资源简介

(共23张PPT)
15.1.2线段的垂直平分线
1.能用尺规作线段的垂直平分线.(重点、难点)
2.进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据.
3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理.(难点)
学习目标
情境引入
为了扶持某地区的农业发展，市政府决定兴修水利.如图，在一河流的同一侧有两个村A，B，现要在河边建一个蓄水闸门便于往两村输水进行农业灌溉，要求这一蓄水闸门到两村的距离相等，你能帮助确定蓄水闸门的位置吗？
用尺规作一个角的平分线的作法是什么？
作法：如图.
(1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.
(2) 分别以点C，D为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P.
(3) 作射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线.
A
O
B
E
F
C
如何根据作一个角的平分线的方法，完成过直线上一点作这条直线的垂线？
作一条线段的垂直平分线
思考
如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.
由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.
根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.
如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
B
A
问题　如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
判定：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
归纳知识
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
探究：
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？
P
A
B
C
l
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
列举实例，复习旧知
探究:已知两个点A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。——尺规作图法
A
B
我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
分析问题，寻找对应
如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？
分组讨论
A
B
M
N
可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线.
理由：因为点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线．
【思考】有时我们感觉两个平面图形是成轴对称的，但是如何验证呢？在不折叠图形的情况下，你能准确地做出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，只要能找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
【分析】我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A、B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.

A
B

例.如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
思考：点C在AE的垂直平分线上深层含义是什么？
例.如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？
证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上.
又∵MB＝MC，
∴点M在BC的垂直平分线上，
即A，M均在BC的垂直平分线上
∴AM是线段BC的垂直平分线.
练一练
如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边长为a，斜边长为2a. （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，Rt△AOB即为所求.
(1) 过点C作射线BF的垂线，垂足为M；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：(1) 如图所示.
(2) 在(1)的条件下，若BM＝8，求S△ABM.
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC上一点，AE⊥BF，AB＝BC.
(2) 如图，连接AM.
由(1)知，CM⊥BM，∴∠BMC＝90°.
∵AE⊥BF，
∴∠AEB＝∠BMC＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBM＋∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBM.
在△ABE和△BCM中，
∴△ABE≌△BCM（AAS），
∴AE＝BM＝8，
∴S△ABM＝ BM·AE＝ ×8×8＝32.
如图，在中，边的垂直平分线
分别交,于点，,边 的垂直平分线
分别交，于点，，已知 的
周长为，求 的长.
解：是的垂直平分线，是 的垂直平分线，
， .
的周长为 ，
，
，即 .
如图，点是内的一点，若 ，则( )
D
A.点在 的平分线上
B.点在 的平分线上
C.点在边 的垂直平分线上
D.点在边 的垂直平分线上
例 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于O.
求证：点O在BC的垂直平分线上．
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵ 点O在AB的垂直平分线l1上，
∴ OA＝OB.
同理，OA＝OC.
∴ OB＝OC.
∴ 点O在BC的垂直平分线上.
B
A
C
O
l1
分析：根据线段垂直平分线的定理及逆定理证明即可.
三角形三条边的垂直平分线
交于一点，且该点到三角形
三个顶点的距离相等.
总结
l2
经典例题
例 AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD 是EF 的垂直平分线.
分析：要利用线段垂直平分线的判定定理证AD是EF 的垂直平分线，只需要证明点A，D到线段EF两端点的距离相等，即AE =AF，DE=DF.
经典例题
根据角平分线的判定定理可得DE=DF.
根据Rt△ADE ≌ Rt△ADF 可得AE =AF.
A
F
E
G
C
D
B
例题讲解
例
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C .
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
A
B
C
解：(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F.
E
D
(3)作直线 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.
F
例
尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 .
已知：直线 AB 和 AB 上一点 C(如图).
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
解：(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
A
B
C
D
E
F
(3)作直线 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.

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