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第6章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
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复习回顾:
(1)平面向量的数量积定义是什么
(2)平面向量的数量积满足哪些运算律
(3)平面向量的坐标是如何定义的
在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个向量的线性运算也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么平面向量的数量积能否用坐标来表示呢 若能,如何通过坐标来实现呢 平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗 同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢
教学过程
1.平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量的加法、减法、数乘运算的坐标表示的探究过程,你能借助向量数量积的运算律来探究a·b的坐标表示吗
因为a=x1i+y1 j,b=x2i +y2 j,
所以a·b=(x1i+y1 j)(x2i+y2 j)=x1x2i2+x1y2i·j+y1x2 j·i+y1y2 j2.
又i·i=1, j·j=1,i·j=j·i=0,
所以a·b=x1x2+y1y2.
教学过程
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
向量数量积的坐标表示的结果与向量的加法、减法、数乘运算的坐标表示的结果有什么不同
向量的数量积的坐标表示的结果是数,向量的加法、减法、数乘运算的坐标表示的结果为有序数对.
教学过程
2.平面向量坐标表示的几个公式
设a=(x1,y1),如何计算|a|呢 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么如何计算|a|呢
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=
教学过程
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何判断a⊥b是否成立或计算a与b的夹角呢
(3)设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1x2+y1 y2=0.
(4)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得cos θ
教学过程
如何判断一个三角形的形状
如何判断一个三角形是锐角、直角或钝角三角形
如何判断两直线垂直
【总结】在判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时,主要看边长是否相等、角是否为直角,可先作出草图,进行直观判断,再去证明.在证明中,若平面图形中有两条边所在的向量共线或者向量的模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量的模相等或者两条边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或直角三角形.
教学过程
例1若点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想.
解：如图，在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现△ABC是直角三角形
证明如下：
因为AB=(2-1,3-2)=(1,1),AC=(-2-1,5-2)=(-3,3),所以AB·AC=1×(-3)+1×3=0.于是AB⊥AC.因此，△ABC是直角三角形.
教学过程
例2 设a=(5，-7),b=（-6，-4)，求a·b及a,b间的夹角θ(精确到1°).
解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.
教学过程
例3 用向量方法证明两角差的余弦公式cos(α β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
证明：如图1、图2,在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O,以x轴的非负半轴为始边作角a,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则OA=(cos a,sin a),OB=(cos β,sin β).
教学过程
例3 用向量方法证明两角差的余弦公式cos(α β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
由向量数量积的坐标表示，有OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ.设OA与OB的夹角为θ，则OA·OB=|OA||OB|cosθ=cosθ.所以cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.
另一方面，由图1可知，α=2kπ+β+θ；由图2可知，α=2kπ+β-θ.
于是α-β=2kπ±θ,k∈Z.所以cos(α-β)=cosθ.
于是cos(α β)=cos αcosβ+sin αsin β.
课堂练习
D
B
1.已知a=(一4,3),b=(5,6),则3|a| —4a·b=( )
A.23
B.57
C.63
D.83
2.已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），则△ABC是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
4.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD=
课堂练习
2
3.已知向量a=(m,1),b=(1,2),且 ,则m=
2
课堂练习
5.如图所示，AB=（6,1)，BC=（x，y），CD=（-2，-3).
(1)若BC//DA，求x与y的关系式；
(2)在(1)的条件下,若AC⊥BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
答案：（1）因为AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),
DA=-AD=(-x-4,2-y),
又BC//DA，且BC=（x,y),
所以x（2-y）-y（-x-4)=0,即x+2y=0.①
5.如图所示，AB=（6,1)，BC=（x，y），CD=（-2，-3).
课堂练习
(1)若BC//DA，求x与y的关系式；
(2)在(1)的条件下,若AC⊥BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
(2)由于AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3),
又AC⊥BD，所以AC·BD=0，即(x+6)(x—2)+(y+1)(y—3)=0.②
所以y=3或y=-1.
课堂总结
通过本节课的学习,你有哪些收获 试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈.
(1)平面向量数量积的坐标表示;
(2)用坐标表示向量垂直的充要条件;
(3)用坐标表示向量的模和夹角.
布置作业
教材习题6.3第8,10,14题.
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