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15.3.2 等边三角形
人教版(2024)八年级上册
第十五章 轴对称
学习目标
1
探究并掌握等边三角形的性质定理和判定定理
2
能利用等边三角形的性质定理和判定定理进行推理和计算
回顾旧识
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
想一想：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
拿出你的30°角的直角三角尺，把它的斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
结论：
在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
探究新知
图（1）
图（2）
请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
探究新知
图（3）
探究新知
图（4）
轴对称图形
探究：等边三角形的内角都相等吗？为什么？
结论：等边三角形的三个内角都相等，且都是60°.
理由如下：
∵AB=BC=CA，
∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言表示：∵AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
A
B
C
等边三角形的性质：
反之，三个角相等的三角形是等边三角形吗？
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明．
已知：△ABC是等边三角形．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，BC=AB．
∴∠A=∠B，∠A=∠C．
∴∠A=∠B=∠C．
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=60°．
∴∠A=∠B=∠C=60°．
等边三角形的性质
A
B
C
得到等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于60°．
几何语言表示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的性质
A
B
C
探究：等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使得等腰三角形成为等边三角形呢？
A
B
C
60°
有一个角是60°的等腰三角形
你能说明理由吗？
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC,
∴∠C=∠B .
∵∠A=60°,
∴∠B+∠C=180°-∠A=120°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
60°
如果60°的角不是顶角，而是底角呢？
探 究
一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
等边三角形的判定
1. 从边的角度判断：
A
B
C
三条边都相等的三角形是等边三角形
如图，∵AB = BC = AC，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
从角的角度判断：
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形
如图，∵∠A =∠B =∠C，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
你能证明它吗？
例 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB,AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式 若点D,E 在边AB,AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
　证明：∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴　∠A =∠ADE =∠AED.
∴　△ADE 是等边三角形.
下列四个说法中，不正确的有（ ）
① 三个角都相等的三角形是等边三角形．
② 有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
③ 有一个是60°的等腰三角形是等边三角形．
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
如图，△ABC的边BC上有D、E两点，且BD=DE=EC=AD=AE，则∠BAC=_____.
120°
如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD=3，CE=5，则AC的长为( )
A.9 B.8 C.6 D.7
B
第2题图 第3题图
如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？
A
B
C
D
E
分析：
BC
Rt△ACB
DE
Rt△AED
例题练习
如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m
∴
∴ 7.4=3.7（m）
又AD=，
∴DE== 3.7=1.85（m）
C
50
如图,△ABC和△CDE都为等边三角形,点E在BC上,AE的延长线交BD于点F.
探究EF,DF,CF之间的数量关系,并证明.
解:EF+DF=CF.证明如下:
连接CF,延长AF到点Q,使FQ=DF,连接DQ.
∵∠AFB=∠ACB=60°,
∴∠DFQ=60°,
∴△DFQ是等边三角形,
∴DQ=DF,∠FDQ=∠CDE=60°,
∴∠CDF=∠EDQ.
又∵CD=DE,DF=DQ,
∴△CDF≌△EDQ(SAS),∴CF=EQ.
∴EF+DF=EF+FQ=EQ=CF.
归纳总结
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边都相等
三角都相等
有一个角是60°的等腰三角形

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