点在y=1-x的图象上，求实数a的值．
19．抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值．
（3）若点M（m,y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围．
20．如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m、宽是4m,按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m,到地面OA的竖直距离为．
（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1．
（1）求二次函数关系式．
（2）连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，且∠ABC=45°．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交射线CB于点Q，点D为抛物线对称轴上的动点，连接PA，PD，AD．当取得最大值时，求此时点P的坐标及△PAD周长的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到抛物线y'，点M为点P的对应点，点N是抛物线y'上的一动点．若∠NAB=∠PMC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
北师大版（2024）九年级上 第五章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、B 4、B 5、D 6、A 7、A 8、D 9、B 10、A 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、0或1； 15、m≤-2； 16、6；3； 17、①②④⑤；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）当-9x2-6ax-a2+2a=0时，
Δ=36a2-36（a2-2a）=72a,
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴72a＞0，
∴a＞0；
（2）∵y=-9x2-6ax-a2+2a=-9（x+a）2+2a,
∴顶点为（-a,2a），
∵顶点在y=1-x的图象上，
∴1+a=2a,
解得a=．
19、解：（1）抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3；
（2）由（1）得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∵PQ∥x轴，
∴P，Q关于直线x=1对称，
设P（xP，d），Q（xQ，d），则xP+xQ=2，
∵点D为线段PQ的三等分点，且P在Q的左侧，
∴点D在P，Q之间，且xP＜0＜xQ，
若，则，即xQ=-2xP，
联立xP+xQ=2，
解得：xP=-2，
当x=-2时，d=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，
若，则，即xP=-2xQ，
联立xP+xQ=2，
解得：xQ=-2，与xQ＞0矛盾，舍去，
∴d=-5；
（3）m的取值范围是0.5＜m＜2．理由如下：
点M（m,y1）和点N（m+1，y2）在二次函数的图象上，将点M，点N的坐标分别代入得：
，，
∵0＜y2＜y1，
∴，
解得：0.5＜m＜2，
∴m的取值范围是0.5＜m＜2．
20、解：（1）由题意知，，B（0，4），
将点B（0，4），代入中，得
，解得，
∴，
，
∴抛物线的顶点坐标为D（6，10），
∴拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）如图，设两排灯的截面图分别为点P、Q．
当时，由抛物线的对称性可知：点Q的横坐标为，
将代入得：，
根据图象，易知当灯离地面的高度y≥8时，，
即灯离地面的最小高度是8m.
21、解：（1）由二次函数对称轴公式，a=1，对称轴x=1，
得，-=1，
解得b=-2，
将A（-1，0）、b=-2代入y=x2+bx+c得：
（-1）2-2×（-1）+c=0，即1+2+c=0，解得c=-3，
∴二次函数关系式：y=x2-2x-3．
（2）由y=x2-2x-3得B（3，0），C（0，-3），
∴OA=1，OC=3，OB=OC=3，
△BOC为等腰直角三角形，∠OBC=45°．
设∠ACO=α，
则，
∴∠CBP=45°-α
构造格点O（0，0）、N（3，1）、Q（1，2）．
由勾股定理：，
QN=，
ON==，
∴OQ2+QN2=5+5=10=ON2，且OQ=QN，
∴△OQN是等腰直角三角形，∠QON=45°，
记∠NOx=α，tanα=，则∠QOx=45°-α，
∴，
设直线BP的解析式为y=m（x-3）．
过点B作水平、竖直辅助线，结合的线段比例关系，一次项系数，
∴直线BP：．
联立，
整理得2x2-5x-3=0，（x-3）（2x+1）=0．
x=3对应点B舍去，得，代入得，
∴；
综上，存在点P，坐标为．
22、解：（1）对于y=-x2+bx+c,对称轴为直线，C（0，c），OC=c,
由题意，对称轴，
∵∠ABC=45°，
∴b=3，OB=OC=c,
∴B（c,0），代入y=-x2+3x+c中，得0=-c2+3c+c,
解得c=4，
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+4；
（2）由（1）知B（4，0），C（0，4），
设直线BC的表达式为y=kx+n,
则
解得，
∴直线BC的表达式为y=-x+4，
设P（m,-m2+3m+4），则Q（m,-m+4），0＜m＜4，
∴PQ=-m2+3m+4-（-m+4）=-m2+4m,
BQ=×=2（4-m）=8-2m,
∴PQ+BQ=-m2+4m+8-2m=-m2+2m+8=-（m-1）2+9，
∵-1＜0，0＜m＜4，
∴当m=1时，PQ+BQ取得最大值，此时P（1，6）；
∵抛物线的对称轴为直线x=，B（4，0），
∴A（-1，0），
∴AP==2，
如图，作点P关于对称轴对称的点P′，连接AP'交对称轴于点D，
则点P'的坐标为（2，6），PD+AD=P'D+AD=AP'，此时PD+AD最小，最小值为AP'的长，
∵AP'==3，
∵△PAD周长为AP+PD+AD，
∴△PAD周长的最小值为2+3；
（3）∵∠ABC=45°，
∴将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移2个单位长度得到抛物线y'，相当于将抛物线y=-x2+bx+c先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y'，
∴y=-（x-2）2+3（x-2）+4-2=-x2+7x-8，M（3，4），
设N（t,-t2+7t-8）
当点N在x轴上方时，
∵C（0，4），M（3，4），
∴CM∥x轴，
∵∠NAB=∠PMC，
∴tan∠NAB=tan∠PMC，则=，
整理，得t2-6t+9=0，
解得t1=t2=3，此时点N坐标为（3，4）；
当点N在x轴下方时，同理CM∥x轴，tan∠NAB=tan∠PMC，
∴=
整理，得t2-8t+7=0，
解得t1=1，t2=7，此时点N坐标为（1，-2）或（7，-8），
综上，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（1，-2）或（7，-8）．

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