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第1章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
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在平面向量中,由平面向量基本定理可知,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.类似地,空间中的任意一个向量能否用向量表示呢 需要几个向量 这几个向量需满足什么条件
教学过程
1.空间向量基本定理及基底
空间中任意两个向量一定共面吗 为什么
一定,因为通过平移,可以将两个向量的起点移到同一点,即两个向量所在的直线相交,而两条相交直线确定一个平面,所以空间中任意两个向量共面.
空间中任意三个向量一定共面吗 请举例说明.
教学过程
用三个共面的向量只能表示此平面内的向量和与此平面平行的向量,不能表示除此之外的向量.
怎样的向量能表示空间中的任意一个向量 类比平面向量基本定理,你能猜想一下空间向量基本定理吗
用三个不共面的向量可表示空间中的任意一个向量.
用三个共面的向量能表示空间中的其他向量吗 请画图说明.
很多重要的公式、定理的发现都是从归纳、猜想开始的,但归纳、猜想得到的结论必须进行验证或严格的数学证明,那么怎样验证我们得到的结论呢
教学过程
空间向量基本定理及基底:
(1)如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
(2)如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p| p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.
教学过程
2.单位正交基底
请说出你认为最特殊的基底.
单位正交基底:
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
教学过程
3.例题探究
教学过程
判断三个向量能否构成基底,关键是判断它们是否共面.若从正面判断难以入手,可以用反证法结合向量共面的充要条件进行判断;或者利用常见的几何图形帮助判断.求某一向量在不同基底下的表示形式,一般采用待定系数法.即设出该向量在新基底下的表示形式,再转化为在原基底下的表示形式,对比系数求解.
教学过程
由空间向量基本定理知,要使非零向量,,构成空间的一个基底,需要验证什么
需验证向量,,不共面.
回顾前面所学知识,如何探究三个向量是否共面
借助共面向量定理用反证的方法验证,排除向量共面的情况.
C
教学过程
A
教学过程
用基底表示向量的三个步骤:
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量的三角形法则、平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间中的所有向量,表示要彻底,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
教学过程
教学过程
教学过程
教学过程
利用空间向量基本定理解决几何问题的步骤如下:
(1)把几何问题转化为向量问题.
(2)选择空间的某个基底表示未知向量.
(3)证明垂直问题时,需结合数量积公式和运算律证明数量积为0;求异面直线所成的角时,可利用夹角公式cos θ=|cos|求解;求线段长度时,可利用公式|a|2=a2求解.
(4)将向量问题回归到几何问题.
课堂练习
D
课堂练习
A
课堂练习
D
课堂练习
D
课堂练习
课堂总结
请回顾一下,我们是怎样利用有关知识和方法得到空间向量基本定理的
共线向量定理—平面向量基本定理—空间向量基本定理.
布置作业
教材习题1.2第1,2,3,4题.
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