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(共25张PPT)
第1章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
导入新课
在前几节课的学习中,已经把向量从平面推广到了空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的立体几何问题.在这个过程中,你有没有发现利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么呢 组成空间几何体的基本元素是什么
组成空间几何体的基本元素为点、直线、平面.
导入新课
可以先用规范的向量语言表示空间中的点、直线、平面,再在向量领域中通过向量运算解决元素之间的位置关系和度量问题.
组成空间几何体的基本元素点、直线、平面是不能进行运算的,你有什么办法能让不能运算的这些元素对应到另一个可运算的领域中吗
教学过程
探究1 空间中点的向量表示
如何用向量表示空间中的一个点P
在几何学中,通常用点来标记位置,所以点就是位置的抽象化.确定点P的位置是相对于某一参照物来说的,参照物不同,空间点的相对位置也不同,代数表达也不同.所以,要确定点P的位置,要先选一个参照点.
如图,在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
教学过程
探究2 空间中直线的向量表示
空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l
两点确定一条直线,取定直线上两点A,B,可以确定直线的方向向量.
如果只给定方向向量a,能不能唯一确定一条直线
利用直线l上一定点A和它的方向向量来表示直线l上的任意一点P.
如何用向量表示经过点A且以a为方向向量的直线l
为了解决这个问题, 先来回忆一下如何确定一条直线.
教学过程
如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.
教学过程
类比点的向量表示,直线的向量表示也与所选基点有关.如果选取空间中的任意一点O为基点,应该如何用向量表示这条直线
如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在
直线l上的充要条件是存在实数t,使=+t, ①
将=a代入①式,=+t. ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
教学过程
当字母t发生变化时,会有什么变化
ta表示与a共线的所有向量,+ta表示以O为起点,直线l上任意一点为终点的向量.
点A及直线l的方向向量a不仅能确定直线l的位置,还可以表示出直线l上的任意一点.同时也说明直线l的方向向量不唯一,直线上的任意两点都可以确定直线l的方向向量.
教学过程
探究3 空间中平面的向量表示
回顾平面向量基本定理,你认为如何表示平面内任意一点的位置
如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.
教学过程
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.
类比点和直线的向量表示,选择空间中任意一点O为基点,当点O在平面内时,平面内任意一点P的位置向量是=xa+yb;当点O在平面外时,平面内任意一点P的位置向量又如何表示呢
我们把此式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
教学过程
探究4 平面的法向量
如何用一个点和一个向量来确定空间中的平面α
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
教学过程
如果另有一条直线m⊥α,在直线m上任取向量b,向量b与向量a有什么关系呢
由l⊥α,m⊥α得l∥m,则直线l的方向向量和直线m的方向向量平行, 即a∥b.所以, λ∈R,使得b=λa.对于平面α,可以表示为集合{P|a·=0}=
{P|λa·=0,λ∈R}={P|b·=0},所以,平面α可以由平面内一点和该平面的任一法向量唯一确定.
教学过程
例题探究
教学过程
解：（1）因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=（0，1，0）是平面BCC1B1的一个法向量.
(2) 因为 AB = 4, BC = 3, CC1 = 2, M是AB的中点，所以M，C， A1 的坐标分别为（3，2，0），（0,4,0），（3,0,2）。因此，MC=(-3,2,0),MA1 =（0，-2,2）。
设n2=（x,y,z)是平面MCA1的法向量，则n2⊥MC,n2⊥MA1.
取z=3，则x=2,y=3.于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
教学过程
平面BCC1B1还有其他法向量吗
根据长方体的特征,易知C1D1⊥平面BCC1B1,那么,平面BCC1B1的一个法向量是=(0,-4,0),另外=(0,-4,0),=(0,-4,0),n=(0,a,0)(a ≠0)都可以作为平面BCC1B1的一个法向量,且这些法向量都是共线向量.
教学过程
通过例题探究,你能总结出求平面的法向量的方法吗
若能从直观上看出平面的垂线,则可以利用该垂线直接给出该平面的法向量.
若不能从直观上看出平面的垂线,则可以按照以下四步来求法向量:
(1)设平面的法向量n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内两个不共线的向量u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2).
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
(4)解方程组,取其中一组解,即得平面的一个法向量.
教学过程
变式训练 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面A1BC1的一个法向量.
解：由已知得B（1,0,0），C1（1,1,1),A1(0,0,1)
所以BC1=(0,1,1),A1C1=(1,1,0).
设n=(x,y,z)是平面A1BC1的法向量，则n⊥BC1,n⊥A1C1.
取y=-1，得x=1，z=1，所以n=(1，-1，1).于是n=(1，-1，1)是平面A1BC1的一个法向量.
教学过程
在立体几何中我们证明过B1D⊥平面A1BC1,写出向量的坐标, 看看它与平面A1BC1的一个法向量n=(1,-1,1)具有怎样的关系.
共线向量.
如果能发现线面垂直,可以直接用直线的方向向量作为平面的法向量,也可以取与直线的方向向量平行的向量作为法向量;如果不易发现平面的垂线,那么就用例题探究中的方法求法向量.
课堂练习
A
D
课堂练习
AC
x+2y-3z=0
课堂练习
课堂总结
梳理本节内容, 回答下列问题:
(1)本节主要学习了哪些知识
(2)本节主要学习了哪些解决问题的方法
(3)本节内容的地位和作用是什么
布置作业
教材习题1.4第1,2题.
谢谢观看
Thank you

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