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人教版（2024）九年级上 第二十五章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2026春 岚山区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1=0 B．2x2-3xy=-1 C． D．3x+1=2x-5
2．某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
3．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2-2x-5=0 B．x2-2x=-5 C．x2-2x=0 D．x2-2x-3=0
4．若x=1是关于x的一元二次方程2x2-5x+a=0的一个解，则a的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．关于x的一元二次方程3x2-4x-2=0中，二次项系数是（　　）
A．3 B．4 C．-4 D．-2
6．已知方程（x-1）（x-2）=m（m＞0）的两个解为α、β（α＜β），则下列结论正确的是（　　）
A．α＜1＜2＜β B．α＜1＜β＜2 C．1＜α＜β＜2 D．1＜2＜α＜β
7．已知方程2x2-3x-1=0，利用根的判别式Δ=b2-4ac判断方程的根的情况，则a,b,c对应的值为（　　）
A．a=2，b=3，c=1 B．a=2，b=-3，c=1
C．a=2，b=-3，c=-1 D．a=-2，b=-3，c=1
8．已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m-1）x+m2+3=0的两个实数根，若，则m等于（　　）
A．-3 B．-5 C．5或-3 D．-5或3
9．已知一元二次方程x2-3x-5=0的两根为x1，x2，则x1x2-x1-x2的值为（　　）
A．-8 B．-2 C．8 D．2
10．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的（　　）
A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3
11．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（　　）
A．当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根
B．当a＜0，b+c＞0，b-c＜0时，方程一定有实数根
C．当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根
D．当a＞0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根
12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是（　　）
①方程x2-3x+2=0是2倍方程；
②若（x-3）（mx+1）=0为3倍方程，则；
③若p,q满足pq=8，则关于x的方程px2-6x+q=0为2倍方程；
④若关于x的方程ax2+bx+c=0为n倍方程，则nb2=（n+1）2ac.
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
二．填空题（共5小题）
13．将一元二次方程x（x+2）=1化为一般式为______．
14．关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一个解为2，则k的值为______．
15．已知a是方程x2-2x-5=0的一个根，则代数式的值为______．
16．已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m-1=0的两根都小于1，则m的取值范围是______．
17．若m,n为正实数，设，t是关于x的方程x2+2mx=n2的一个正实数根．
（1）当k=t=1时，则m的值是______；
（2）当时，则的值是______．
三．解答题（共5小题）
18．解下列关于x的方程
（1）4（x-1）2=（x+2）2
（2）（x-5）2+4（x-5）=0
（3）x2+8x-2=0
（4）2x2-3x-4=0．
19．若关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）=29，求k的值．
20．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
21．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足b=a+c,那么我们称这个方程为“关联方程”．
（1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）为“关联方程”，证明：x=-1为“关联方程”的根；
（2）已知4x2-mx+n=0是关于x的“关联方程”，若m是该“关联方程”的一个根，求m的值．
22．对于关于x的代数式ax2+bx+c,若存在实数m,使得当x=m时，代数式的值等于m,则称m为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x=0时，代数式的值等于0；当x=1时，代数式的值等于1．我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为1-0=1．
（1）代数式x2-12的正值是______；
（2）判断代数式2x2+3x+1是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由；
（3）①若关于x的代数式的正域值为0，求a的值；
②若关于x的代数式b2x2-（3b2-8b-1）x+2b2-13b+15的正域值为正整数，求整数b的值．
人教版（2024）九年级上 第二十五章 一元二次方程 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、C 3、B 4、A 5、A 6、A 7、C 8、A 9、A 10、B 11、B 12、C
二．填空题（共5小题）
13、x2+2x-1=0； 14、2； 15、-； 16、； 17、；；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）4（x-1）2=（x+2）2，
移项得：4（x-1）2-（x+2）2=0，
[2（x-1）+（x+2）][2（x-1）-（x+2）]=0，
2（x-1）+（x+2）=0，2（x-1）-（x+2）=0，
x1=4，x2=0；
（2）（x-5）2+4（x-5）=0，
（x-5）（x-5+4）=0，
x-5=0，x-5+4=0，
x1=5，x2=1；
（3）x2+8x-2=0，
b2-4ac=82-4×1×（-2）=72，
x=，
x1=-4+3，x2=-4-3；
（4）2x2-3x-4=0，
b2-4ac=（-3）2-4×2×（-4）=41，
x=，
x1=，x2=．
19、解：（1）由条件可知Δ=[-2（k+1）]2-4（k2+2）≥0，
∴；
（2）∵（α+1）（β+1）=αβ+（α+β）+1=29，αβ=k2+2，α+β=2（k+1），
∴k2+2+2（k+1）+1=29，
整理得k2+2k-24=0，
解得k=-6或k=4，
∵，
∴k=4．
20、解：（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x,依题意得：200（1+x）2=242，
解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月均增长率为10%；
（2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得：
（y-30）[600-10（y-40）]=11250，
解这个方程，得y1=55，y2=75，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴y取55，
答：该品牌头盔的销售价应定为55元．
21、（1）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）为“关联方程”，
∴b=a+c,即a-b+c=0，
把x=-1代入方程左边，得左边=a （-1）2+b （-1）+c=a-b+c=0，
∴左边=右边，
∴x=-1为“关联方程”的根；
（2）解：∵4x2-mx+n=0是关于x的“关联方程”，
∴-m=4+n,
∴n=-m-4，
∵m是该方程的一个根，
∴4m2-m m+n=0，
整理得3m2+n=0，
把n=-m-4代入3m2+n=0，得3m2-m-4=0，
因式分解，得（3m-4）（m+1）=0，
解得m=-1或．
22、解：（1）x2-12=x,则x2-x-12=0，即（x-4）（x+3）=0，解得x=-3或4，
故答案为：-3或4；
（2）无正值，理由如下：
令2x2+3x+1=x,则2x2+2x+1=0，
∵Δ=-4＜0，
∴方程无解，
∴代数式2x2+3x+1无正值；
（3）①正域值为0，说明“正值”只有1个（最大、最小正值相等）．
令，整理得，
∴，
化简得a2-4a-1=0，
解得；
②令b2x2-（3b2-8b-1）x+2b2-13b+15=x,
则b2x2-（3b2-8b）x+2b2-13b+15=0，
设两根为x1，x2（x1≥x2），
则=，
正域值为：，
先将化简：
=
=
=
=，
∴，
由于正域值为正整数，且b为整数，
∴b=±1或b=±2，
当b=1时，x1-x2=|1+2|=3；
当b=-1时，x1-x2=|1-2|=1；
当b=2时，x1-x2=|1+1|=2；
当b=-2时，x1-x2=0，舍去，
因此整数b的值为1，-1，2．

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