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人教版（2024）八年级上册 14.2 三角形全等的判定 题型专练
【题型1】用SAS判定三角形全等
如图所示，AC和BD相交于O，AO＝DO，BO=CO，那么AB与CD的关系是（　　）
A.一定相等 B.可能相等也可能不相等 C.一定不相等 D.增加条件后，它们相等
【举一反三1】如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，且用“SAS”判定它们全等，还需从下列条件中选一个，它是（　　）
A.∠ADB＝∠ADC B.∠B＝∠C C.DB＝DC D.AB＝AC
【举一反三2】如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为 ．
【举一反三3】如图，点A，C，E，F在同一条直线上，AB=CD，∠C=∠A，CE=AF.求证：△CDF≌△ABE.
【题型2】SAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在四边形中，，，，延长交于点，若，，则四边形的面积等于（ ）

A.10 B.20 C.30 D.40
【举一反三2】如图，FE＝BC，DE＝AB，∠B＝∠E＝40°，∠F＝70°，则∠A的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【举一反三3】如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是 ．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中，BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
【举一反三5】如图，已知AB∥CD，AB=CD，AF=CE，求证：DF=BE.
【题型3】SAS的实际应用
【典型例题】鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清官相互辉映．广场中央矗立着地标性老子雕像，总高27米．某同学要测量雕像两端,的距离，便在平地上取一点，连接并延长到，使．连接并延长到，使．连接，此时，测量的长即为,两点间的距离，则判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，与相交于点，且，，，则,两点间的距离为 ．
【举一反三3】如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为 ．
【举一反三4】在一条东西走向的公路上有A,B两个车站，早上8点甲 乙两辆公交车分别从A,B同时出发以相同的速度匀速行驶（甲由A向左行驶，乙由B向右行驶），9点时他们分别到达C,D两点，然后甲由C点向正北方向行驶，乙由D点向正南方向行驶，10点时它们分别到达E,F两点，此时甲与B车站 乙与A车站的距离分别为．丽丽同学根据上面提供的信息绘制出了图形，她发现图中，她猜想且．请你证明她的猜想．
【题型4】用ASA判定三角形全等
【典型例题】下列结论中正确的是
A.有三个角相等的两个三角形全等
B.有一个角和两条边相等的两个三角形全等
C.有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
D.面积相等的两个三角形全等
【举一反三1】如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　）
A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO
【举一反三2】如图，已知AB＝AC，当添加条件 　 　时，可由“ASA”判定△ABE≌△ACD．
【举一反三3】如图，，为的中点，过点且分别交，于点，．求证：．
【题型5】ASA与全等三角形性质的综合
【典型例题】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　）
A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA
【举一反三1】如图，画一条线段AB以AB为边作△ABC，若要延长AC到点D，使得CD=AC，作∠CDE=∠A交BC的延长线于点E，若BC=6，则CE的长度为
A.2 B.3 C.4 D.6
【举一反三2】如图，的面积为，垂直的平分线于点，交于点，若，则的面积为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三3】如图，是的平分线，，垂足为D，若，，则 ．
【举一反三4】如图，在中，于点，于点，与交于点，，则的长度为 ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，F为AC中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，
求证：CD=AE．
【举一反三6】如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【题型6】ASA的实际应用
【典型例题】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.ASA D.以上全不对
【举一反三1】如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三2】一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是(　　)
A.①③ B.②④ C.①④ D.③④
【举一反三3】某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出 米，则的长是 米．
【举一反三4】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．若，，则的长度为 ．
【举一反三5】如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置在一条直线时，他共走了110步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)若小刚一步约米，请求出A，B两点间的距离（写出推理过程）．
【举一反三6】如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是，B点与O点的铅直距离长是，工人师傅在旁边墙上与水平的线上截取，画，使，连接，然后沿着的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．

【题型7】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，则△ACD≌△ABD的依据是　　
A.AAS B.HL C.SSS D.SAS
【举一反三1】如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，用“AAS”可判定与一定全等的三角形是（ ）
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
【举一反三2】如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中用AAS可判定与△ABC全等的图形是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.乙与丙
【举一反三3】如图，D在上，E在上，且，要说明．
若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
【举一反三4】如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）．
【举一反三5】如图，已知．
求证.
【举一反三6】如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，用“AAS”判定△ABC≌△CDA，需添加一个条件是： ，并加以证明.
【题型8】AAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（ ）
A.35 B. C.20 D.10
【举一反三1】如图，在四边形中，，平分，是延长线上一点，是延长线上一点，，，，，则的长度为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠B=∠C，，点，，分别在边，，上，如果，∠BED=∠CDF，那么　　度．
【举一反三4】如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ．
【举一反三5】在中，，点D在上，且，过点A作射线与在同侧，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当于点F时，求此时t的值．
【题型9】AAS的实际应用
【典型例题】小华把等腰直角三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点正好落在桌面上，若另外两个顶点分别到桌面的距离，，则两垂足之间的距离的长为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（ ）
A. B. C. D.无法确定
【举一反三2】如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ．
【举一反三3】小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，∠BOC＝90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　　　.
【举一反三4】课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图所示，AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，AC=CB.
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)若DE=42 cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(假设每块砖的厚度相等).
【题型10】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，点,,,在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，不一定正确的是
A. B.AB=DF C. D.AF-AD=AB
【举一反三1】如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，若AB＝DE，AC＝DF，要用SSS使△ABC≌△DEF，需要的条件是（　　）
A.BE=CF B.BE=EC C.EC=CF D.都不对
【举一反三3】如图，CM=CN，若用“SSS”证明△CMO≌△CNO，则需要添加的条件是　　　　.
【举一反三4】如图，AB＝DC，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件是 ．
【举一反三5】已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC△A'B'C'.
【题型11】SSS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】如图，AB=AC，BD=CD，∠BAD=35°，∠ADB=120°，则∠C的度数为
A.25° B.30° C.35° D.55°
【举一反三2】如图，是的中点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知OA = OB，AC = BC，∠1=30°，则∠ACB的度数是________．
【举一反三4】如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF;
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
【举一反三6】如图，AD=BC，AC=BD.求证：∠D=∠C.
【题型12】SSS的实际应用
【典型例题】如图是手工艺人制作的风筝，他根据，，利用两个三角形全等不用度量就可以知道，他判定两个三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】某中学七年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．王科所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，那么要使△AED≌△AFD需要添加（ ）.
A.DE=FD B.AE=ED C.AE=DF D.AF=DF
【举一反三2】某零件主体部分的示意图如图所示，它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的．测得AB＝CB，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则∠OAB的度数是________．
【举一反三3】 “三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是 .
【举一反三4】在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A和BC中点D的支架.求证△ABD≌△ACD.
【题型13】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，在直线上取一点，过点作射线，使，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，再画射线．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD的依据是（　　）
A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA
【举一反三2】如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是 .
【举一反三4】（1）如图为一副直角三角尺，其中作 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）理解填空：如图，点B，D在线段上，且D是的中点， 若求的长．

解：因为
所以
又 = ．
因为D是AC的中点，
所以 ．
所以 = ．
【举一反三5】如图，是的一个外角．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作图：在的内部画射线，使（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若射线是的平分线，，求的度数．
【题型14】作角的和与差
【典型例题】如图，已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F)，分别以点O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A'B'于点H，作射线OH.下列结论正确的是
A.∠AOB=2∠EO'F B.∠AOH=∠EO'F C.∠AOH=∠BOH D.∠HOB=∠EO'F
【举一反三1】下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A.作，使 B.以点 O 为圆心作线段 C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D.作，使
【举一反三2】如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ．
【举一反三3】如图，在中，．尺规作图：在AB上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）.
【举一反三4】如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B．
（1）请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AB＝AC+CD.(提示：同一个三角形中，相等的角所对的边相等)
【题型15】作三角形
【典型例题】如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短
【举一反三1】已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.②③①
【举一反三2】已知，以线段BC为公共边，作，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是（　　）

A.弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B.弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C.弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D.弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长
【举一反三3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
【举一反三4】如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于．
【举一反三5】尺规作图：
如图，线段和一副三角尺，其中．
求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【题型16】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　）
①，；
②，；
③，；
④，．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，要用“HL”判定，需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等.能使这两个直角三角形全等的是(　　)
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
【举一反三3】如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 　 　．
【举一反三4】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【举一反三5】如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
【举一反三6】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：．
【题型17】HL与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD平分∠ABC，作DH⊥BC于点H.BC=9，AB=5，则HC的长度为
A.3 B.2 C. D.
【举一反三3】如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ．
【举一反三4】如图，已知AB=DC,AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE=BF．求证：AE=DF．
【题型18】HL的实际应用
【典型例题】用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　）
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
【举一反三1】如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是(　　)
A.BD>CD B.BD【举一反三2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【举一反三3】为测量一池塘两端点，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲同学：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；乙同学：如图2，过点作的垂线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离.下列判断正确的是 ．（填序号）
①只有甲同学的方案可行；②只有乙同学的方案可行；③甲、乙同学的方案均可行；④甲、乙同学的方案均不可行．
【举一反三4】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度．
【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等
【典型例题】如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
嘉淇同学的证明过程如下：
已知嘉淇的证明过程是错误的，他开始出现错误的步骤是( )

A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
【举一反三1】根据图中给定的条件，全等的三角形是( )
A.①和② B.②和③ C.①和④ D.②和④
【举一反三2】如图，在和中，下列三个论断：

（1）；（2）；（3），将两个论断作为条件，另一作为结论，构成一个正确的命题．如果 ，那么 （填序号）．
【举一反三3】我们知道，在判定两个三角形全等时，需要至少三个条件．
(1)在下列各组条件中，不足以判定全等的是______________；
(A)“” (B)“” (C)“” (D)“”
(2)请画出一组图形作为反例，并简要说明你的结论．
【题型20】添加适当条件判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是　　
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，线段与相交于点．已知，添加下列条件仍无法证明的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 ．
【举一反三3】(1)如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
①　　　　　　　(　　)；
②　　　　　　　(　　)；
③　　　　　　　(　　)；
④　　　　　　　(　　).
【举一反三4】在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．(只填序号)
问题：已知：如图，，相交于点O．且 ， ，求证： ．

【题型21】全等三角形的性质与判定的综合
【典型例题】如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌
△DEF，BC=8，BF=13，则BE的长为（　　）
A.4 B.5 C.6.5 D.8
【举一反三1】下列各图中，分别是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与左侧全等的是(　　)
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.只有丙
【举一反三2】如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝15°，则∠F的度数为（　　）
A.25° B.60° C.70° D.95°
【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠DCB+∠ACB的度数为 　 　．
【举一反三4】如图，四边形中，对角线，相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形．
【举一反三5】如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．
【题型22】全等三角形与动点问题
【典型例题】如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，点P从点B出发沿方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿方向运动，每秒走3米，点P、Q同时从点B出发，则出发秒后，在射线上有一点C，使与全等，则的值为（ ）
A.10 B.20 C.8或10 D.10或20
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，PQ=AB，当△PAQ与△ABC全等时，AP的长度为
A.6 B.6或12 C.8 D.8或12
【举一反三2】如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为( )
A.2.4 B.2.4或2 C.2.4或2.5 D.2或2.5
【举一反三3】如图，AB=12 cm，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A，B，且AC=4 cm，点P从点B开始以1 cm/s的速度向点A运动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度向点D运动.P，Q两点同时出发，运动　　　　s后，△CAP≌△PBQ.
【举一反三4】如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ．
【举一反三5】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°，则∠BCE= °;
(2)如图2，设∠BAC=α,∠BCE=β．当点D在线段BC上移动，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B，C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
【题型23】倍长中线法
【典型例题】如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　）
A.12 B.8 C.6 D.4
【举一反三2】在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1∶2∶3．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半．”
下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是( )
A.小峰和小慧均正确 B.小峰和小慧均错误 C.小峰正确，小慧错误 D.小峰错误，小慧正确
【举一反三3】在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
【举一反三4】如图，在中，，，D为中点，则线段的范围是 ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD为中线.
(1)求证：AB+AC>2AD；
(2)若AB=4，AC=3，求AD的长的取值范围.
【题型24】全等三角形与垂线问题
【典型例题】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( 　)

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，平分，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为 ．
【举一反三3】如图，直线l经过正方形（正方形四边相等，四个角都是直角）ABCD的顶点C，点B，D到直线l的距离分别是2，1，则CE的长为 　 　．
【举一反三4】已知：线段，交于O，为钝角，，于F，于E，．求证：．
【举一反三5】如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a，b满足．
(1)求B点的坐标；
(2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：．
【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题
【典型例题】如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( )

A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【举一反三1】如图，已知；，线段，求作．
作法；(1)作线段；
(2)在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在课堂上，陈老师发给每人一张印有(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是( )
A.小赵同学作图判定的依据是
B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C.小刘同学作图判定的依据是
D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【举一反三3】如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是 .
【举一反三4】已知：如图相交于点O，，，平分交于点E，平分交于点F．

(1)请用尺规作图补出图中的线段（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：．
人教版（2024）八年级上册 14.2 三角形全等的判定 题型专练（参考答案）
【题型1】用SAS判定三角形全等
如图所示，AC和BD相交于O，AO＝DO，BO=CO，那么AB与CD的关系是（　　）
A.一定相等 B.可能相等也可能不相等 C.一定不相等 D.增加条件后，它们相等
【答案】A
【解析】
在△OAB和△ODC中，
∴△OAB≌△ODC（SAS），
∴AB＝CD.
【举一反三1】如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，且用“SAS”判定它们全等，还需从下列条件中选一个，它是（　　）
A.∠ADB＝∠ADC B.∠B＝∠C C.DB＝DC D.AB＝AC
【答案】D
【解析】解：A、加∠ADB＝∠ADC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，不能用“SAS”判定△ABD≌△ACD；
B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠B＝∠C，不能用“SAS”判定△ABD≌△ACD；
C、加DB＝DC，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法；
D、加AB＝AC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），是正确选法．
故选：D．
【举一反三2】如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为 ．
【答案】
【解析】解：添加的条件是，
理由是：在与中，
，
∴．
【举一反三3】如图，点A，C，E，F在同一条直线上，AB=CD，∠C=∠A，CE=AF.求证：△CDF≌△ABE.
【答案】证明　∵CE=AF，
∴CE-EF=AF-EF，即CF=AE，
在△CDF和△ABE中，
∴△CDF≌△ABE.
【题型2】SAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：倍长至点，连接，则，
∴，
∵是的边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【举一反三1】如图，在四边形中，，，，延长交于点，若，，则四边形的面积等于（ ）

A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】B
【解析】如图，延长到K使，连接，

∵
∴,
∴，,
又∵,
∴,
由知,，
∴
即,
∴．
∴
【举一反三2】如图，FE＝BC，DE＝AB，∠B＝∠E＝40°，∠F＝70°，则∠A的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】D
【解析】在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠C＝∠F＝70°．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣40°﹣70°＝70°.
【举一反三3】如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是 ．
【答案】6
【解析】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中，BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
【答案】解：相等．
证明如下，
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE．
【举一反三5】如图，已知AB∥CD，AB=CD，AF=CE，求证：DF=BE.
【答案】证明　∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
即AE=CF，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴DF=BE.
【题型3】SAS的实际应用
【典型例题】鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清官相互辉映．广场中央矗立着地标性老子雕像，总高27米．某同学要测量雕像两端,的距离，便在平地上取一点，连接并延长到，使．连接并延长到，使．连接，此时，测量的长即为,两点间的距离，则判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在和中，
∴，
∴，
即测量的长即为,两点间的距离．
【举一反三1】如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：是的中点，，
在和中，
．
【举一反三2】如图，与相交于点，且，，，则,两点间的距离为 ．
【答案】200
【解析】解：∵，，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即,两点间的距离为．
【举一反三3】如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为 ．
【答案】3
【解析】解：是木条和的中点,
又
，
，
．
【举一反三4】在一条东西走向的公路上有A,B两个车站，早上8点甲 乙两辆公交车分别从A,B同时出发以相同的速度匀速行驶（甲由A向左行驶，乙由B向右行驶），9点时他们分别到达C,D两点，然后甲由C点向正北方向行驶，乙由D点向正南方向行驶，10点时它们分别到达E,F两点，此时甲与B车站 乙与A车站的距离分别为．丽丽同学根据上面提供的信息绘制出了图形，她发现图中，她猜想且．请你证明她的猜想．
【答案】证明：，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
【题型4】用ASA判定三角形全等
【典型例题】下列结论中正确的是
A.有三个角相等的两个三角形全等
B.有一个角和两条边相等的两个三角形全等
C.有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
D.面积相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】选项C可以由“ASA”证明全等.
【举一反三1】如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　）
A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO
【答案】A
【解析】解：添加∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴AO=BO，
在△ACO和△BDO中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），故选A．
【举一反三2】如图，已知AB＝AC，当添加条件 　 　时，可由“ASA”判定△ABE≌△ACD．
【答案】∠B＝∠C．
【解析】解：添加∠B＝∠C，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B＝∠C．
【举一反三3】如图，，为的中点，过点且分别交，于点，．求证：．
【答案】证明：根据题意得
为的中点，
，
，
，
在与中，
．
【题型5】ASA与全等三角形性质的综合
【典型例题】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　）
A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA
【答案】D
【解析】解：∵∠ABC＝∠3，
∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵点M是AC的中点，
∴MA＝MC，
在△MAD和△MCB中，
，
∴△MAD≌△MCB（ASA），
∴MD＝MB，
故选：D．
【举一反三1】如图，画一条线段AB以AB为边作△ABC，若要延长AC到点D，使得CD=AC，作∠CDE=∠A交BC的延长线于点E，若BC=6，则CE的长度为
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】D
【解析】在△DEC和△ABC中，
∴△DEC≌△ABC(ASA)，
∴CE=CB，
∵BC=6，
∴CE=6.
【举一反三2】如图，的面积为，垂直的平分线于点，交于点，若，则的面积为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】解：如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，则，
∵的面积为，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【举一反三3】如图，是的平分线，，垂足为D，若，，则 ．
【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
∵是的平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，在中，于点，于点，与交于点，，则的长度为 ．
【答案】5
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，在△ABC中，F为AC中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，
求证：CD=AE．
【答案】证明：∵F为AC中点，
∴CF=AF．
在△CDF和△AEF中，，
∴△CDF≌△AEF（ASA），
∴CD=AE．
【举一反三6】如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ．
（2）解：由（1）知，
∵，
∴．
【题型6】ASA的实际应用
【典型例题】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.ASA D.以上全不对
【答案】C
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选C．
【举一反三1】如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】D
【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选：D．
【举一反三2】一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是(　　)
A.①③ B.②④ C.①④ D.③④
【答案】B
【解析】根据题意得，拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形.
【举一反三3】某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出 米，则的长是 米．
【答案】10.2
【解析】解：，，
，
在和中，
，
米．
【举一反三4】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．若，，则的长度为 ．
【答案】4 m
【解析】解：∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【举一反三5】如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置在一条直线时，他共走了110步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)若小刚一步约米，请求出A，B两点间的距离（写出推理过程）．
【答案】解：（1）画图如图所示.

（2）在和中，
∴，
∴(步)，
∵一步约 米，
∴（米），
即A，B两点间的距离约为 米．
【举一反三6】如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是，B点与O点的铅直距离长是，工人师傅在旁边墙上与水平的线上截取，画，使，连接，然后沿着的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．

【答案】解：设的延长线交于点E，
∵墙壁厚是，在旁边墙上与水平的线上截取，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点B与点E重合，则钻头正好从点B处打出．
【题型7】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，则△ACD≌△ABD的依据是　　
A.AAS B.HL C.SSS D.SAS
【答案】A
【解析】在△ACD和△ABD中，
∴△ACD≌△ABD(AAS).
【举一反三1】如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，用“AAS”可判定与一定全等的三角形是（ ）
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
【答案】D
【解析】解：甲中b，c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等，
乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，不符合，故乙不符合题意，
在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另两组角对应相等，满足，故丙与一定全等，
综上可知能用“AAS”和全等的是只有丙．
【举一反三2】如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中用AAS可判定与△ABC全等的图形是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.乙与丙
【答案】B
【解析】解：在△ABC和△MNK中，，∴△ABC≌△MNK（AAS），
∴选B.
【举一反三3】如图，D在上，E在上，且，要说明．
若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
【答案】
【解析】解：条件是，
理由是：在和中，
∴．
【举一反三4】如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）．
【答案】；AAS
【解析】解：添加，利用AAS可得．
【举一反三5】如图，已知．
求证.
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴.
【举一反三6】如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，用“AAS”判定△ABC≌△CDA，需添加一个条件是： ，并加以证明.
【答案】解：添加条件：∠D=∠B.
证明如下：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
在△ABC与△CDA中，∵∠DAC=∠ACB，∠D=∠B，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
【题型8】AAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（ ）
A.35 B. C.20 D.10
【答案】B
【解析】解：,
,
,
,
在和中，
,
,
,
,
．
【举一反三1】如图，在四边形中，，平分，是延长线上一点，是延长线上一点，，，，，则的长度为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】解：∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图所示，过点C作垂直于x轴于点E，则，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，．
∴，．
∴．
∴．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠B=∠C，，点，，分别在边，，上，如果，∠BED=∠CDF，那么　　度．
【答案】65
【解析】∵，
，
，
，
在△EBD和△DCF中,
∴△EBD≌△DCF(AAS)，
，
【举一反三4】如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ．
【答案】5
【解析】解：如图，过点D作于点E，则当时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中，
∵，，
∴(AAS)，
∴，
即的最小值为5．
【举一反三5】在中，，点D在上，且，过点A作射线与在同侧，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当于点F时，求此时t的值．
【答案】（1）证明：如题图①，，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，，
，
在和中，
．
（2）解：如题图②，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
运动速度为，
．
【题型9】AAS的实际应用
【典型例题】小华把等腰直角三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点正好落在桌面上，若另外两个顶点分别到桌面的距离，，则两垂足之间的距离的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．
【举一反三1】小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（ ）
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【解析】解：
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
．
∵，，
∴．
【举一反三2】如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ．
【答案】
【解析】解：由题意得，，，，
，
，，
，
在和中，
；
，，
，
即两堵木墙之间的距离为．
【举一反三3】小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，∠BOC＝90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　　　.
【答案】1.4 m
【解析】由题意可知，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°.
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，
∴DE＝OD－OE＝CE－BD＝1.8－1.4＝0.4(m)，
∵AD＝1 m，
∴AE＝AD＋DE＝1＋0.4＝1.4(m).
【举一反三4】课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图所示，AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，AC=CB.
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)若DE=42 cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(假设每块砖的厚度相等).
【答案】(1)证明　∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90°.
又∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
则∠ECB=∠DAC.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB.
(2)解　∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD=4a，BE=3a，
由(1)可知△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，
∴DC+CE=BE+AD=7a=42 cm，
∴a=6 cm，即砌墙砖块的厚度a为6 cm.
【题型10】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，点,,,在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，不一定正确的是
A. B.AB=DF C. D.AF-AD=AB
【答案】C
【解析】，，
∴要根据SSS证明△ABC≌△FDE，
∴需要AB=DF即可，A，B，C都能够得到这个条件.
【举一反三1】如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴当添加时，可利用“”判断．
【举一反三2】如图，若AB＝DE，AC＝DF，要用SSS使△ABC≌△DEF，需要的条件是（　　）
A.BE=CF B.BE=EC C.EC=CF D.都不对
【答案】A
【解析】解：证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
∴BC=EF
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故选：B．
【举一反三3】如图，CM=CN，若用“SSS”证明△CMO≌△CNO，则需要添加的条件是　　　　.
【答案】OM=ON
【解析】需要添加的条件是OM=ON，
在△CMO和△CNO中，
∴△CMO≌△CNO(SSS).
【举一反三4】如图，AB＝DC，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件是 ．
【答案】AC＝DB
【解析】解：∵AB＝DC，BC＝CB，
∴可补充AC＝DB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
【举一反三5】已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC△A'B'C'.
【答案】证明　在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理，B'C'2=A'B'2-A'C'2.
∵AB=A'B'，AC=A'C'，
∴BC=B'C'.
∴△ABC△A'B'C'(SSS).
【题型11】SSS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】解：在和中，
，
，，故①正确；
，，故②正确；
，故③正确，
综上所述，其中正确的结论有①②③，共3个．
【举一反三1】如图，AB=AC，BD=CD，∠BAD=35°，∠ADB=120°，则∠C的度数为
A.25° B.30° C.35° D.55°
【答案】A
【解析】在△ABD中，∠B=180°-∠BAD-∠ADB=25°.
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD，
∴∠C=∠B=25°.
【举一反三2】如图，是的中点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，，故选项，，正确，不符合题意；
∵，不是对应边，
∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意．
【举一反三3】如图，已知OA = OB，AC = BC，∠1=30°，则∠ACB的度数是________．
【答案】60°
【解析】解：用SSS证明边或角相等.OA = OB，AC = BC，OC是公共边，用SSS可判定△OAC≌△OBC，得到∠1=∠2，从而得到∠ACB=60°.
【举一反三4】如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
【答案】
【解析】解：在和中，
，
，
．
如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF;
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
【答案】
（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝ED，
在△ABC与△EDF中，
∴△ABC≌△EDF（SSS）．
（2）解：∵∠CBE＝125°，
∴∠ABC＝180°-∠CBE＝55°，
∵△ABC≌△EDF，
∴∠EDF＝∠ABC＝55°，
∴∠BOD＝180°-∠EDF-∠ABC＝70°．
【举一反三6】如图，AD=BC，AC=BD.求证：∠D=∠C.
【答案】证明　如图，连接AB，
在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC(SSS)，
∴∠D=∠C.
【题型12】SSS的实际应用
【典型例题】如图是手工艺人制作的风筝，他根据，，利用两个三角形全等不用度量就可以知道，他判定两个三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵在和中,
∴，
∴，
∴判定两个三角形全等的依据是．
【举一反三1】某中学七年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．王科所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，那么要使△AED≌△AFD需要添加（ ）.
A.DE=FD B.AE=ED C.AE=DF D.AF=DF
【答案】A
【解析】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故选：A．
【举一反三2】某零件主体部分的示意图如图所示，它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的．测得AB＝CB，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则∠OAB的度数是________．
【答案】117°
【解析】解：因为在△AOB和△COB中，
所以△AOB≌△COB(SSS)，
所以∠ABO＝∠CBO，∠AOB＝∠COB，
又OA⊥OC，∠ABC＝36°，
所以∠ABO＝36°÷2＝18°，
∠AOB＝90°÷2＝45°，
所以∠OAB＝180°－18°－45°＝117°.
【举一反三3】 “三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是 .
【答案】边边边
【解析】解：在△DEH和△DFH中
，
∴△DEH≌△DFH（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH，
故选：边边边
【举一反三4】在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A和BC中点D的支架.求证△ABD≌△ACD.
【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
【题型13】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，在直线上取一点，过点作射线，使，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，再画射线．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由作图可知，，
∴．
【举一反三1】如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD的依据是（　　）
A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA
【答案】B
【解析】由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，
根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．
【举一反三2】如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据作图可知，
A项，不能判断，故该选项不正确，符合题意；
B项，∵，即，故该选项正确，不符合题意；
C项，，故该选项正确，不符合题意；
D项，，故该选项正确，不符合题意．
【举一反三3】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是 .
【答案】SSS
【解析】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，
∴△ACD≌△BEF（SSS），
∴∠MBN＝∠PAQ，
故选：SSS．
【举一反三4】（1）如图为一副直角三角尺，其中作 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）理解填空：如图，点B，D在线段上，且D是的中点， 若求的长．

解：因为
所以
又 = ．
因为D是AC的中点，
所以 ．
所以 = ．
【答案】解：（1）即为所作．

（2）因为
所以
又 ．
因为D是的中点，
所以 ．
所以 ）．
【举一反三5】如图，是的一个外角．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作图：在的内部画射线，使（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若射线是的平分线，，求的度数．
【答案】解：（1）如图，即为所画的平行线．
（2）∵，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
【题型14】作角的和与差
【典型例题】如图，已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F)，分别以点O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A'B'于点H，作射线OH.下列结论正确的是
A.∠AOB=2∠EO'F B.∠AOH=∠EO'F C.∠AOH=∠BOH D.∠HOB=∠EO'F
【答案】D
【解析】连接HB'和E'F'，如图，
由作图过程可知，OH=O'E'，OB'=O'F'，B'H=F'E'.
在△HOB'和△E'O'F'中，
所以△HOB'≌△E'O'F'(SSS)，
所以∠HOB=∠EO'F.
【举一反三1】下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A.作，使 B.以点 O 为圆心作线段 C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D.作，使
【答案】B
【解析】解：A项，作，使，原说法正确，不符合题意；
B项，以点O为圆心作线段，未说明半径，原说法错误，符合题意；
C项，以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，原说法正确，不符合题意；
D项，作，使，原说法正确，不符合题意．
【举一反三2】如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ．
【答案】
【解析】解：由作图可知，
∵，
∴．
【举一反三3】如图，在中，．尺规作图：在AB上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交BC于点E，交AC于点F，以同样长为半径，以A点为圆心画弧，交AB于点M，交AC于点N，再以点F为圆心，以MN长为半径画弧交弧EF于点P，连接CP并延长交AB于点D．
如图，点D即为所求作.
由作图可知，
∴．
【举一反三4】如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B．
（1）请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AB＝AC+CD.(提示：同一个三角形中，相等的角所对的边相等)
【答案】（1）解：作图如图所示：
（2）证明：过点E作EF⊥BC于F.
∵AD平分∠BAC.
∴∠DAC＝∠DAE，
在△EAD与△CAD中，
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠AED＝∠C，DE＝DC，
∵∠AED＝∠BDE+∠B．且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE（同一个三角形中，相等的角所对的边相等）
∴BE＝CD，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+CD．
故答案为：∠DAC＝∠DAE，∠AED＝∠C，AD＝AD，BE＝DE．
【题型15】作三角形
【典型例题】如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短
【答案】A
【解析】由作图可知，AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DE，故△ABC≌△DEF（SAS）．
故选：A．
【举一反三1】已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.②③①
【答案】C
【解析】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在AB的同侧画弧，两弧交于点C，③然后连接，则就是所求作图形．
【举一反三2】已知，以线段BC为公共边，作，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是（　　）

A.弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B.弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C.弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D.弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长
【答案】D
【解析】解：弧②的半径长不一定等于弧①的半径长，弧③的半径长不一定等于弧①的半径长，弧③的半径长不一定等于弧①的半径长，但弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长，
所以A选项、B选项、C选项不符合题意，D选项符合题意．
【举一反三3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
【答案】
【解析】解：已知：线段和，，求作：，使，，．
作法：（1）作；
（2）在射线上截取线段；
（3）以为顶点，以为一边作，交于点，
就是所求的三角形．
由作图可知，，，
∴．
【举一反三4】如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于．
【答案】解：
如图，为所求．
【举一反三5】尺规作图：
如图，线段和一副三角尺，其中．
求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：因为，
所以，
如图所示，即为所求．
【题型16】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　）
①，；
②，；
③，；
④，．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】解：①，，加上，可利用“”证明；
②，，可利用“”证明；
③，，加上，可利用“”证明；
④，，加上，可利用“”证明．
所以正确的个数是4．
【举一反三1】如图，要用“HL”判定，需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在和中，
，
或在和中
，
∴当添加时，可用“HL”判定．
【举一反三2】两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等.能使这两个直角三角形全等的是(　　)
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
【答案】A
【解析】∵直角三角形的一锐角对应相等，
∴另一锐角也对应相等，
又∵斜边对应相等，
∴可以利用ASA或AAS证出两个直角三角形全等，①正确；
∵斜边和一直角边对应相等，
∴可以利用HL证出两个直角三角形全等，②正确；
由有两条边相等，无法证出两个直角三角形全等，③不正确；
由两个锐角对应相等，无法证出两个直角三角形全等，④不正确.
∴能使这两个直角三角形全等的是①②.
【举一反三3】如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 　 　．
【答案】AB＝CD．
【解析】解：Rt△ABC和△DCB有一条公共直角边，
根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是AB＝CD．
故答案为：AB＝CD．
【举一反三4】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【答案】AB=CD
【解析】解：要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等．
【举一反三5】如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：，
，
，
和均为直角三角形．
在和中，
．
【举一反三6】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：．
【答案】证明：，
，即，
，
，
与都为直角三角形，
在和中，
．
【题型17】HL与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
，
，，
，
，
，，
，
．
【举一反三1】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】解：∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD平分∠ABC，作DH⊥BC于点H.BC=9，AB=5，则HC的长度为
A.3 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，
∵DH⊥BC，
∴∠DEB=∠DHC=∠DHB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DBH，
∴△DBE△DBH(AAS)，
∴DE=DH，BE=BH，
又∵AD=CD，
∴Rt△ADERt△CDH(HL)，
∴AE=CH，
∵BC=BH+CH=BE+CH，
∴BC=AB+AE+CH=AB+2CH，
∵BC=9，AB=5，
∴CH=2.
【举一反三3】如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴(HL)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴和的面积之比为
【举一反三4】如图，已知AB=DC,AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE=BF．求证：AE=DF．
【答案】证明：∵CE=BF，
∴CE+EF=BF+EF，
即EB=FC，
又∵AB=DC,AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴AE=DF．
【题型18】HL的实际应用
【典型例题】用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　）
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
【答案】D
【解析】解：在和中，
，
．
【举一反三1】如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是(　　)
A.BD>CD B.BD【答案】C
【举一反三2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．则（1）AB=DE，正确；（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；（3）∠ABC=∠DEF．故选C．
【举一反三3】为测量一池塘两端点，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲同学：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；乙同学：如图2，过点作的垂线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离.下列判断正确的是 ．（填序号）
①只有甲同学的方案可行；②只有乙同学的方案可行；③甲、乙同学的方案均可行；④甲、乙同学的方案均不可行．
【答案】
【解析】解：甲同学的方案：
，，
，
在和中，
，
，
甲同学的方案可行．
乙同学的方案：
，
，
在和中，
，
，
乙同学的方案可行．
综上所述，甲、乙同学的方案均可行．
【举一反三4】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度．
【答案】解：根据题意，得，，，
∴，
∴，
∴．
【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等
【典型例题】如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
嘉淇同学的证明过程如下：
已知嘉淇的证明过程是错误的，他开始出现错误的步骤是( )

A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
【答案】C
【解析】解：根据，，，无法得到；
故出现错误的步骤是第三步．
【举一反三1】根据图中给定的条件，全等的三角形是( )
A.①和② B.②和③ C.①和④ D.②和④
【答案】C
【解析】解：根据题意得，
在和中，
∴．
【举一反三2】如图，在和中，下列三个论断：

（1）；（2）；（3），将两个论断作为条件，另一作为结论，构成一个正确的命题．如果 ，那么 （填序号）．
【答案】②③；①．
【解析】解：如果②；③，那么①；
证明：在和中，，
所以，
所以.（答案不唯一）
故答案为：②③；①．
【举一反三3】我们知道，在判定两个三角形全等时，需要至少三个条件．
(1)在下列各组条件中，不足以判定全等的是______________；
(A)“” (B)“” (C)“” (D)“”
(2)请画出一组图形作为反例，并简要说明你的结论．
【答案】解：(1)全等三角形的判定方法有，，，；
无法判定三角形全等．
(2)如图，，中，
，，，
满足，但是两个三角形不全等．
【题型20】添加适当条件判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A，添加，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不符合题意；
B，添加，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不符合题意；
C，添加，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不符合题意；
D，添加，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意.
【举一反三1】如图，线段与相交于点．已知，添加下列条件仍无法证明的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
又，
若添加，根据可判断，故选项A不符合题意；
若添加，根据可判断，故选项B不符合题意；
若添加，根据可判断，故选项C不符合题意；
由于不是和的对应边，故不能判断与全等．
【举一反三2】如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 ．
【答案】(答案不唯一)
【解析】解：∵，
添加的条件：或，此时；
添加的条件：或，此时．(答案不唯一)
【举一反三3】(1)如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
①　　　　　　　(　　)；
②　　　　　　　(　　)；
③　　　　　　　(　　)；
④　　　　　　　(　　).
【答案】①BC=AD　HL
②AC=BD　HL
③∠CBA=∠DAB　AAS
④∠CAB=∠DBA　AAS
【举一反三4】在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．(只填序号)
问题：已知：如图，，相交于点O．且 ， ，求证： ．

【答案】解：已知：如图，，相交于点O．且，，求证：③．
∵在和中，
∴，
∴
∴
∴
又∵,
∴，
∴.
【题型21】全等三角形的性质与判定的综合
【典型例题】如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌
△DEF，BC=8，BF=13，则BE的长为（　　）
A.4 B.5 C.6.5 D.8
【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，BC=8，BF=13，
∴EF=BC=8，
∴BE=BF-EF=13-8=5，
故答案为：B．
【举一反三1】下列各图中，分别是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与左侧全等的是(　　)
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.只有丙
【答案】C
【解析】解：甲和对应相等，不能判定它们全等，故甲不符合题意；
由判定乙和全等，故乙符合题意；
由判定丙和全等，故丙符合题意．
【举一反三2】如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝15°，则∠F的度数为（　　）
A.25° B.60° C.70° D.95°
【答案】C
【解析】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
∴∠D＝∠A＝95°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝70°，
故选：C．
【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠DCB+∠ACB的度数为 　 　．
【答案】90°．
【解析】解：如图，
根据题意得，AB＝DE，BC＝EC，∠ABC＝∠E＝90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠DCB+∠ACB＝∠DCB+∠DCE，
∵∠DCB+∠DCE＝∠BCE＝90°，
∴∠DCB+∠ACB＝90°，
故答案为：90°．
【举一反三4】如图，四边形中，对角线，相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形．
【答案】4
【解析】解：①，
∵，，，
∴；
②，
∵，，，
∴；
③，
∵，，
∴， ，
∵，
∴；
④
∵，，，
∴，
因此，图中一共有4对全等的三角形．
【举一反三5】如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．
【答案】证明：∵△AOD≌△BOC，
∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD﹣∠COD＝∠BOC﹣∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
【题型22】全等三角形与动点问题
【典型例题】如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，点P从点B出发沿方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿方向运动，每秒走3米，点P、Q同时从点B出发，则出发秒后，在射线上有一点C，使与全等，则的值为（ ）
A.10 B.20 C.8或10 D.10或20
【答案】D
【解析】解：如图，当时，
，
因为米，米，米，
所以米，
故，
解得；
如图，当时，
，
因为米，米，米，
所以米，
故，
解得；
故选D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，PQ=AB，当△PAQ与△ABC全等时，AP的长度为
A.6 B.6或12 C.8 D.8或12
【答案】B
【解析】∵∠C=90°，AX⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当PA=6=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP；
②当PA=12=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ.
综上所述，当△PAQ与△ABC全等时，AP的长度为6或12.
【举一反三2】如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为( )
A.2.4 B.2.4或2 C.2.4或2.5 D.2或2.5
【答案】B
【解析】解：当，时，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当，时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为2.4或2．
【举一反三3】如图，AB=12 cm，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A，B，且AC=4 cm，点P从点B开始以1 cm/s的速度向点A运动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度向点D运动.P，Q两点同时出发，运动　　　　s后，△CAP≌△PBQ.
【答案】4
【解析】当△CAP≌△PBQ时，
BP=AC=4 cm，
则BQ=AP=AB-BP=12-4=8(cm)，
点P的运动时间是4÷1=4(s)，
点Q的运动时间是8÷2=4(s)，
故P，Q两点同时出发，运动4 s后，△CAP≌△PBQ.
【举一反三4】如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ．
【答案】1或或
【解析】依题意，如图，
当点P在AC上，点Q在CE上时，
以P,C,M为顶点的三角形与全等，
即，
，
∵点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿运动），
，
，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
以P,C,M为顶点的三角形与全等，
即，
，
，
，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
以P,C,M为顶点的三角形与全等，
即，
，
，
，
综上所述,的值为1或或．
【举一反三5】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°，则∠BCE= °;
(2)如图2，设∠BAC=α,∠BCE=β．当点D在线段BC上移动，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B，C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
【答案】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=90°，
根据三角形内角和为180°，易得∠B=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∠BAC=∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°.
（2） α+β=180°,
∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∠BAC=∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠B=∠ACE，
β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°.
（3）∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，
∴△DAE是等边三角形，DE=AD,
∵△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD=CE,
∴BD+CD=CE+CD=BC，
∵△DCE的周长=DE+CD+CE=DE+BC，
∵BC为定值，
∴DE最小时，△DCE的周长最小，
∵DE=AD，
∴AD⊥BC时，AD的值最小，
此时BD=CD=CE，
∴∠EDC =(180°-120°)=30°，
∴当点D运动到BC的中点时，△DCE的周长最小，此时∠EDC=30°．
【题型23】倍长中线法
【典型例题】如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：延长到点，使，连接，
是边上的中线，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
只有选项A符合要求，
【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　）
A.12 B.8 C.6 D.4
【答案】D
【解析】∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∵AB＝CE，AD＝ED，
∵AE＝2AD，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
即AC﹣CE＜2AD＜AC+CE，
∴AB＝5，AC＝7，
∴CE＝AB＝5，
∴7﹣5＜2AD＜7+5，
即2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故选：D．
【举一反三2】在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1∶2∶3．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半．”
下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是( )
A.小峰和小慧均正确 B.小峰和小慧均错误 C.小峰正确，小慧错误 D.小峰错误，小慧正确
【答案】B
【解析】解：如果三角形三条高的比是，根据等积法得到此三角形三边比为，这与三角形三边关系相矛盾，故小峰说法错误；
倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，故小慧说法错误，
故两人都不正确．
【举一反三3】在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
【答案】3＜m＜13
【解析】如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
∴△ABD△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=2AD=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
【举一反三4】如图，在中，，，D为中点，则线段的范围是 ．
【答案】
【解析】解：如图，延长至，使，
是中边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD为中线.
(1)求证：AB+AC>2AD；
(2)若AB=4，AC=3，求AD的长的取值范围.
【答案】(1)证明　延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，如图.
则AE=2AD，
在△ABD与△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=EC，
在△ACE中，有AC+CE>AE，即AC+AB>2AD.
(2)解　由(1)可知EC-AC即AB-AC<2AD∴1<2AD<7，
∴【题型24】全等三角形与垂线问题
【典型例题】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( 　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，，，，
∴，
∴,
又∵，，
∴，，
∴．
【举一反三1】如图，平分，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，
∵平分，，公共，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴,
∴.
故选B．
【举一反三2】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为 ．
【答案】
【解析】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则，
∴轴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，OD=，
∴．
【举一反三3】如图，直线l经过正方形（正方形四边相等，四个角都是直角）ABCD的顶点C，点B，D到直线l的距离分别是2，1，则CE的长为 　 　．
【答案】1．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCB＝90°，
∵∠DFC＝∠BEC＝90°＝∠DCB，
∴∠DCF+∠CDF＝90°＝∠DCF+∠BCE，
∴∠CDF＝∠BCE，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（AAS），
∴DF＝CE＝1，
故答案为：1．
【举一反三4】已知：线段，交于O，为钝角，，于F，于E，．求证：．
【答案】证明：，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
．
【举一反三5】如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a，b满足．
(1)求B点的坐标；
(2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：．
【答案】(1)解：∵，
，
∴点坐标为．
(2)证明：如图，过点作轴于点，作轴于点，
，
，
∵在和中，
，
．
【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题
【典型例题】如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( )

A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】C
【解析】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等．
【举一反三1】如图，已知；，线段，求作．
作法；(1)作线段；
(2)在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
【举一反三2】在课堂上，陈老师发给每人一张印有(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是( )
A.小赵同学作图判定的依据是
B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C.小刘同学作图判定的依据是
D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】A
【解析】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
【举一反三3】如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是 .
【答案】SSS
【解析】解：在△COD和△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：SSS．
【举一反三4】已知：如图相交于点O，，，平分交于点E，平分交于点F．

(1)请用尺规作图补出图中的线段（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：．
【答案】（1）解：根据尺规作图，画图如下：

则线段即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
在与中，
，
∴．

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